从全微分到全导数

从全微分到全导数申卯兴（空军导弹学院）由一元函数的微分与导数的关系知，因变量与自变量各自的微分之商即为导数（微商），它表征了因变量相对于自变量的变化率。这是微积分学中最基本的概念之一。而多元函数的偏导数则是因变量相对于某指定自变量的变化率。因此，我们...     

恰当近似全微分问题

<正> 在数学分析中我们已经知道,假如 P(x,y),Q(x,y)是平面区域 G 上的连续函数,那么 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是恰当全微分(即某一个二元函数的全微分)的充要条件是曲线积分integral from C P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路线 C 无关(C 是区域 G 上的可求长曲线).如果 P(x,y),Q(x,y)并非连续,这时问题就变得复杂一些,因为托尔斯托夫证明了:即使在勒贝格意义下的第二型曲线积分     

全微分定理的另一证法

<正> 微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy要成为某一函数全微分的条件有定理若P(x,y)与Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+     

经济弹性函数的几何解释

弹性函数是研究当自变量有微弱变化时 ,函数的相对变化率 .本文构造一条初始弹性直线 ,弹性函数就是函数的切线斜率与初始弹性直线斜率之比 ;也是函数在弹性支点的微分与初始弹性直线在弹性支点的增量之比 .     

问题驱动下的微分与全微分教学探索

微分概念是高等数学中的核心概念,通过问题教学法和几何图形演示,将一元函数的微分教学和二元函数的全微分教学统一起来,使学生更深刻理解微分这一概念的核心本质,并认识到从一元函数到多元函数许多结论要发生变化,量变引发质变的变化过程.     

关于多复变整函数及其全导数

首先研究了与Saxer-Millioux定理相关的复微分方程,并运用多复变对数导数引理将该结果推广至关于整函数全导数的微分多项式;其次利用Clunie的结果将Hayman的定理推广至多复变整函数的全导数情形;最后作为推论得到一些多复变Picard型定理.     

关于二元函数的全微分求积中积分路径的选取问题

在讨论格林公式应用时，我们知道，如果在单连通开区域C内，函数P（x，y）及Q（x，y）具有一阶连续偏导数，且满足条件时，则微分式P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G内是某个二元函数u（x，y）的全微分式，即有原函数上式右端的曲线积分是与路径无关的。一般地说，可选取由起点M（x     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似.复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义.形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致.比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量(?)时,相应地函数有增量△y=f(x_0+△x)-f(z),当△x→0时,比值的极限存在,称此极限为函数y=f(x)在x_0处的导数.记为f’(x).复变函数的导数定义为:设函数w=f(z)在     

二元函数全微分存在的充分必要条件

关于二元函数在一点的全微分存在的判别条件,一般教科书都是要求两个一阶偏导数在该点处连续(参见[1])。文献[2]削弱了这个条件,只要求其中一个一阶编导在该点处连续,文献[3]给出了全微分存在的另一个条件:要求两个一阶偏导数在该点的一个邻域内存在(但不要连续),及在邻域内至少存在一个有界的二阶混合偏导数。容易说明,〔2〕、〔3〕中判别条件的适用范围并不完全一样.从而〔2〕、〔3〕给出的都只是充分条件而非必要条件.讫今为止,尚未见到关于全微分存在的充分必要条件.本文将偏导数和全微分联系考虑,得到一个全微分存在的充分必要条件.作为这个充要条件的推论,可立即得出〔2〕、〔3〕中的判别条件.     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似。复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义,形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致。比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量Δ_x时,相应地函数有增量Δ_y=f(x_0+Δx)-f(x),当Δ_x→0时,比值的极限     

函数增量与微分的关系

本文指出了一元函数中微分与增量的等价关系不可无条件地推广到多元函数，并提出了多元函数ｄｚ～Δｚ的一个充分条件。     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

图上Nordhaus-Gaddum型的符号全控制数的界

函数f:V(G)→{-1,1}称为图G的符号全控制函数,如果对每一个开邻域集上的点的函数值的和都大于等于1.符号全控制函数的权值是指图中所有点的函数值的求和.图的符号全控制数为图中所有符号全控制函数的最小权值.令G表示图G的补图.在该文中,我们研究符号全控制数的Nordhaus-Gaddum型不等式,给出了路与其补图的符号全控制数和的上界,以及图与其补图的符号全控制数和的下界.     

定点处全微分和相关计算问题的解法探究

根据偏导函数的定义,抓住问题的本质,能够给出有关定点处全微分计算及相关计算问题更为简洁、有效的求解方法.     

二元函数全微分求积的一个简单方法

利用分离积分的方法，给出了二元函数全微分P（x，y）出＋Q（x，y）dy=du（x,y）求积的一个简便公式．其特点是只需计算函数P和函数Q的不定积分，从而避免原方法在积分路径选取时的麻烦以及由积分路径选取不当所导致的错误．     

复函数的微分中值公式

<正> 实分析中有一套重要而优美的微分中值公式,我们希望复分析中也有相应的结果.本文在[1]的基础上得到关于复分析的一个概括性的微分中值公式,由它可导出与实分析中值公式类似的若干复分析微分中值公式.文[1]给出定理1.设函数 f(z)在区域 A 内解析,a 为 A 内任意一点,那么对于点 a 的某邻域     

一阶微分形式不变性的应用

在多元函数求偏导数、全导数、隐函数求偏导数时，如何正确利用求导法则，必须搞清楚其函数结构，理顺各中间变量与自变量的关系，选择应使用的公式。而用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，无论变量之间的关系如何错综复杂，都无需区分。而且此方法在许多场合显得简洁方便，不易错。首先复习一下全微分形式不变性、设函数具有连续的一阶偏导数，则无论X，。是否为自变量，都有。下面就一阶微分形式不变性在以一下JL个方面的应用举例说明。一、复合函数的偏导数解直接对等式两端求全微分，利用全微分的运算法则有：解这是属于…     

如何判定多元函数的可微性--一节习题课片段

如何判定多元函数的可微性 ,理解多元函数全微分的概念 ,以及多元函数可微与偏导数存在、可微与连续之间的关系 ,是多元函数微分学的难点 .为了帮助学生更好地掌握这些知识 ,老师安排了这样一次习题课 .先给出一道习题 :设函数z =f (x,y) =xyx2 y2 　　 x2 y2 ≠ 0　 0　　　　 x2 y2 =0研究全微分 dz| ( 0 ,0 ) 是否存在 ?一位同学这样做 :因为f′x(0 ,0 ) =limΔx→ 0f (0 Δx,0 ) -f (0 ,0 )Δx =limΔx→ 00Δx=0 ,f′y(0 ,0 ) =limΔy→ 0f (0 ,0 Δy) -f (0 ,0 )Δy =limΔy→ 00Δy=0 ,所以全微分 dz在 (0 ,0 )存在 ,且 dz| …     

谈多元微分学中几个概念间的关系

学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分、方向导数之间的关系,并与一元函数中连续、可导、可微之间的关系比较,看看有何类似.有何区别,才能更好地掌握和使用这些基本概念.从教材中我们知道这几个基本概念间的关系(以二元函数为例)由下面定理给出:     

关于多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理为:如果函数z=f(x,y)的偏导数?z/?x,?z/?y在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在。由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续,所以对函数f(x,y)的要求就比较苛刻,可是我们经常会遇到函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在但这个偏导数不连续,而