关于学生氏U－统计量的渐近性质

设Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ（ｎ≥２）为ｉ．ｉ．ｄ随机变量，Ｕｎ为以ｈ（ｘ１，ｘ２）为对称核的Ｕ－统计量，Ｅｈ（Ｘ１，Ｘ２）＝θ，且．设是的ＢｏｏｔｓｔｒａＰ量，施锡铨［１］在关于核ｈ的二阶矩的条件下，证明了：当ｎ→∞时，因此依分布收敛于标准正态变量．本文在关于核ｈ的４阶矩的条件下，讨论了Ｗｎ的分布渐近正态的一致性界限．     

相依样本下非参数回归函数递推型核估计的渐近分布

设（Ｘｉ，Ｙｉ）１≤ｉ≤ｎ为来自二元总体（Ｘ，Ｙ）的平稳，φ－混合样本，记ｍ（ｘ）△Ｅ（Ｙ│Ｘ＝ｘ），ｍ（ｘ）的一种递推型核估计为ｍｎ（ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１ｈｉ＾－１Ｙｉｋ（（ｘ－Ｘｉ）／ｈｉ）／ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊｋ（ｘ－Ｘｊ）／ｈｊ）。本文在一定的条件下证明了（ｎ／（ｎ∑ｊ＝１ｈ＾－１ｊ）＾１／２）（ｍｎ（ｘ１）－ｍ（ｘ１），ｍｎ（ｘ２）－ｍ（ｘ２），．．．ｍｎ（ｘｒ０）－ｍ（ｘｒ０））′依分布收     

U—统计量渐近正态余项的收敛性

本文给出Σ↑∞↓ｎ＝１ｎ＾－１＋δ／２ｓｕｐ↓ｘ│Ｐ（ｕｎ／（ｎ－１）√ｎσｇ〈ｘ）－Φ（ｘ）│〈∞的一个充要条件，减弱文［１］中对核函数的矩的要求。     

方差估计的随机加权分布的渐近展开—非独立同分布情形

设Ｘ１，．．．，Ｘｎ是一组独立的随机变量序列，设ＥＸｉ＝０，ＶａｒＺｉ＝μ２，ｉ＝１，２，．．．，ｎ，其中μ２是待估参数，当Ｘｉ，ｉ＝１，２，．．．ｎ给定后，分别用Ｄｎ＝ｎ∑ｉ＝１Ｖｉ（Ｘｉ－Ｘ）＾２－１／ｎｎ∑ｉ＝１（Ｘｉ－Ｘ）＾２及Ｕｎ＝ｎ∑ｉ＝１（Ｘｉ－Ｘ）＾２及Ｕｎ＝ｎ∑ｉ＝１Ｖｉ（Ｘｉ－ｎ∑ｉ＝１ＶｉＸｉ）＾２－１／ｎｎ∑ｉ－１（Ｘｉ－Ｘ）＾２两种形式的随机加权分布来逼近Ｔｎ＝１／ｎｎ∑     

最佳L2局部逼近存在唯一的充分必要条件

本文给出了最佳Ｌ２局部逼近的存在唯一性定理，设ｆ∈Ｌ２（０，δ），Ｓｎ＝ｓｐａｎ（ｕ０，ｕ１，．．．Ｕｎ－１）Ｃ＾ｎ－１（０，δ），且ｄｅｔＷｎ（ｕ０，ｕ１，．．．ｕｎ－１；０）≠０，那么，当ｘ→０时，网（Ｐｘ（ｆ，Ｓｎ）收敛于Ｓｎ中某元素Ｐ０（ｆ，Ｓｎ）的充要条件为：ｆ＝Ｐｎ－１＋ｈ，其中Ｐｎ－１（ｔ）＝ｎ－１∑ｉ＝１ａｉｔｉ（ｈ，１）ｘ＝０（Ｘ＾ｎ），ｘ→０，且Ｐ０（ｆ，Ｓｎ）＝ＵＷ＾－１ｎＡ     

双下标随机变量顺序统计量和的一个强大数定律的推广

本文论证了当双下标随机变量的分布函数Ｆ（ｘ）满足∫∞－∞｜ｘ｜ｐｄＦ（ｘ）＜∞（ｐ＞２）时有强大数定律ｌｉｍｎ→∞１ｎ２∑ｎｉ＝１ｉＸ（ｎ）ｉ＝１２Ｅｍａｘ（Ｘｎ１，Ｘｎ２）ａ．ｓ．成立．其结果优于文献［１］．     

P.Turan问题XXXV的一个注记

本文给出了有关Ｐ．Ｔｕｒａｎ问题ＸＸＸＶ［关于逼过论的某些未解决的问题，Ｊ．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，１９８０，２９（１）：２３－８５］的一个结果。设ｒｉｎ（ｘ）为（０，２）插值的第一类基函数，其插值节点为（１－ｘ）Ｐｎ＇（ｘ）之零点而Ｐｎ（ｘ）为ｎ次Ｌｅｇｅｎｄｒｅ多项式。那么ｍａｘ－１≤ｘ≤１∑ｉ＝１ｎ│ｒｉｎ（ｘ）│＝Ｏ（ｎ＾５／２ｌｎｎ）．但对ｆ＾＊＝ｘ＾２却有ｌｉｍ↓ｎ→     

相依样本下密度函数及其导函数的相合随机窗宽核估计

设（Ｘｎ）是Ｒ＾１中的平稳，强混合序列，具有公共的密度ｆ（ｘ），则可定义ｆ（ｘ）及其导函数ｆ＾（ｒ）（ｘ）的核估计与最近邻估计ｆ＾（ｒ）ｎ（ｘ）＝（ｎｈ＾ｒ＋１ｎ（ｘ））＾－１ｎ∑ｉ＝１Ｋ＾（ｒ）（Ｘｉ－Ｘ／ｈｎ（ｘ）），ｆｎ（ｘ）＝（ｎａｎ（ｘ））＾－１ｎ∑ｉ＝１Ｋ（Ｘｉ－ｘ／ａｎ（ｘ））其中核函数Ｋ（Ｘ）为取定的概率密度函数，且具有ｒ（ｒ≥０）阶导数，窗宽ｈｎ（ｘ）＝ｈｎ（ｘ；Ｘ１，．．．，Ｘ     

相依样本下条件密度双重核估计的强相合性

设（Ｘ１，Ｙ１），…，（Ｘｎ，Ｙｎ）是从取值于Ｒ＾ｐ×Ｒ＾ｑ的随机向量（Ｘ，Ｙ）中抽取的随机样本，在给定Ｘ＝ｘ的条件下Ｙ具有条件密度ｆ（ｙ│ｘ）。在本文中，我们考虑ｆ（ｙ│ｘ）的通常的和递归形式的双重核估计ｆｎ（ｙ│ｘ）＝ｎ∑ｉ＝１Ｋ１（Ｘｉ－ｘ／ａｎ）Ｋ２（Ｙｉ－６／ｂｎ）／〔ｂｎ＾ｑｎ∑ｊ＝１Ｋ１（Ｘｊ－ｘ／ａｎ）〕ｆｎ（ｙ│ｘ）＝ｎ∑ｉ－１Ｋ１（Ｘｉ－ｘ／ａｉ）Ｋ２（Ｙｉ－ｙ／ｂｉ）／ｎ∑ｊ     

一类指数型整函数值算子的逼近性质

设（Ｕσｆ）（ｘ）＝Σ↓ｋ∈Ｚｆ（Ｘｋ）Ａσ（Ｘ－Ｘｋ），Ｘｋ＝２ｋπ／σ，ｋ∈Ｚ，σ〉０，ｆ是Ｒ上的有界函数，而Ａσ（ｙ）＝２／σ∫σ０ｓｉｎ＾ｍ（σ－Ｘ）ｈ／ｓｉｎ＾ｍ（σ－Ｘ）ｈ＋ｓｉｎ＾ｍｘｈｃｏｓｘｙｄｘ，ｍ为奇自然数，０〈ｈ〈π／σ，本文研究了此插值算子的收敛与饱和问题。     

固定设计下半参数回归模型的参数估计的Bootstrap逼近

考虑固定设计下的半参数回归模型： ｙ_ｉ＝ｘ_ｉβ＋ｇ（ｔ_ｉ）＋ ｅ _ｉ,ｉ ＝１, ２,…; ｎ． 对利用一般非参数估计法结合最小二乘法得到的参数分量β和误差方差σ~２的估计量β_ｎ和σ_ｎ~２,通 过重抽样的方法构造了β_ｎ和σ_ｎ~２的 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ统计量β_ｎ~＊和 σ_ｎ~（＊２）,并证明了在给定原样本的条件下,ｎ~（１／２） （β_ｎ－β_ｎ）和（σ_ｎ~（＊２）－σ_ｎ~２）分别与ｎ~（１／２）（β_ｎ－β）和ｎ~（１／２）（σ_ｎ~２－σ~２）有相同的渐近分布．     

关于丢番图方程D1x^2＋2^mD2=y^n的解数

设Ｄ１、Ｄ２、ｍ、ｘ、ｙ是适合Ｄ１〉１，Ｄ２〉１，２├Ｄ１Ｄ２，ｇｃｄ（Ｄ１，Ｄ２）＝ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１的正整数，ｎ是适合ｎ├ｈ的奇素数，其中ｈ是虚二次域Ｑ（√－２＾ｍＤ１Ｄ２）的类数。本文主要证明了：方程Ｄ１ｘ＾２＋２＾ｍＤ２＝ｙ＾ｎ至多有５．１０＾１６组例外解（Ｄ１，Ｄ２，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）而且这些解都满足了７≤ｎ〈８．５．１０＾６以及ｙ＾ｎ〈ｅｘｐ（ｅｘｐ（ｅｘｐ４６））。     

条件中位数L_1－模核估计的逐点相合性

设（Ｘ，Ｙ）．（Ｘ１，Ｙ１），（Ｘ２，Ｙ２），…为Ｒｄ×Ｒ１上ｉ．ｉ．ｄ．随机向量序列。Ｙ对Ｘ的条件中位数θ（ｘ）定义为在Ｘ＝ｘ时Ｙ的条件分布函数的中位数．校函数Ｋ（·）是Ｒｄ上正实值函数，对ｘ∈Ｒｄ，θ（ｘ）的Ｌ１－模核估计θｎ（ｘ）定义由（１）给出．本文中，我们将文献［４］的均匀核法推广至一般核的情况，并在定义了θ的Ｌ１－模核估计基础之上，研究了其逐点相合性质．     

异方差回归模型近邻型估计的相合性

本文研究异方差回归模型Ｙｉ＾（ｎ）＝ｇ（ｘｉ＾（ｎ））＋εｉ＾（ｎ）,ｉ＝１,…,ｎ,其中ｇ是右实函数,ｘｉ＾（ｎ）是非随机设计点列,εｉ＾（ｎ）是随机误差,文中定义了一类ｇ（ｘ）的近邻型估计ｇｎ（ｘ）＝（ｎ）∑（ｉ＝１）Ｗｍ（ｘ）Ｙｉ＾（ｎ）,得到了ｒ阶平均相全和渐近正态性,特别,在（∞）∑（ｎ＝１）（ｎ）∑（ｉ＝１）Ｅ／εｉ＾（ｎ）／＾ｓ／（ｎｉ）＾ｓ／ｒ〈∞,ｍａｘＥ（１≤ｉ≤ｎ）／εｉ（＾     

一类线性errors－in－variables模型的参数强相合估计及其a．s．收敛速度

本文讨论了如下一类线性ｅｒｒｏｒｓ－ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ模型——多元线性结构关系模型β′ｘｋ＋α＝０，ξｋ＝ｘｋ＋εｋ．｛ｋ＝１，２，…，ｎ．其中，｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝为一组ｉ．ｉ．ｄ．的ｍ维随机向量，｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝是ｉ．ｉ．ｄ．的随机误差，Ｅ（ε１）＝０，Ｖａｒ（ε１）＝σ２Ｉｍ．且｛ｘｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝与｛εｋ：ｋ＝１，２，…，ｎ｝相互独立．在一些条件下，我们证明了估计量β，α，σ２的强相合性、唯一性，并给出了估计量的收敛速度为ｏ（ｎ－１－１ｑ），这里ｑ∈［１，２）．对于Ｅ（ｘ１）ｕ１和Ｖａｒ（ｘ１）Ｖｘ的估计也得出了同样的结果     

密度泛函核估计的Bootstrap逼近

设Ｘ１，．．．，Ｘｎ是从分布密度函数为ｆ的总中抽取的ｉｉｄ样本，μ＝ＥＸ１本文研究了密度泛函θ＝ｆ（μ）的核型估计，ｆｎ（ｘ）为通常的Ｒｏｓｅｎｂｌａｔｔ－Ｐａｒｚｅｎ核估计。     

一类序保持系统解的收敛性

本文研究微分方程组ｘｉ＝Ｆｉ（ｘ１，…ｘｎ）（ｘ∈Ｒｎ＋）解的收敛性．如果该系统满足下列条件：（ｉ）Ｆ（Ｏ）Ｏ；（ｉ）Ｆｉ（ｘ１，…ｘｎ）关于ｘｋ是单调增的（ｋ≠ｉ）；（ｉｉ）Ｆ（ｘ＊ｇ（ｓ））ｈ（ｓ）＊Ｆ（ｘ）（０ｓ１），这里ｘ＊ｙ＝（ｘ１ｙ１，…ｘｎｙｎ），ｇ，ｈ：［０，１］→［０，１］ｎ满足ｇｉ（０）＝ｈｉ（０）＝Ｏ，ｇｉ（１）＝ｈｉ（１）＝１，Ｏ＜ｇｉ（ｓ），ｈｉ（ｓ）＜１，ｓ∈（０，１）；（ｉｖ）系统的每个解在Ｒｎ＋中有界，则每个解收敛于奇点．本文还把这一结果推广到离散的序保持动力系统．     

一类指数型整函数插值算子的逼近性质

设（Ｕσｆ）（ｘ）＝∑ｋ∈Ｚｆ（Ｘｋ）Ａσ（Ｘ－Ｘｋ）,Ｘｋ＝２ｋπσ,ｋ∈Ｚ,σ＞０,ｆ是Ｒ上的有界函数,而Ａσ（ｙ）＝２σ∫σ０ｓｉｎｍ（σ－Ｘ）ｈｓｉｎｍ（σ－Ｘ）ｈ＋ｓｉｎｍｘｈｃｏｓｘｙｄｘ,ｍ为奇自然数,０＜ｈ＜πσ,本文研究了此插值算子的收敛与饱和问题．     

秩为k的有限序列t—相交族

设ｎ，ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ为正整数及Ｍ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）＝｛（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）｜０ｘｉｓｉ，且ｘｉ为正整数｝．若ＦＭ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）满足：对任何ａ，ｂ∈Ｆ，都至少有ｔ个ｉ使ａｉ∧ｂｉ＝ｍｉｎ（ａｉ，ｂｉ）＞０，则称Ｆ为Ｍ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）中的一个ｔ－相交序列族．对ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）∈Ｍ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ），称ｒ（ｘ）＝∑ｎｉ＝１ｘｉ为ｘ的秩．本文讨论并得到当ｓ１＝ｓ２＝…＝ｓｎ时Ｍ（ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ）中秩为ｋ的有限序列最大相交族，从而获得了由Ｅｎｇｅｌ和Ｆｒａｎｋｌ提出的一个关于有限序列相交族的公开未解问题在ｋｎ＋ｔ－１情形下的解．     

关于Szasz—Kantorovich算子的强逆不等式

本文对Ｓｚａｓｚ－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子Ｓｎ＾＊（ｆ，ｘ）证明了，当１〈ｐ≤∝时存在某一正整数ｍ，使得ｗψ＾２（ｆ；１／√ｎ）ｐ≤Ｍ（‖Ｓｎ＾＊（ｆ，ｘ）－ｆ‖ｐ＋‖Ｓｍｍ＾＊（ｆ，ｘ）－ｆ‖ｐ），ψ（ｘ）＾２＝ｘ，Ｍ〉０，ｗψ＾（ｆ，ｔ）ｐ为Ｄｉｔｚａｉｎ和Ｔｏｔｉｋ光滑模〔２〕。