正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题，受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题． 引理1圆内接四边形为平行四边形（矩形），当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径．     

正素数边形任何三条对角线形内不共点

whc57是杨之先生在1986年提出的一个猜想：当n为奇数时,正n边形的任何三条或三条以上对角线在形内不共点(参见[1])．本文证明n为素数时猜想成立．     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值．本文给出一个构造性的简证，供参考．     

正n边形所有对角线与边长的m次方幂的和

关于半径为R的圆内接正n边形所有对角线与边长的m（m∈Z^＋）次方幂的和，文[1]研讨了m=2p（p∈Z^＋）且P〈n时的情形，[2]进一步研讨了m=2p（p∈Z^＋）时的情形，但当m=2p-1（p∈Z^＋）时的情形，没有解决。本文给出m∈Z^＋时的情形。     

空间n边形中的射影定理和余弦定理

三角形中的射影定理、余弦定理和正弦定理,文[1]已(于1954年)推证到凸n边形。文[2]则应用不同的方法(复数方法)对文[1]的结论进行了再论证。文[3]将前两个定理推证到n面体。本文拟应用向量代数中的一个最基本的等式推证,较易得到空间n边形中的射影定理和余弦定理。     

正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题,受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题.引理1圆内接四边形为平行四边形(矩形),当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径.引理2圆内接四边形为菱形(正方形),当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条互相垂直的直径.引理1,引理2由简单的平面几何知识即可得证,在此从略.问题1以正八边形的八个顶点为顶点可作多少个四边形?其中含有多少个梯形?多少平行四边形(含矩形)?多少个菱形(含正方形)?分析1)此正八边形的八个顶点中任意四点即可构成一个四边形,故四边形个数为C4=70.2)若构成梯…     

关于k√n的不等式猜想的再研讨

文[1]给出了一个关于k√n的不等式猜想，文[2]指出该猜想的右侧不等式，即对于正整数n，k〉1，不等式k√n〈kn＋（k-1）/k＋1k√n-k（n-1）＋（k-1）/k＋1k√n-1在k=2时不成立，当k〉2时成立．本文研究了该猜想的左侧不等式，对于正整数n，k〉1，不等式     

过一点作三次函数图像切线条数的完备结论

文[1]回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线．受文[1]启发，一个自然的问题是：过哪些点可以作三次函数Y图像的一条切线、两条切线？本文在文[1]的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论．     

椭圆内接n边形面积最大值的简证

文[1]探求了椭圆内接n边形面积最大值.本文给出一个构造性的简证,供参考.引理圆柱形物体的斜截口为椭圆.简析如图1,OA     

多边形中一个不等式的改进

设Bi是凸n边形A1A2…An的边凡；Ai-1Ai上的内点，mi表示△AiBiBi 1的周长，i=1，2，…，n并约定A0=An，Bn 1＝B1，记n边形B1B2…Bn的周长为m，则文[1]给出；当k>0时有注意上式等价于：诸mi的-k次幂的平均本文将其改进为：诸mi的几何平均（由平均不等式易知（2）的两边都优于（1》上当n边形山人·人的内角相等时，有更强萨故有ABi十AB＋1＜BB＋IC8“百，则由M＝HB，＋HB．．＋l＋B，Bi＋1可得所以（2）式成立．当诸内角A相等时，易知即（3）式成立．证毕．由（3）式易将文［1］定理推广到等角n边多边形中一个不等式的改进@简超$…     

关于多边形共点线的几个猜想的研究

文[1]给出了凸多边形中对角线和主对角线的定义．（编者按：为了规范名称，作为三角形和梯形相关概念的推广，我们称多边形顶点与对这中点连线为中线，两边中点连线为中位线，分布在其两侧顶点数相同的，再加个“主”字．）并提出如下猜想：1．若凸2n＋1边形的2n条主中线都平分其面积，则第2n＋1条亦然，且2n＋1条主中线共点O且被O分成等比的两段．2．若凸Zn边形n条主中位线均平分其面积，则它们共点O且均被O平分．3．若凸Zn边形n条主对角线均平分其面积，则它们共点．本文将证明上述猜想，并给出有关的结果．对文中所涉及的序号遍历性问…     

用伸缩变换求椭圆内接n边形面积的最大值

文[1]、文[2]从不同角度解决了椭圆内接咒边形面积的最大值问题,但都比较繁琐．本文用伸缩变换解决这一问题．     

正n边形对角线在形内交点的计数公式

１９８６年张忠辅先生提出“寻求正ｎ边形在形内交点的计数公式”问题，杨之猜想：当ｎ为奇数时，任何三条或三条以上对角线在形内不共点［１］．１９９７年罗增儒先生在他的专著《数学解题学引论》一书中，将其列为第８个待解决的问题．本文用解析法解答了这一问题．引理...     

关于椭圆内接n边形面积最大值问题的解答

文[1]数学疑难专栏提出:圆x~2+y~2=r~2的内接n边形中,具最大面积的是圆内接正n边形.那么,设a>b>0,椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的内接三角形的最大面积是多少?内接四边形呢?内接n边形呢?,对于前两问,文[2]通过下面两个定理已给出解答.     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

关于复方阵的平方根

本刊文 [1]中提出如何判断一个方阵是否存在平方根的问题 .这里 ,我们就 n阶复方阵情形给出三个判别准则 .设 A是 n阶复方阵 ,JA 表示它的若当标准形 ,则存在相似变换矩阵 P,使得 A=PJAP-1 .有关复方阵 A的若当标准形 JA 以及相似变换矩阵P的求法 ,见本刊文 [2 ]或 [3 ] ,本文不再赘述 .定义 1　设 A是 n阶复方阵 ,若存在 n阶复方阵 B,使得 B2 =A,则称 B为 A的平方根 .为书写简便 ,我们用记号 Jr( x) ( r≥ 1)与diag[B1 ,B2 ,… ,Bs]分别表示 r阶若当矩阵和对角块矩阵 :x 1 x 1x∈ Mr( C) ,B1 B2 Bs.用文 [2 ]中给出的计算复…     

Rn空间中单位球面覆盖的半径问题

Banach空间X中的一个闭球族B是X的球覆盖，如果B中的任一元素不包含原点作为其内点，且B中元素之并覆盖了X的单位球面炙．一个球覆盖B称为是极小的当且仅当B的势小于或等于X中所有球覆盖的势．文献[1]证明了在R^n中球覆盖的极小势为n＋1，本文重点利用文献[4]所给出的n维空间中n-单形与其外接超球面间的若干关系，证明了在有限维欧氏空间R^n中极小球覆盖的最小半径为n/2，且当极小球覆盖中（n＋1）个球的球心恰好为球面詈＆的内接正则n-66单形的顶点时可以取到．     

对有理指数幂的一点讨论

文[1]、[2]对分数指数幂的定义域提出了两种截然不同的观点，究其原因在于对与当α＜0时之间关系的理解差异．本文将在这方面作进一步探讨，从而给出（m、n为自然数）的定义域．1根式与分数指数幂的关系根式与分数指数幂的关系为：其中m、n为自然数，n＞1．当n为偶数，m为奇数时，其它情形αR．（i）若n为奇数，则（ii）若n、m都为偶数，则（iii）若n为偶数，m为奇数，则此时a≥0，（1）式显然成立．利用（1）式及根式的性质可以定义底非负的正分数指数幂卜十一（sgn。）"X于一yi7i'－－－，并推出其性质．2底为实数的正有理指数幂定义定义…     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

老师 我没有听懂 请你再讲一遍——关于求证sum from k=0 to n(1/k~3<5/4(n∈N~*))的教学案例及思考

1问题的提出笔者在拜读文[1]后受益匪浅,在这里把文[1]“考题”改编成以下问题·问题求证:当n≥1,n∈N*时,总有∑nk=11k3<45·证明当n≥2时,因为n13=n·1n2