导数应用典型错误剖析

一、导数定义理解不清例1设f(x)在x0处可导,则li m△x→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=.误解:∵Δx→0,-Δx→0.∴Δx→0,f(x0-Δx)→f(x0),f(x0 Δx)→f(x0).即li mΔx→0f(x0-Δx)=lΔi xm→0f(x0 Δx).因此li mΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).剖析:错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清,导数f′(x0)=li mΔx→0ΔyΔx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx,函数在某一点x0处的导数,就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限,分子分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致…     

从改变量函数到微分(II)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f(t)-f(x)和Δx=t-x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f′(x)作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df(x)=f′(x)dx作为一个普通函数的实质.     

从改变量函数到微分(I)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实,视Δy=f(t)-f(x)和Δx=t-x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数,可准确地诠释导数f′(x)作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df(x)=f′(x)dx作为一个普通函数的实质.     

有关多元函数极值的一个反例

众所周知 ,对一元函数 ,下列命题成立 :若 f ( x)在开区间上可导 ,并在唯一的驻点处取得极值 ,则必在该驻点处取得最值 .但类似的命题对多元函数不成立 .下面试举一反例说明之 .例　函数 f( x,y) =π 1 + x2 - x( y+ siny) + y2 在全平面上有唯一的驻点 ( 0 ,0 ) ,且 f ( 0 ,0 )是极小值 ,但 f ( 0 ,0 )不是 f ( x,y)的最小值 .证　 1 .设 φ( y) =y+ siny,易见 φ( y)是严格递增奇函数 .先证明当 | y| <π时 ,φ( y)满足不等式 φ2 + φ′2 <π2 .事实上 ,当 0 0 ,所以偶函…     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似。复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义,形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致。比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量Δ_x时,相应地函数有增量Δ_y=f(x_0+Δx)-f(x),当Δ_x→0时,比值的极限     

陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题

一、填空题:(6×4′=24′)1·设[x]表示不超过x的最大整数,则limx→0sinx|x|-2[x]=1.2·d4dx42 x1-x2x=0=48.3·设函数f(x,y)可微,f(0,0)=0,fx(0,0)=m,fy(0,0)=n,φ(t)=f[t,f(t,t)],则φ′(0)=m mn n2.4·设ddx∫2xf(2t)dt=x(x>0),则∫f(x)dx=-61x3 c.5·设f(x)在区间[-π,π]上连续,且满足f(x-π)=-f(x),则f(x)的傅立叶系数a2n=0.6·设质点在变力F=(3x 4y)i (7x-y)j的作用下,沿椭圆ax2 y2=4的逆时针方向运动一周所作的功等于6π,则a=4.二、选择题(8×4′=32′)7·当x→0时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是(D)A·∫0x1n(1 t3/2)dt;B·ta…     

二元函数极值的一种新判别方法

通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域…     

多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理:如果函数z=f(x,y)的编导数在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在.由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续.这对函数f(x,y)的要求是比较苛刻的,可是我们经常会遇到函数u=f(z,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在而不连续,而另一个偏导数存在且连续.遇到这类函数就无法用可微性充分条件定理去判定函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)是否可微.     

Approximation of the Cubic Functional Equations in Lipschitz Spaces

Let G be an Abelian group and let ρ : G×G→[0,∞) be a metric on GLet E be a normed spaceWe prove that under some conditions if f : G→E is an odd function and Cx : G→E defined by Cx(y) := 2 f(x + y) +2 f(x-y) + 12 f(x)-f(2x + y)-f(2x-y)is a cubic function for all x∈G, then there exists a cubic function C : G→E such that f-C is LipschitzMoreover, we investigate the stability of cubic functional equation2 f(x + y) + 2 f(x-y) + 12 f(x)-f(2x + y)-f(2x-y) = 0 on Lipschitz spaces.     

二重极限的一致收敛性判别法

本文将复杂的二元函数的极限问题转化为较简单的一元函数极限是否一致收敛的问题考察之。定理　设 f( x,y)在 ( 0 ,0 )点的某去心邻域内有定义 ,则 limx→ 0y→ 0f ( x,y) =A的充分必要条件是 :当r趋于 0时 ,f ( rcost,rsint)在 [0 ,2π]上一致收敛于常数 A。证明　必要性　由 limx→ 0y→ 0f( x,y) =A,知对任意 ε>0 ,存在 δ>0 ,当 0 相似文献   

电子科技大学高等数学期末试题(附答案)

(2 0 0 2 .6 )一、填空题 ( 1 0分 ,每小题 2分 )1 . limx→ 0 ( 1 +3 x) 2sinx =　　 [e6 ]　　 .　　 2 .设 y =x +lnx,则 dxdy=　　 [xx +1 ]　　 .3 .设 f ( x)可导 ,y =f ( ex) ,则 y′=　　 [f′( ex) ex]　　 .4.∫1- 1x|x|dx =　　 [0 ]　　 .　　 5.∫π20 sin5xdx =　　 [c]　　 .二、选择题 ( 1 5分 ,每小题 3分 )1 .设 f ( x) =1 -2 e1x1 +e1x,则 x =0是 f ( x)的 ( B) .( A)可去间断点 ;( B)跳跃间断点 ;( C)无穷间断点 ;( D)振荡间断点 .2 .设 f ( x)在 x =a处可导 ,则 limx→ 0f ( a +h) -f ( a -h)h =( B) .( A) f′( a)…     

关于复变函数的微分中值定理及其证明

<正> 复变函数论是数学分析在复数域中的进一步发展和推广,它的许多概念和定理与数学分析中的理论相类似.复变函数的极限、连续以及导数与微分的定义.形式上和数学分析中一元函数的相应定义一致.比如,在数学分析的微分学中,对一元函数的导数是这样定义的:设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义(包括x_0点),当自变量x在x_0处有增量(?)时,相应地函数有增量△y=f(x_0+△x)-f(z),当△x→0时,比值的极限存在,称此极限为函数y=f(x)在x_0处的导数.记为f’(x).复变函数的导数定义为:设函数w=f(z)在     

MAXIMAL CALDERóN-ZYGMUND SINGULAR INTEGRAL ON RBMO

§1Introduction Letk(x,y)beafunctiononRd×Rd\{(x,y)∶x=y}whichsatisfiesthesize condition:|k(x,y)|≤C1|x-y|n,(2)andLipschitzcondition:thereexistsarealnumberγ>0,if|x-y|>2|y′-y|,|k(x,y)-k(x,y′)|+|k(y,x)-k(y′,x)|≤C2|y′-y|γ|x-y|n+γ.(3)Givenalocallyintegrablefunctionf,let Tε,Nf(x)=∫ε<|x-y|ε>0|Tε,Nf(x)|.HereT*f(x)maybeinfinite.Itisobviousthatlimε→0,N→∞T*ε,Nf(x)=T*f(x).Wesay k(x,y)aCalder n-Zygmundkerneli…     

关于多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理为:如果函数z=f(x,y)的偏导数?z/?x,?z/?y在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在。由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续,所以对函数f(x,y)的要求就比较苛刻,可是我们经常会遇到函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在但这个偏导数不连续,而     

向径函数的球面平均及其点态收敛性

设球面平均函数为Mt（f）（x）=∫s^n-1f（x-ty′）dσ（y′）,则当f∈L^p（R^n）是向径函数，n≥3,1〈p≤n/（n-1）时，lim（t→0）Mt（f）（x）=f（x）几乎处处成立。     

从改变量函数到微分(Ⅰ)

基于无穷小量是极限为零的函数这一事实，视Δy=f（t）-f（x）和Δx=t—x为在点x的任一邻域上有定义的改变量函数，可准确地诠释导数f（x）作为二函数之商的极限的本性,进而自然地揭示微分df（x）=f（x）dx作为一个普通函数的实质．     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

函数的周期性与图像对称性的相互关系

全文约定:函数y=f(x)的定义域为R．结论1 若函数y=f(x)的图像关于x=a 和x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)为周期函数．证明∵函数y=f(x)的图像关于x= a和x=b对称, ∴ f(-x)-f(x 2a), 且 f(-x)-f(x 2b)．∴ f(x 2a)=f(x 2b)．∴ f(x)=f[x (2a-2b)]．∴函数y=f(x)是周期函数,2a-2b是     

多元函数的微分法则

我们知道 ,若函数 x =φ( s,t) ,y =ψ( s,t)在点 ( s,t)有连续导数 ,函数 z =f ( x,y)在相应点 ( x,y) =(φ( s,t) ,ψ( s,t) )有连续偏导数 ,则复合函数 z=f (φ( s,t) ,ψ( s,t) )在点 ( x,t)可微 ,且dz =( z x x s+ z y y s) ds+( z x x t+ z y y t) dt同样有 ,若函数 x =φ( t) ,y =ψ( t)在点 t可微 ,函数 z =f ( x,y)在相应点 ( x,y) =(φ( t) ,ψ( t) )有连续偏导数 ,则复合函数 z =f (φ( t) ,ψ( t) )在点 t可微 ,且 dz =( z x+ z ydydt) dt;若函数 x =φ( s,t)在点 ( s,t)有连续偏导数 ,函数 z =f ( x)在相应点 x =φ( s,t)有…     

二重极限与累次极限的关系

二元函数f(x,y)在点(a,b)的二重极限和累次极限是两类不同的极限.前者是指同时x→a与y→b时(即(x,y)→(a,b)时,也即(x-a)~2 (y-b)~2→0或|x-a| |y-b|→0时.其中“→”均含有|x-a| |y-b|≠0之意)的极限.而后者是指x→a在先,y→b在后;或者y→b在先,x→a在后时,f(x,y)的极限.下面举例说明两者之异同,供学生参考.