一道三角不等式的修正

2005年中国东南地区数学奥林匹克的第8题是一道三角不等式如下： 设0〈α,β,γ〈π/2，且sin^3α＋sin^3β＋sin^3γ=1，求证，tan^2α＋tan^2β＋tan^2γ=1≥3/2√3。     

也谈一道三角题的证明

已知α,β∈（0,π/2）,且sina（α＋β）=sin^2α＋sin^2β.求证：α＋β=π/2. 其中文[1]、[2]、[3]利用两边夹或构造方法加以证明，笔者给出另一直接证明方法．     

一道课本习题的再探究

人教版新课标教材《数学4》（必修）第151页有如下问题： 观察以下各等式： sin^2 π/6＋cos^2 π/3＋sin π/6 cosπ/3=3/4，     

活用同角三角函数基本关系式

同角三角函数的基本关系式有sin^2α＋cos^2α=1,tanα=sinaα/cosα．利用它可以求值、化简和证明,要求同学们牢固掌握,并能运用每个关系式及变形式灵活解题,下面就利用同角三角函数的基本关系式进行解题介绍几种方法．     

一个数学问题的源与流

文[1]提出并解答了问题： 设0〈x,y,z〈π/4,且sin^2x＋sin^2y＋sin^2z＋2sin.xsin.ysinz=1，求证：x＋y＋z=π/2. 经探索，我们发现：该问题的一个内在根源为如下应用广泛的恒等式：     

正弦平方差公式及应用

高中数学第一册（下）（人教版）P45 7题（4）： 求证： sin（α＋β）sin（α-β）=sin^2α-sin^2β. 利用两角和差的正弦公式易证上式,此式对任意的α、β均成立．     

公式sin^2α＋cos^2α=1的巧用

sin^2α＋cos^2α=1是一个重要的三角公式,某些三角函数的化简与求值问题,若能根据题目特点恰当应用它,常能迅速打通思路,使问题巧妙获解．下面列举几例,供读者赏析．     

一道问题征解题的引申与推广

《数学通讯》学生刊2010年第9期问题征解第26题： 设x∈R,求函数f（x）=√r1＋cos^4x＋√1＋sin^4x的值域．     

对一个不定积分公式的一点注记

探讨积分表中的一个不定积分,即∫dx/a^2cos^2x＋b^2sin^2x=1/abarctan（b/atan x）＋C的不严密性,并给出了该积分的严密表示形式．     

任意角的三角函数

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点：任意角的概念，象限角的概念；弧度的意义，弧度与角度的换算；任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；公式sin^2α＋cos^2α=1及sinα/cosα=tanα的推导、变形及应用，五组诱导公式及其综合运用．     

含有根式的递推数列问题求解策略

某些含有根式的递推数列问题，用三角代换法使其根式脱去非常奏效，即借助于同角三角函数的平方关系式sin^2α＋cos^2α=1、1＋tan^2α=secα、1＋cot^2α=csc^2α以及倍角公式，将已知递推数列问题转化为角成等比数列问题，进而使问题迅速获解．观察递推公式的根式结构待征，选择恰当的三角函数将通项代换是解决问题的关键．     

一个三角不等式的证法探源及推广

文[1]给出引理：设：x∈（0,π/2）,a^3=1/3（a＞0）,则有sin^2x/1-sin^2x≥2a^2/（1-a^2）^2（sin^3x-a^3）＋a^2/1-a^2     

一道三角题的直接证明

题目:已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 　　此题一般是结合三角函数单调性用反证法加以证明,笔者给出一个比较简单的直接证明.……     

再谈一道三角题的证明

题目 已知:α,β∈0,π/2,且sinα+β=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2. 此题是1983年第17届前苏数学竞赛十年级试题,比较常见的方法是应用三角函数单调性用反证法证明,文[1]想到此题一个比较简单的直接证明,文[2]又给出了一个更加简洁的直接证明,最近,笔者通过构造法得到此题的又一个直接证明.     

形数结合到定义

《中学生数学》2007年4月刊高中版(总319期)第22页有一道题是这样的:"例3已知cos(α-β)=-4/5,cos(α β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α β∈((3π)/2,2π),求cos2α,cos2β的值."文章侧重介绍了倍角变换式2α=(α β) (α-β),2β=(α β)-(α-β)的应用,其原文解答如下:     

好题的标准

(一) 思路宽、方法多、知识覆盖面广,对培养分析和解决问题的能力极有帮助,这样的题能称得上好题。例1 设复数α、β满足关系式2α~2-2αβ+β~2=0,那么复平面上以O、α、β相应的三点为顶点的三角形是怎样的三角形。思路一由条件得α-β=±αi。由此知复数α-β和α的向量互相垂直,又据相等复数的模相等得|α-β|=|α|,故三角形是等腰直角三角形。思路二视条件关系式为关于α的二次方程,求方程的根得α=(1±i)β/2=(cos±π±isin1/4π)2~(1/β),且|β|=2~(1/2)|α|,知三角     

对一道课本习题的进一步探究

现行普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修4第138页有这样一道习题： 观察以下各等式： sin^230°＋cos^260°＋sina30°cos60°=4^-3，     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

设计模型三角形解题

有些数学问题,看似与三角形毫无联系,但倘若充分地挖掘题设中的内涵,便可便问题与某个特定的三角形紧密相联。从而便得到一个别出心裁的解法。一般而言,我们可据题设从构成一个三角形的角与边之条件来设计相应的模型三角形。例1 设α、β为锐角,且3sin2α-2sin2β=0,3cos2α+2cos2β-3=0,求证α+2β=π/2 分析:由Scos2α+2cos2β-3=0可知2α、2β均应为锐角,变换题设两等式有 3sin2α=2sin2β,3cos2α+2cos2β=3。     

一道联考题的多角度思考

题目 （2006年高三第6次全国大联考（湖北专用）第19题）设0〈α〈π，0〈β〈π，α=（cosa，sina），b=（1-cosβ，sinβ），且a&;#183;b=3/2-cosβ。