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在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1 用向量证明三角形角分线定理 .证明 如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1 命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明 设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得 AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得 … 相似文献
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向量法解立体几何问题,当然首选坐标形式.然而,受前提“建立空间直角坐标系”的制约,事实上它却很难得到普遍的应用.作为补充,下面介绍利用向量的非坐标形式解决立体几何问题的若干思路和方法,力求说明向量不用坐标形式也行!1选好“基底”,视基底为“基本量”列式例1如图1,四面体ABCD中,AB⊥CD,AD⊥BC.求证:AC⊥BD.证明设BA=a,BD=b,BC=c.则AB⊥CD BA⊥CD a·(b-c)=0 a·b=a·c.同理AD⊥BC c·b=c·a.∴AC·BD=(c-a)·b=c·b-a·b=c·a-c·a=0,∴AC⊥BD,即AC⊥BD.评注选定a,b,c为基底,以它们为基本量,就能列出有关向量的… 相似文献
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如图 1 ,D为△ ABC边 BC上的点 ,若△ ABD与△ ADC内切圆相等 ,则把线段 AD叫做△ ABC的等圆线 .文 [1 ]论证了等圆线的存在性和唯一性 ,本文给出等圆线的几条性质 .下面的讨论中 ,p、p1、p2 分别是△ ABC、△ ABD、△ ADC的半周长 ,γ、γ′分别是△ ABC与△ ABD、△ ADC的内切圆半径 ,BC= a,CA =b,AB =c.定理 1 若 AD是△ ABC的等圆线 ,则AD2 =p( p - a) . 证明 如图 1 ,由S△ ABD S△ ADC=S△ A BC,得 r′p1 r′p2 =rp即 r′r=pp1 p21由图 1易知p1 p2 =p AD 2 图 1若 I是△ ABC内心 ,… 相似文献
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文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易... 相似文献
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三角形的Brocard点的两个特征性质 总被引:1,自引:1,他引:0
设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1 设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC… 相似文献
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向量是数学新教材的重要概念之一 ,由于向量能有效地将复杂的几何论证问题转化为简单的数学运算 ,体现了中学数学重要的思想方法之一———转化思想 .向量方法在平面几何、立体几何及解析几何中有广泛的应用 ,其在新教材中占有较重的份量 .现举例说明向量的数量积在几何中的应用 .1 证明三线共点例 1 如图 1,已知AD ,BE ,CF是△ABC的三条高 ,求证 :AD ,BE ,CF三线交于一点 .图 1 例 1图证 设BE ,CF交于一点H ,AB→ =a ,AC→ =b ,AH→=h ,则BH→ =h -a , CH→ =h -b , BC→ =b -a .∵BH→ ⊥AC→ ,CH→ ⊥AB→ ,∴ (h … 相似文献
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平面向量的数量积是一个重点、难点 .学生对平面向量的数量积及其性质的应用 ,往往感到困难、或无从入手 .本文从以下几个方面讲解它的性质及应用 .两个非零向量 a和 b,它们的夹角为θ,把数量 | a| b| cosθ叫做 a和 b的数量积 (或内积 ) ,即 a . b =| a| | b| cosθ.1 数量积 (内积 )定义的直接应用例 1 在△ ABC中 ,AB=c,BC=a,CA= b,求证 :△ ABC为正三角形的充要条件是 :a . b =b . c =c . a.分析 “ ”即充分条件因 BC =a,CA =b,AB =c,由 a . b =b . c=c . a,得 a . b =abcos(π - C) ,b . c =cbcos(π - A) ,c . a =cac… 相似文献
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A 题组新编1 .(1 )在△ ABC中 ,设 BC=a,CA =b,AB =c,则△ ABC为正三角形的充要条件是a . b =b . c =c . a.(2 )设 O、A、B、C是平面内互异的四点 ,OA =a,OB =b,OC =c,且 a b c=0 ,a . b =b . c =c . a,试判断△ ABC的形状 .(3)在四边形 ABCD中 ,设 AB =a,BC= b,CD =c,DA =d,且 a . b =b . c =c .d =d . a,试判断四边形 ABCD的形状 .(本题由金曦东供题并作答 )B 藏题新掘2 .双曲线 x24 - y25=1的左、右焦点分别为 F1、F2 ,P是双曲线右支上一点 ,I为△ PF1F2 的内心 ,PI交 x轴于 Q点 ,若 |F1Q|= |PF2 |,则 I分 P… 相似文献
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设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高 相似文献
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一题多解既可使所学知识发生纵横联系,又能培养我们思维的广阔性、发散性、灵活性.现就课本习题举例如下. 例1 已知:梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC求证:AC=BD.(几何第二册,第171页). 证法一如图1,直接证明△ABC≌△DBC,即可. 证法二如图2,过点C作CE//BD,交AD的延长线于E.证明△CDE≌△ABC即 相似文献
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设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c… 相似文献
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文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证 充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .… 相似文献
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内心与旁心的一类向量关系 总被引:1,自引:0,他引:1
本文给出关于三角形与四面体内心和旁心的一类优美的向量关系.1与三角形内心和旁心相关的向量关系图1定理1图定理1△ABC的内切圆与BC,CA,AB依次相切于D,E,F,圆心为I,记BC=a,CA=b,AB=c,则(Ⅰ)aID b IE c IF=0(1)(Ⅱ)a DA b EB c FC=0(2)证∵aIA b IB c IC=0[1],∴(aID DA) b(IE 相似文献
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