等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

对一道几何题的讨论

有这样一道几何题“如图1,△ABC中,高AD、CG交于F,E为BC的中点。设AD=BC=2a求证EF+DF=c”。这是一个古老的命题。其实,只当△ABC为锐角三角形时为真,其证明可采用几何法或坐标法(证明略)。当△ABC为钝角三角形时我们有下面的结论: 在钝角三角形ABC中,高AD、GC的延长线交于点F,E为BC的中点,若AD=BC=2a,则EF-DF=a,如图2所示。证明:建立如图2所示坐标系,设点F的坐标为(x,y),则点A、B、c的坐标分别为     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

等腰梯形判定定理另证

等腰梯形的判定定理:若一个梯形的对角线相等,则这个梯形是等腰梯形.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BD,求证:梯形ABCD为等腰梯形.证明∵在梯形ABCD中,AD∥BC,     

一道全国初中数学联赛题的另解

<正>先了解一个公式,平分圆周角的弦长公式:如图1,点A、B、C在⊙O上,弦AD平分∠BAC,若∠BAC=2α,AB=a,AC=b,AD=c,则c=(a+b)/2cosα.证明如图2,连接CD、BD、BC,BC交AD于点E.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.于是CD=BD.因为∠CBD=∠BAD,     

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有     

三割线定理的一个新证及其推广

一、三割线定理如图1,PAB、PCD、PEF为⊙O的三条割线,其中割线PEF经过弦AD和BC的交点G,则1/PE+1/PF=2/PG.我们先证明如下引理:如图2,△ABC和△XYZ内接于⊙O,则△ABC/△XYZ=     

2010年莫斯科大学计算数学与控制论系入学考试试题解答

题目(重庆市初中数学竞赛)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.求证:BD=CD.分析由题设中的已知条件,△ABC为等腰直角三角形.易求得∠BAD=15°,∠ACD=75°,∠DCB=15°.要证明BD=CD,即要证明∠DBC=15°,或证明点D在BC的中垂线上.     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

等腰三角形的一条性质及其应用

<正>一、性质在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.则AB²=AD2=AD²+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB2+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB²=AH2=AH²+BH2+BH²=AD2=AD²-DH2-DH²+BH2+BH²=AD2=AD²+(BH2+(BH²-DH2-DH²)=AD2)=AD²+(BH+DH)(BH-DH)=AD2+(BH+DH)(BH-DH)=AD²+BD·DC.注当点D在边BC的延长线上,则     

一道向量证明题的多角度思考

题目　已知△ABC中 ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若a·b =b·c =c·a ,则△ABC为正三角形 .笔者将该题的证明作为高一期末试题 ,在阅卷中发现同学们给出了许多证法 .今列出其中较为典型的六种证法 ,供同学们学习时参考 .思考 1:由于平面向量具有代数形式和几何形式双重身份 ,因而解题中若能充分利用向量的几何形式 ,将会使问题轻松解决 .图 1　解法 1图证明 1　如图 1,取BC边上的中线AD ,由平行四边形性质得c -d =2AD ,又由条件得 (c -b)·a =0 ,∴ 2AD·a =0 ,∴AD⊥BC ,∴AB =AC .同理AB =BC ,故△ABC是正三角形 .思考 2 :向量的…     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

一道四边形内切圆问题演变探究

<正>学习完切线长定理后,我遇到一个问题,问题如下:问题1四边形ABCD的内切圆为☉O,如图1所示,切点分别为E,F,G,H,求证:AB+CD=BC+AD.如何证明AB+CD=BC+AD呢?观察图形,我发现四边形ABCD的四条边被四个切点分成八条线段,由切线长基本图,它们恰好变成四对相等线段,即AH=AG,BH=BE,DF=DG,CF=CE,将上面四个式子相加可得AH+BH+DF+CF=AG+BE+DG+CE,即为AB+CD=BC+AD.     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

一个定理的七十二变

有这样一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的证明方法如下:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.求证:BC=12AB.证法一如图1,延长BC至D使CD=BC,连结AD.根据"边角边"可证△ABC≌     

从一道习题所想到的——兼谈联想、猜想和思维能力的培养

题目:设点D在△ABC的边BC上,且分BC为m∶n.求证:nAB+mAC>(m+n)AD. 证明:如图(1),引BE∥AC交直线AD于     

该题还可以进一步简证

题目如图1,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,BE与CF交于点P,过点P作BC的平行线分别交DF、AD、DE于点G、H、K.求证:GP=HK.该题,文[1]给出了一个简证,笔者通过一番琢磨,给出一个更为简洁的证明.证明如图2,设过点P与BC平行的直