分形在物理学中的应用

 一、分形理论的基本内容分形是对没有特征长度但有某种意义下的自相似性的形体和结构的总称。分形体系是具有无标度性的自相似结构。自相似结构可用分形维数来表示,这个维数可以是分数,或是一个连续变化的数。分形维数是描述分形的重要参数,有多种定义和计算方法。一般地,如把一个Ｄ维几何物体的尺寸放大Ｌ倍,就得到ＬＤ个原来的几何图像。令ＬＤ=Ｋ,则有Ｄ=ｌｎＫｌｎＬ上式可作为豪斯道夫维数的定义,并且能毫无困难地推广到非整数的范围。分形几何中的主要角色是由传统数学中的“病态”结构所扮演的,如科契曲线、谢尔品斯基海绵等,它们都具有严格的自相似结构,属于有规分形。     

均匀外场中扩散控制聚集集团标度性质的实验

本文采用无分岔扩散控制聚集(DLA)模型,利用计算机模拟均匀外场中微小颗粒的不可逆生长过程,发现均匀外场的存在将改变生长集团的标度性质。对在均匀外场中生长的DLA,集团的豪斯道夫维数D与均匀外场F之间存在函数关系:D=2.50F^0.37exp(-1.08F)+1。 关键词：     

无机材料科学中的分形特性

本文讨论了无机材料科学中存在的自相似分形特性．在一定尺度范围内，许多材料具有统计的自相似分形几何，其静态几何性质可用分形几何的质量标度指数Ｄ──分形维数来描述．由分形几何造成对经典欧几里德几何表征动力学性质的偏离，可用指数Ｄｉ──分形子维数来描述．Ｄ和Ｄｉ是分形结构的两个重要参数，且Ｄｆ≤Ｄ≤ｄ．     

时空中的分形

分形过去经常是在几何空间中进行研究，因为它具有几何空间内的标度不变性，即在空间中收缩或放大空间尺度时，其几何形态保持自相似特性，最近西班牙马德里数学与基础物理研究所的C．Escudero博士着重研究在时间中的分形结构，即在不同的时间尺度内，被测量的样本同样存存着标度不变性,分形本身是一种复杂的几何结构，例如一条一维的曲线，让它不断地自相似地弯曲，它就可以成为一个处于一维与二维之间的几何结构，也就是具有“面”的特性，     

分形基底上刻蚀模型动力学标度行为的 数值模拟研究

为探讨分形基底结构对生长表面标度行为的影响, 本文采用Kinetic Monte Carlo(KMC)方法模拟了刻蚀模型(etching model)在谢尔宾斯基箭头和蟹状分形基底上刻蚀表面的动力学行为. 研究表明,在两种分形基底上的刻蚀模型都表现出很好的动力学标度行为, 并且满足Family-Vicsek标度规律. 虽然谢尔宾斯基箭头和蟹状分形基底的分形维数相同, 但模拟得到的标度指数却不同, 并且粗糙度指数 α与动力学指数z也不满足在欧几里得基底上成立的标度关系α+z=2. 由此可以看出, 标度指数不仅与基底的分形维数有关, 而且和分形基底的具体结构有关.     

镍基合金薄膜中的分形生长

本文报道用离子束方法,通过离子束-固体交互作用在镍基合金薄膜中形成的分形结构。实验结果揭示了薄膜中分形生长的必要条件之一是非晶基体的相变。经测定,实验观察到的分形图形的豪斯道夫维数随合金组元不同而变化:D_f=1.4(Ni-Zr系统);D_f=1.7(Ni-Mo系统)。还讨论了离子束与固体作用过程及非晶相变与固体中分形生长的关系。 关键词：     

分形维数与熵间的关系

 分形维数是熵的另一种量度，并且还是一个态函数，这就是分形维数与熵间的定量关系或者叫做分形维数的物理意义。我们用非晶结构的位形（信息）熵与信息维数随压力变化的标度关系S₁(ε)∝ε^-D₁证明了我们的论断。这对于演化动力学的发展，特别是对于Prigogine提出的解决动力学与热力学的统一具有重要意义，同时也指出了用比例关系式作为测量分形维数的实验原理应该注意的问题。     

各向异性扩散DLA集团的豪斯道夫维数与标度性质

讨论了DLA集团的各向异性扩散效应.计算机模拟证实了具有各向异性扩散规则的DLA集团有严格的菱形结构.导出了一个粒子的各向异性扩散的新方程，计算了各向异性扩散DLA集团的豪斯道夫维数，结果表明，有效外半角β_eff=min(β_ix,β_iy).讨论了各向异性扩散DLA集团的广义维数，使用修改的楔模型得到了广义维数D_q的表达式. 关键词：     

X分形晶格上Gauss模型的临界性质

采用实空间重整化群变换的方法,研究了2维和d(d>2)维X分形晶格上Gauss模型的临界性质.结果表明:这种晶格与其他分形晶格一样,在临界点处,其最近邻相互作用参量也可以表示为K=bqiqi(qi是格点i的配位数,bqi是格点i上自旋取值的Gauss分布常数)的形式;其关联长度临界指数v与空间维数d(或分形维数df)有关.这与Ising模型的结果存在很大的差异. 关键词： X分形晶格 重整化群 Gauss模型 临界性质     

分形聚集逾渗性质的计算机模拟

提出3种模型——小尺寸随机逐次成核生长模型和二维及三维代代聚集生长模型,在不同的近邻条件下和不同尺寸的网格中,通过蒙特卡罗模拟,系统地研究了一维、二维和三维分形聚集的逾渗性质.计算结果显示,分形聚集的逾渗阈值仅取决于空间维数和近邻条件,与模型的网格大小无关,是分形系统固有的临界属性;生长概率等于逾渗阈值时,聚集体可以无限生长并保持分形维数恒定,此时的分形维数只是空间维数的线性函数.     

分形格点中伊辛模型的临界行为

分形格点是一类特殊的格点,它具有非整数的维度,且打破了平移不变性.本文对分形格点中伊辛模型的临界行为进行了研究.在这个系统中存在从有序到无序的连续相变,本文利用张量网络重正化群算法计算了不同位置格点上的物理量,并据此在不同空间位置拟合出了相应的临界指数.由于平移对称性的缺失,发现临界指数的拟合结果对空间位置有依赖关系.另外,在分形格点中的不同位置检验了临界指数间的标度关系(hyperscaling relations),最终发现在某些格点上所有的标度关系全部成立,而在另外一些格点上则只有部分的标度关系成立.     

外微分形式及其在物理问题中的应用

外微分形式可以说是这样的一些量,在它们上面可以施行外积(即反对称化的直积)运算、外微分(与微分算子的外积)运算以及积分运算.用外微分形式表述的物理定律具有特别简洁的形式,而且计算是自然的和自动的,不受空间维数的限制,也不必记住矢量分析中的许多公式.本文将以简化了的方式介绍外微分形式的理论概要,并以电磁学为例介绍它的应用. 一、外 代 数 设有定义在数域K上的n维线性空间E,它的点(又叫向量)是具有形式的n个数的有序集合.我们在E的元素间引入一种运算,叫做外积,用符号“”表示.p个向量u1,u2…up的外积是一个具有如下性质的量: …     

基于网格维数的汉语语音分形特征研究

应用分形理论来研究汉语语音信号的分形特征。木文首先在传统盘维数基础上提出了一种等差尺度网格维数算法来快速计算语音信号的分维数;在此基础上,对汉语男女声的２１种声母和３８种韵母语音信号的分维数进行了计算和统计分析,得到了汉语语音分维数的统计分布规律。本文实验结果表明,汉语语音信号具有分形标度不变性,网格维数能够反映语音信号波形的复杂程度。     

Kuramoto-Sivashinsky与Karda-Parisi-Zhang模型中生长界面分形特性研究

在（2＋1）维情况下，利用数值模拟研究了Kuramoto-Sivashinsky (K-S)与Karda-Parisi-Z hang (KPZ)模型所决定的非平衡态界面生长演化过程.结果表明，KPZ与K-S模型都表现出明 显的时间和空间标度特性.相对于KPZ模型而言，K-S模型所对应的表面具有更明显的颗粒特 征，当生长时间较长时，生长界面呈现蜂窝状结构.通过数值相关分析得到了生长界面的粗 糙度指数、生长指数和动态标度指数等参数.从两种模型对应的表面形貌特征和表面参数来 看，在(2+1)维情况下，KPZ与K-S模型所决定的表面具有完全不同的动态标度行为，属于不 同的两类物理模型. 关键词： Kuramoto-Sivashinsky (K-S)模型 Karda-Parisi-Zhang(KPZ)模型 分形 数值模拟     

分形基底上受限固-固模型动力学性质的数值模拟研究

为了探讨非完整基底结构对生长表面动力学行为的影响,本文在具有相同分形维数而不同谱维数的谢尔宾斯基箭头和蟹状分形基底上对受限固-固(restricted solid-on-solid,RSOS)模型的生长过程进行了大量的数值模拟研究.通过计算表面宽度和饱和表面极值高度的统计行为对生长表面的动力学行为进行了分析.结果表明,分形基底结构对生长表面的动力学行为具有显著的影响.尽管在两种基底上受限固-固模型的表面宽度均表现出很好的动力学标度行为,仍然满足Family-Vicsek标度规律,但由此计算得到的动力学标度指数并不相同.饱和生长表面的极值高度并不能满足三种常用的极值统计分布,即Weibull,Gumbel和Frechet分布,而是能很好地符合Asym2Sig分布.     

多标度分形理论及进展

一个分形体的几何特征通常需要用一个多标度分形谱来描述。多标度分形理论建立了分形体的局域标度特性与分形体总体特性的关系。它的物理思想与热力学是类似的。如果已知一个分形体的多标度分形谱,还可以反过来推断其动力学特性。这方面的进展使我们加深了对扩散限制的凝聚过程、完全发达的湍流现象、通向浑纯的若干途径、无序系统等等问题的认识。本文是对上述问题的一篇较为简要的综述。     

分形理论在分子动力学模拟中的应用

本文基于分形理论提出了一个假说,认为实际流体分子的无规运动可以用分数布朗函数作为概率密度函数来描写,而其分数维数可根据分子运动的图像确定。本文以流体Ar作为对象进行了分子动力学模拟,根据分子动力学模拟的结果提取了运动的分数维数,构造了描述分子无规运动的分数布朗函数,并对所提出的假说进行了验证。     

n分量~4模型薄膜的尺寸效应

我们用场论重整化群方法讨论了周期边界的n分量φ~4模型薄膜的单纯尺寸效应,发现仅当维数满足d_< 1时尺寸效应具有Fisher的标度形式,其他情况下它是不可标度的。同时也讨论了维数渡越现象及状态方程。     

花簇分形无标度网络中节点影响力的区分度

大量研究表明分形尺度特性广泛存在于真实复杂系统中, 且分形结构显著影响网络上的传播动力学行为. 虽然复杂网络的节点传播影响力吸引了越来越多学者的关注, 但依旧缺乏针对分形网络结构的节点影响力的系统研究. 鉴于此, 本文基于花簇分形网络模型, 研究了分形无标度结构上的节点传播影响力. 首先, 对比了不同分形维数下的节点影响力, 结果表明, 当分形维数很小时, 节点影响力的区分度几乎不随节点度变化, 很难区分不同节点的传播影响力, 而随着分形维数的增大, 从全局和局域角度都能很容易识别网络中的超级传播源. 其次, 通过对原分形网络进行不同程度的随机重连来分析网络噪声对节点影响力区分度的影响, 发现在低维分形网络上, 加入网络噪声之后能够容易区分不同节点的影响力, 而在无穷维超分形网络中, 加入网络噪声之后能够区分中间度节点的影响力, 但从全局和局域角度都很难识别中心节点的影响力. 所得结论进一步补充、深化了基于花簇分形网络的节点影响力研究, 研究结果对实际病毒传播的预警控制提供了一定的理论借鉴.     

二维湍流热对流羽流运动路径对传热特性的影响

本文采用并行直接求解方法计算了0.7和4.3两个Pr数的二维湍流热对流,最高Ra=10~(13).高和极高Ra数的二维湍流热对流传热Nu数与反映羽流运动的大尺度环流路径随Ra数的变化具有很好的相关性,并具有两个Ra数转折点.第一转折点出现在大尺度环流由椭圆变为圆形,其周长C_(LSC)随Ra数变化突然减小,第二转折点出现在大尺度环流周长C_(LSC)最小值处,随后羽流变为旋涡团状而周长C_(LSC)随Ra数增高而增大.Pr数较小对应的转折Ra数较低.传热Nu数的变化规律用Ra~(0.3)补偿后发现, Nu的局部标度律在大尺度环流周长C_(LSC)较小的情况下减小,出现偏离GL理论预测倍数线的现象.当Ra数大于第二转折点后,极高Ra数二维湍流热对流Nu数随Ra数的变化与GL理论预测倍数线符合良好,走向保持一致.