幂等矩阵的组合的零度与秩

本文研究了两个幂等矩阵P与Q的组合Ap Bq-Cpq(a≠0,b≠0)的秩.利用矩阵的核子空间及线性空间的同构的有关性质,得到了:当c＝a b时,Ap Bq-Cpq的秩为一个常数,且等于P-Q的秩;当c≠a b时,Ap Bq-Cpq的秩为一个常数,且等于P Q的秩,推广了J. J. Koliha和V. Rakoeeie[3]的结果.     

两个幂等矩阵组合的Drazin逆

证明了两个不同的非零幂等矩阵P,Q的组合A=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(PQ)~2+h(QP)~2+i(QP)~2Q,(其中a,b,c,d,e,f,g,h,i∈C,a,b≠0)在条件(PQ)~2P=(PQ)~2下存在Drazin逆,并且给出其Drazin逆计算公式.     

两个幂等矩阵的组合的群逆

本文研究了当P与Q是两个复数域上的n阶幂等矩阵且满足PQP=PQ时,组合aP+bQ+cP Q+dQP+eQP Q的群逆问题,利用矩阵的分块及群逆的性质,证明了它是群逆阵,并且给出了其群逆的表达式,其中ab=0,a,b,c,d,e为复数.     

矩阵方程aX2+bX+cE=O的正定解和实对称解

给出了矩阵方程aX2+bX+cE=O,a,b,c∈R,a≠0有正定解,实对称解的充分必要条件及解的一般形式.     

一对幂等算子的值域和核的关系

将探讨并证明由两个幂等算子P,Q,通过线性组合生成P-aQ,aP+bQ-cPQ和aP+bQ-cP~(m-1)Q的值域和核的关系,其中a,b,c∈C,还进一步分析当P,Q加强为m次幂等算子时,这些线性组合还具有哪些特性.     

m次数量幂等矩阵线性组合的可逆性

如果有非零数λ与μ使Pm=λP,Qm=μQ,则称P,Q分别是由λ,μ确定的m次数量幂等矩阵．本文证明了,若有非零数a与b,当μam-1（-1）m-1μbm-1≠0时,使可交换的分别由λ,μ确定的m次数量幂等矩阵P,Q的线性组合aP＋bQ是可逆的,那么对任意非零数u,u,当λμm-1-（-1）m-1μvm-1≠0时,uP＋vQ也是可逆的．本文主要结果和方法的应用,可以推广已有文献的2次、3次幂等矩阵的线性组合可逆的结论．     

一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

顾此失彼

例已知实数a、b、c满足a/b=b/c=c/a,求(b+c)/a的值.解法一(1)当a+b+c≠0时,由等比定理,得     

关于幂平均值的两个不等式

在代数和几何问题中,常要用到基本的幂平均值(ar+ br2 ) 1r,其中a>0 ,b>0 ,r≠0 .对于它的估值,除了利用min{ a,b}≤(ar+ br2 ) 1r≤max{ a,b} ,(aα+ bα2 ) 1α≤ab≤(aβ+ bβ2 ) 1β(a<0 <β)和幂平均不等式[1](ar1+ br12 ) 1r1≤(ar2 + br22 ) 1r2 　(r1≤r2 )之外,其它方法甚少.针对这种幂平均值,本文建立了两个不等式,为这种幂平均值提供了一种新的估值方法,利用它们并配合上面列出的不等式,常能很方便地得到满意的估值效果.定理1　设a>0 ,b>0 ,a≠b,则当0 2时(ar+ br2 ) 1r<12 (a+ b) 2 + (r- 1) (a- b2 ) .当1相似文献   

关于双曲线的一种方程

1　关于双曲线的一种方程设在平面直角坐标系中有两条相交直线l1 和l2 ,它们的方程分别是l1 :a1 x+b1 y+c1 =0 ,　l2 :a2 x+b2 y+c2 =0 .因为是相交直线 ,所以当然满足条件a1 b2 -a2 b1 ≠ 0 ( 1 )则凡以这两条相交直线作为渐近线的双曲线的方程总能写成(a1 x+b1 y+c1 ) (a2 x+b2 y+c2 ) =d ( 2 )其中d是任一非零常数 .反之 ,方程 ( 2 )当d≠ 0并且满足上述条件( 1 )时 ,就表示以l1 和l2 为渐近线的一条双曲线 .关于这一结论可以查阅高等学校的解析几何教材 ,比如吕林根、许子道等人编著的由高教出版社出版的《解析几何》[1 ] (第三版 ) .其…     

可换对合阵组合的可逆性

先讨论两个可换对合阵P,Q线性组合aP+bQ可逆的充分必要条件及可逆时逆矩阵计算公式,再利用矩阵分解,以两种形式讨论两个可换对合阵P,Q组合aI+bP+cQ+dPQ及三个两两可换对合阵P,Q,R组合aI+bP+cQ+dPQ+eR+fPR+gQR+hPQR可逆的充分必要条件及可逆时分别给出逆矩阵计算公式.     

环上幂等矩阵线性组合的Drazin逆

给出了环R上幂等矩阵P,Q满足不同条件:(1)PQP=0;(2)PQP=PQ;(3)PQ=QP;(4)PQP=P时P+aQ的Drazin逆的表达式,推广了一些已有的结论.     

幂等算子线性组合的幂等性

设P与Q是Hilbert空间中的两个不同的幂等算子.本文主要刻画了幂等算子P与Q的线性组合仍是幂等算子的充要条件,从而推广了Baksalary与Baksalary (2000)的结论.值得指出的是,我们通过严密的推理发现,其定理的条件P_1P_2≠P_2P_1是非必要的.     

数量对合矩阵的线性组合的秩的不变性

若矩阵A、B满足A2=λ2I、B2=μ2I（λμ≠0）,称A、B都是数量对合矩阵．当非零复数a、b、u、v满足μλ＋bμ≠0、uλ＋vμ≠0时,我们证明了数量对合矩阵A、B与单位矩阵,的线性组合的秩总是相等,并且是一个与a、b、札、u选择都无关的常数．应用所得到数量对合矩阵的线性组合的秩的不变性,可推广已有文献的关于对合矩阵的相应结果．     

关于幂等阵的相似与线性组合

证明了数域上两个同阶幂等阵相似的充要条件是它们有相同的秩;给出了幂等阵的相似标准型;讨论了两个幂等阵的线性组合仍是幂等阵的充要条件.     

On intersections of independent anisotropic Gaussian random fields

Let XH = {XH(s),s ∈RN1} and X K = {XK(t),t ∈R N2} be two independent anisotropic Gaussian random fields with values in R d with indices H =(H1,...,HN1) ∈(0,1)N1,K =(K1,...,KN2) ∈(0,1) N2,respectively.Existence of intersections of the sample paths of X H and X K is studied.More generally,let E1■RN1,E2■RN2 and FRd be Borel sets.A necessary condition and a sufficient condition for P{(XH(E1)∩XK(E2))∩F≠Ф}>0 in terms of the Bessel-Riesz type capacity and Hausdorff measure of E1×E2×F in the metric space(RN1+N2+d,) are proved,where  is a metric defined in terms of H and K.These results are applicable to solutions of stochastic heat equations driven by space-time Gaussian noise and fractional Brownian sheets.     

脉冲中立型时滞微分方程解的振动性

本文讨论一阶脉冲中立型时滞微分方程［ｙ（ｔ）＋Ｐｙ（ｔ－σ）］′＋Ｑ（ｔ）ｙ（ｔ－σ）＝０，ｔ０，ｔ≠ｔｋ，ｋ＝１，２，…，ｙ（ｔ＋ｋ）－ｙ（ｔ－ｋ）＝ｂｋｙ（ｔｋ），ｋ＝１，２，…，｛（Ｅ）这里τ，σ，Ｐ均为常数，τ＞０，σ＞０，Ｑ（ｔ）∈Ｃ（［０，∞），Ｒ＋），ｂｋ＞－１，ｋ＝１，２，…．分三种情况，Ｐ－１；－１＜Ｐ＜０；Ｐ＞０给出了方程（Ｅ）所有解振动的充分条件．