二弦定理及应用

<正>笔者发现圆中互不垂直的两弦有如下美妙的结论,该结论对解决一些四点共圆式多点共圆问题提供一种方法.1.二弦定理及逆定理二弦定理圆中互不垂直的两弦端点在彼此上的射影共圆.证明如图1,设AB、CD是⊙O中互不     

用“四点共圆”解题几例

<正>"在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等",这条重要的定理为我们提供了证明线段相等或角相等的一种思路和方法.鉴于此,对于满足四点共圆条件的四边形,如果我们能构造出它的辅助圆,就可以利用前面提到的思路和方法,证明线段相等或角相等.四点共圆判定定理1如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见考点，从2021年的一道高考题入手，对这一问题进行再研究，得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程法对圆锥曲线上四点共圆进行证明.     

从五点共圆到四点共圆

从五点共圆到四点共圆２４６１４２安徽省怀宁县江镇中学黄全福在通常情况下，判断五点共圆要比判断四点共圆困难得多，这是因为判断四点共圆有章可循，有法可依；而判断五点共圆就谈不上有什么有效方法了。但是，在某些特定的条件下，情形正好相反：判断五点共圆一目了然...     

“四点共圆”教学实录

课题:四点共圆教学要求:1.使学生牢固掌握几种判定四点共圆的方法,并能运用这些方法解题。 2.培养学生灵活运用知识的数学思维能力。教学重点:四点共圆的判定。教学难点:创设条件来判定四点共圆,并依据四点共圆来研究图形的性质。教学方法:启导法教具:圆规、三角板、几何图片及投影仪。一、引言过不在同一直线上的三点能作且只能作一个圆。如有A、B、C、D四点,过这四点能否     

曲线系方程活用一例

题如图，已知抛物线y2＝2Px（P＞0），过焦点F任作两条亘相垂直的直线与抛物线分别相死于两点A、B和C、D；问这四点能否共圆？若共圆，求出所共圆的方程．解此题的常规思路是，先将两直线方程用点斜式设出，然后为别与抛物线方程联立求得A、B及C、D的坐标，看这四点能否共圆．用这种方法求解是难以方通的．但若用直线的参数历程及韦这定理，或用抛物线的焦半径公式及韦这定理，都能表示出圆的相交弦定理里所需的两积[AF]·[FB]与[CF]·[FD]，从而说明四点能否共圆及共圆的条件，再由共圆的条件即可求得所共圆的方程．这两种方法仍不…     

判别“四点共圆”的一种新方法

判别“四点共圆”的一种新方法黄全福（福建省怀宁江镇中学２４６１４２）关于四点共圆的判定，通用教材《几何》第二册中曾介绍过两种行之有效的常用方法，这就是：方法１：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．简记为：“对角互补，四点共圆”．方法...     

掌握四点共圆简解中考题

<正>近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的.在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示:     

一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

三角形的密克点相关的两个结论

<正>密克定理如图1,设△ABC中,如果在BC,CA,AB的所在直线上分别取任意的一点X,Y,Z,那么☉AYZ,☉BXZ,☉CXY共点.证明因为☉BXZ和☉CXY相交一点X,所以它们一定相交于另一点,设为O.连结OX,OY,OZ,则∠AYO=∠CXO=∠BZO,这就说明A,Z,O,Y四点共圆.由此可知☉AYZ,☉BXZ,☉CXY都经过点O,即这三个圆共点.     

一道2015泰国数学奥林匹克题的拓展及简证

<正>题目~([1])如图1,在不等边△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F,直线AI、BI分别与直线EF交于点M、N.若G为边AB的中点,证明:M、N、D、G四点共圆.文献~([1])不仅用了多点共圆的知识,而且还用到了"根轴"的知识以及"九点圆"的知识,使证明顺利完成.     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

四点共圆用处大

<正>探究四点共圆,除了学会证明四点共圆以外,更多地应注意到利用它来证明别的命题.比如,对于角的相等,线段之间的位置关系,线段的比例关系等方面的证明,利用四点共圆,往往就有许多优越的地方.例1如图1,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,PCD为割线,过A作AE∥PD,交☉O于E.     

椭圆上四点共圆的充要条件的行列式证明

圆锥曲线是高中数学的重要内容,其中圆锥曲线上四点共圆的相应内容也是高考考查的热点.如2005年湖北高考理工第21题以及2002年广东、江苏卷第20题.圆锥曲线上四点共圆均有相应的充要条件,但其证明过程一般都是用参数方程等内容,计算量大且较复杂.本文将应用行列式给出椭圆上四点共圆的一个充要条件的证明.这个证明是非常自然的,也是容易理解接受的.     

五点共圆问题与Clifford链定理

这是一个美丽的平面几何问题,条件极少,结论很多,从四圆共点、五点共圆的几何直观证明,到一般的N点情形的巧妙论证,跌荡起伏,使人回味无穷.特别是,问题的解决和传播,充满着传奇性的故事.既涉及Clifford这样的代数名家,又关系到澳门回归和中国国家主席关注的佳话.现在作者将这件数学精品的原委详细加以描述,恰如一尊雕塑摆在面前供我们欣赏.数学女王是光彩照人的,她所承载的数学文化,值我们静心感受,传播发扬.     

两圆相切的一个有趣性质

<正>性质如图1,若圆O1与圆O2外切于点G.四边形ABCD内接于圆O1,AD、BC分别与圆O2切于点E、F.∠DCF的平分线CK交EF于点K,∠CDE的平分线DL交EF于点L,则(1)点L、K分别是△ADC、△BDC的旁心;(2)AL、BK的交点T在圆O1上,并且L、K、G、T四点共圆;(3)L、K、D、C四点共圆,并且AL、BK的交点T是四边形LKDC的外接圆的圆心.     

連環定理

这里要谈的是初等纯正几何学中一些简单的连环定理.什么是连环定理呢?在回答这个问题以前,先谈一些别的东西. 在初等几何学中有好些共圆点、共点圆、共线点、共点线的性质,这些亦是几何学中比较有趣的部分.为了方便起见,我们定义几个名字.直线、圆、点、曲线等统称为几何元素.几个相类的元素在一起叫做元素组,譬如,n点A_1,A_2,…,A_n称作n点组,n     

圆内接四边形的一个美妙性质

设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.如图1.图1图2证明如下:如图2,首先证明B,E,F,C四点共圆.连结BE、FC、BF、EC,则∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(21∠ABC+21∠ACB)=180°-21(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠BAC)=90°+12∠BAC,同理可证∠BFC=90°+21∠CDB,图3因为A,B,C,D四点共圆,所以∠BAC=∠CDB,从而∠BEC=∠BFC,即B,E,F,C四点共圆.其次证明∠HEF=90°.如图3,因为B,E,F,C共圆,所以∠FEC=∠FBC,同理可证,A,H,E,B四点共圆,从而也有∠HEA=∠HBA,则∠HEF=∠AEC-(∠FEC+∠HEA)=∠AEC-(∠FBC+∠HBA)=[180°-(∠EAC+ECA)]-(∠FBC+∠HBA)=180°-(21∠BAC+21∠BCA)-(21∠DBC+21∠DBA)=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠DBC+∠DBA)=180°-12(∠BAC+...     

对一道国际竞赛题的讨论

已知:圆O经过△ABC的顶点A、C,分别与AB、BC交于K、N,△ABC和△KBN的外接圆相交于点B.M,证明∠OMB=90°(二十六届国际奥林匹克竞赛题)。略证一:由于三个圆的圆心不共线,三公共弦共点于P(为么什?),则∠PMN=∠BKN=∠NCA,因此PMNC四点共圆,由此得: BM·BP=BN·BC=BO~2-r~2 PM·PB=Pn·PK=PO~2-r~2(为什么?)其中r是△ACK的外接圆半径。则FO~2-EC~2=BP(PM-BM)=PM~2-BM~2,所以O⊥LBP,∠ONB=90°。