一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见考点，从2021年的一道高考题入手，对这一问题进行再研究，得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程法对圆锥曲线上四点共圆进行证明.     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

2023年新高考Ⅰ卷圆锥曲线解答题的解法探究

<正>圆锥曲线作为高中数学的重要知识点,主要考查数学运算和逻辑推理能力,2023年新高考Ⅰ卷第22题是一道圆锥曲线的证明题,我们一起来探究它的解法．1真题展示(2023年新高考Ⅰ卷第22题)在直角坐标系xO y中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,1/2)的距离,记动点P的轨迹为W.     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

一赛题的另解

<正>题目在△ABC中,∠BAC=40°,∠ABC=60°,若D和E分别是边AC和AB上的点,且使∠CBD=40°,∠BCE=70°,F是BD和CE的交点,连结AF,求证:AF⊥BC.此题是2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题第四题,竞赛组委会所提供的答案是采用多组"四点共圆"进行证明的.本文再给出另外几种证法,供读者赏析.     

两道初中生可以解答的高考几何题赏析

<正>在中考数学试卷中,考查圆有关的知识的问题是每年必考内容之一.如判断已知直线是圆的切线,求证四点共圆等类型的问题,常常备受命题者青睐,常考常新.2016年全国高考数学试卷中有两道这样好的试题,运用我们初中所学的知识,同学们能顺利解决,分享如下,供同学们学习与参考!试题一(2016年全国高考新课标I数学理科卷第22题)如图1所示,△AOB是     

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18(Ⅲ)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.……     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

共圆点及其应用

共圆点及其应用四川师范大学邓安邦四川民政干校濮青一、基础知识在同一个圆上的一些点，称为共圆点，或者说这些点共圆。要证明一些点共圆，关键在于会证明四点共圆。证明四点共圆，主要根据：１、圆的定义：证明这四点到某一定点的距离都相等。２、角的关系：证明这四点...     

高考题(圆锥曲线)中弦张直角时的"必然"——一组优美的结论

圆锥曲线这一章节是高考内容的一个重点和热点,是学生学习中的一个难点,高考考题常考常新,是高考中的压轴大戏,命题者可谓是费尽心机,但出题之中偶然也有必然.笔者在做07年高考解析几何题时,解决山东卷理科21题(文科22题)和天津卷理科21题后,受抛物线有关知识的启发,进而大胆猜想两类知识:一类是圆锥曲线中弦张直角(直角顶点为曲线顶点时的直线过定点问题:二类是圆锥曲线中弦张直角(直角顶点为坐标原点)时的,弦上高的垂足的轨迹是圆的问题.……     

利用三角代换解2014年北京高考理科19题

<正>已知椭圆C:x2+2y2=4,设O为坐标原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.在高考北京卷(理科)的第19题第2问中,标准答案给我们的解法依旧是联立直线方程与圆锥曲线方程求出交点坐标,最后利用点     

一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

掌握四点共圆简解中考题

<正>近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的.在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示:     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

一类两圆锥曲线有三个公共点的充要条件

一类两圆锥曲线有三个公共点的充要条件胡望杰（浙江永康一中）笔者在文［１］中证明了一类两圆锥曲线有唯一公共点的充要条件，得出了五个定理及二个推论．本文旨在证明一类两圆锥曲线有三个公共点的充要条件，并举例说明本文的定理及推论的应用．定理１抛物线ｙ２＝２ｐ...     

试题研讨(15)

题　 (华中师大一附中等校 2 0 0 3届高考模拟考试五月卷 )已知圆锥曲线 E的一个焦点为 F( 2 ,0 ) ,相应的准线为直线 x =1 ,且曲线 E过点 ( 2 ,2 ) .( )求圆锥曲线 E的方程 ;( )当过焦点 F的直线 l的倾角α在何范围内取值时 ,曲线 E上有且仅有两个不同的点关于 l对称 .命题溯源　自广东省 1 986年高考题考查了椭圆上存在两点关于直线对称来探求参数范围的问题后 ,各地模拟题相继变形为抛物线 ,双曲线等其他曲线上的类似考题 ,主要考查学生处理直线与圆锥曲线的位置关系的能力和“代点相减”的解题技巧 .评卷分析　学生对第 ( )问都能…     

2010年高考江苏卷第18题的别解

2010年高考江苏卷第18题一定有难度,但前两小题应该很好解决,主要涉及直线与圆锥曲线的交点、轨迹的概念和轨迹方程的求法,有难度的在第(3)小题,主要集中在计算上,有很多同学有解决问题的方法和方向,但要真正解决问题,计算是关键.2010年高考江苏卷第18题:在平面直角坐标     

一道安徽省高考题的解题思路分析

2009年安徽省高考卷第20题是一道圆锥曲线题。本文针对考生的答题情况和思维欠缺,对此题的解题思路进行分析．     

四点共圆用处大

<正>探究四点共圆,除了学会证明四点共圆以外,更多地应注意到利用它来证明别的命题.比如,对于角的相等,线段之间的位置关系,线段的比例关系等方面的证明,利用四点共圆,往往就有许多优越的地方.例1如图1,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点,PCD为割线,过A作AE∥PD,交☉O于E.     

应用圆锥曲线的极坐标方程对一个猜想的探究拓广

文[1]对2010年全国高考山东理科数学卷第21题(3)进行了深入研究,提出了猜想1,并探究得到定理1,原作者在证明(3)问及探究猜想1中,均用常规的处理圆锥曲线弦长的方法,非常繁琐,且探究过程难度较大,但用圆锥曲线的极坐标方程来处理会简便很多.