纠正《高等数学》(同济四版)的一个错误

《高等数学》[1]中关于两类曲线积分关系的推导是错误的 .关于两类曲线积分关系有一个熟知的公式 ,即∫LP(x,y) dx+Q(x,y) dy=∫L [P(x,y) cosα+Q(x,y) cosβ]ds,(1 )其中 cosα,cosβ为有向弧段 L的切向量的方向余弦 .但《高等数学》中关于 (1 )的推导是错误的 .它给出曲线弧 L的参数方程x=φ(t) ,　 y=ψ(t) (2 )(注意从 (2 )中体现不出弧的方向 ) ,它又假定有向弧起点和终点的参数分别为 α和 β,然后下式成立∫LP(x,y) dx+Q(x,y) dy=∫βα {P[φ(t) ,ψ(t) ]φ′(t) +Q[φ(t) ,ψ(t) ]ψ′(t) }dt. (3)它又设有向弧切向量为t={…     

关于双曲型方程的狄里赫利问题的两点注记

1°在文献[1]中D.Bourgin与R.Duffin研究了絃振动方程在矩形区域上可适定的狄里赫利问题,他们指出对于问题:若设(i)a=T/s为K阶代数无理数,(ii)φ(x),φ_1(x)∈C~(K+4)[0≤x≤s],ψ(t),ψ_1(t)∈C~(K+4)[0≤t≤T],φ(0)=φ(s)=φ_1(0)=φ_1(s)=ψ(T)=ψ_1(0)=ψ_1(T)=0,则定解问题(A)存在唯一解y(x,t)∈C~2[0≤x≤s,0≤t≤T]。他们的结果系利用代数数论中Liouville定理。由于Liouville定理已被Roth在1955年改进成最佳形式,     

集论公理的简约与基数的方幂

如命 tran_R m 指(uRv ∧usm→·usm),而 xR_*y 指m(tran_Rm∧ysm→·xsm),则集论的六条公理(对偶、联集、幂集、分出、替换、无穷)可合并为一条:x!yφ(x,y)→sy(yssx(xs_*axp_*b·φ(x,y)),这里“!y”指“最多只有一个 y”,而 xpb 指“x 为 b 的幂集”.给定无穷基数 a 后,可定义:f_0(α)=μβ(α~β>α),σ_0(α)=μγ(γ~(f_0(α))>α);f_(k 1)(a)=μβ(γ<σ_k(α))γ~β>α,σ_(k 1)(α)=μγ(γ~(f_(k 1)(α))>α).则有定理:当1≤βγ,则有:当g(δ)≤α≤g(δ)~β时α~β=g(δ)~β,对此外的α,则必α~β=α.     

一类振荡积分算子在Wiener 共合空间上的有界性

假设a,b0并且K_(a,b)(x)=(e~(i|x|~(-b)))/(|x|~(n+a))定义强奇异卷积算子T如下:Tf(x)=(K_(a,b)*f)(x),本文主要考虑了如上定义的算子T在Wiener共合空间W(FL~p,L~q)(R~n)上的有界性.另一方面,设α,β0并且γ(t)=|t|~k或γ(t)=sgn(t)|t|~k.利用振荡积分估计,本文还研究了算子T_(α,β)f(x,y)=p.v∫_(-1)~1f(x-t,y-γ(t))(e~(2πi|t|~(-β)))/(t|t|~α)dt及其推广形式∧_(α,β)f(x,y,z)=∫_(Q~2)f(x-t,y-s,z-t~ks~j)e~(-2πit)~(-β_1_s-β_2)t~(-α_1-1)s~(-α_2-1)dtds在Wiener共合空间W(FL~p,L~q)上的映射性质.本文的结论足以表明,Wiener共合空间是Lebesgue空间的一个很好的替代.     

一类二阶耦合积分边值问题的可解性

在一对上-下解和下-上解存在的条件下,研究了一类二阶耦合积分边值问题{-x"=f_1(t,x,y,x"),-y"=f_2(t,x,y,y'),t∈[0,1],x(0)=y(0)=0,x(1)+∫_0~1y(t)dA(t)=0,y(1)+∫_0~1x(t)dB(t)=0}解的存在性,其中f_1,f_2∈C([0,1]×R~3,R).     

具p-Laplacian算子型奇异方程组边值问题正解的存在性

本文讨论了一类具p-Laplacian算子型奇导方程组边值问题(φp(x'))'+α1(t),f(x(t),y(t))=0,(φp(y'))'+α2(t)g(x(t),y(t))=0,x(0)-β1x'(0)=0,x(1)+δ1x'(1)=0,y(0)-β2Y'(0)=0,y(1)+δ2y'(1)=0正解的存在性,其中φp(x)=|x|p-2x,p>1.通过使用不动点指数定理,在适当的条件下,建立了这类奇异方程组边值问题存在一个或者多个正解的充分条件.这些结果能用来研究椭圆型方程组边值问题径向对称解的存在性.     

非线性FREDHOLM积分方程组的求解方法

在文[1]中,我们研究了含参数 λ 的如下形式的非线性 Fredholm 积分方程组(?)(x;λ)=f(x)+λ(?)Φ(x,y,(?)(y;λ))dy (1)的求解问题,这里 λ 适当地小,(?)(x;λ)=((?)_1,…,(?)_i)~T 是未知的 l 维向量,f(x)=(f_1)…,f_(?))~T是已知的 l 维向量,Φ=(Φ_1,…,Φ_l)~T,每个分量Φ_j(x,y,(?)_1,…,(?)_l)(j=(?)     

定积分換元法則的一点改进

通常所见Riemann积分换元公式的形式是:若φ(α)=a,φ(β)=b,则在适当条件下有 integral from a to b(f(x)dx)=integral from α to β(f[φ(t)]φ′(t)dt)。在常义R(Riemann)积分时须假定:f(x)在[a,b]上连续,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续。这时上述等式成立。或者假定:f(x)在[a,b]上R可积,φ(t),φ′(t)在[α,β]上连续,且φ′(t)≥0(或φ′(t)≤0,即φ(t)单调)。本文证明了:若f(x)在[a,b]上有界,φ(t)可表成R可积函数φ(t)的不定积分,则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件为f[φ(t)]φ(t)在[α,β]上R可积,并且有上述等式成立(详见下文定理1)。     

齐型空间中分数次积分交换子的加权端点估计

该文得到齐型空间中分数次积分交换子[b,I_α]的加权端点估计ω({x∈X:|[b,I_α]f(x)|t})≤Cψ(∫_xA(||b||_*(|f(x)|/t)■(ω(x))dμ(x))其中b∈BMO(X,d,μ),A(t)=tlog(e+t),ψ(t)=[tlog(e+t~α)]~(1/(1-α)),■(t)=t~(1-α)log(e+t~(-α)).     

Oscillatory Strongly Singular Integral Associated to the Convex Surfaces of Revolution

Here we consider the following strongly singular integral T_(?,γ,α,β)f (x, t) =∫ _(R~n)e~[i|y|~(-β)]?(y/|y|)/|y|~(n+α)f (x - y, t - γ(|y|))dy,where ? ∈ L~p(S~(n-1)), p 1, n 1, α 0 and γ is convex on(0,∞).We prove that there exists A( p, n) 0 such that if β A( p, n)(1 + α), then T_(?,γ,α,β)is bounded from L~2(R~(n+1)) to itself and the constant is independent of γ. Furthermore,when ? ∈ C~∞(S~(n-1)), we will show that T?,γ,α,βis bounded from L~2(R~(n+1)) to itself only if β 2α and the constant is independent of γ.     

半拟线性p-Laplacian问题结点解的存在性

In this paper, we study the existence of nodal solutions for the following problem:-(φ_p(x′))′= α(t)φ_p(x~+) + β(t)φ_p(x~-) + ra(t)f(x), 0 t 1,x(0) = x(1) = 0,where φ_p(s) = |s|~(p-2)s, a ∈ C([0, 1],(0, ∞)), x~+= max{x, 0}, x~-=- min{x, 0}, α(t), β(t) ∈C[0, 1]; f ∈ C(R, R), sf(s) 0 for s ≠ 0, and f_0, f_∞∈(0, ∞), where f_0 = lim_|s|→0f(s)/φ_p(s), f_∞ = lim|s|→+∞f(s)/φ_p(s).We use bifurcation techniques and the approximation of connected components to prove our main results.     

一类微分方程积分因子求法

—阶微分方程p(x,y)dx Q(x,y)dy=0,当它不是全微分方程但可化为形式x~(α_1)y~(β_1)(m_1ydx n_1xdy) x~(α_2)Y~(β_2)(m_2ydx n_2xdy)=0(1)(其中α_1,β_1,m_i,n_i,i=1,2,均为常数)时,若用观察法不易找到其积分因子.并且一般即方程也不存在仅与x或仅与y有关的积分因子.下面介绍这类方程(即方程(1))求积分因子的一个方法.     

ON MULTILINEAR FRACTIONAL INTEGRALS

§1 Introduction In this paper we consider the boundedness of the followingoperators T_α(A_1, …, A_m, f) (x)=∫_(IR~n) multiply from j=1 to m((R_(K_j+1)(A_j, x, y))/(|x-y|~K_j))f(y)/(|x-y|~(n-α))dy (1)     

齐型空间上的分数次极大算子的加权弱型不等式

设(X,d,μ)是 Coifman-Weiss 意义下的齐型空间,0≤α<1.定义 α阶分数次极大算子(?)~αf(x,t)=(?)1/(μ(B(x,r))~(1-α))∫_(B(x,r))|f(y)|dy.本文的目的有二:其一是将[3]、[4]中关于(?)~α 的加权弱型结果推广到齐型空间;其二是对限制增长的 Young′s 函数Φ,得到(?)~α 的弱型加权 Φ-不等式.     

齐型空间上的分数次极大算子的加权弱型不等式

设(X,d,μ)是 Coifman-Weiss 意义下的齐型空间,0≤α<1.定义 α阶分数次极大算子(?)~αf(x,t)=(?)1/(μ(B(x,r))~(1-α))∫_(B(x,r))|f(y)|dy.本文的目的有二:其一是将[3]、[4]中关于(?)~α 的加权弱型结果推广到齐型空间;其二是对限制增长的 Young′s 函数Φ,得到(?)~α 的弱型加权 Φ-不等式.     

SOME NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS FOR THIRD ORDER SINGULAR SUBLINEAR MULTI-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS

We mainly study the existence of positive solutions for the following third order singular multi-point boundary value problem{x(3)(t) + f(t, x(t), x′(t)) = 0, 0 t 1,x(0)-m1∑i=1 αi x(ξi) = 0, x′(0)-m2∑i=1 βi x′(ηi) = 0, x′(1)=0,where 0 ≤ ai≤m1∑i=1 αi 1, i = 1, 2, ···, m1, 0 ξ1 ξ2 ··· ξm1 1, 0 ≤βj≤m2∑i=1βi1,J=1,2, ···, m2, 0 η1 η2 ··· ηm2 1. And we obtain some necessa βi =11, j = 1,ry and sufficient conditions for the existence of C1[0, 1] and C2[0, 1] positive solutions by constructing lower and upper solutions and by using the comparison theorem. Our nonlinearity f(t, x, y)may be singular at x, y, t = 0 and/or t = 1.     

SANDWICH-TYPE RESULTS FOR A CLASS OF CONVEX INTEGRAL OPERATORS＊

Let H(U) be the space of analytic functions in the unit disk U.For the integral operator Aφ,(ψ)α,β,γ:K → H(U),with K (C) H(U),defined by Aφ,(ψ)α,β,γ[f](z) =[β+γ/zγφ(z)∫z0fα(t)(ψ)(t)tδ-1 dt]1/β, where α...     

一个两秩核积分方程正解个数

本文讨论了形如 的积分方程属于[0,1]正解的个数问题,其中k(x,y)=φ_1(x)φ_1(y)+φ_2(x)φ_2(y),φ_i(x)>0,φ_i(y)>0,0相似文献   

THE BOUNDEDNESS OF MULTILINEAR COMMUTATORS FROM L^P （R^n） TO TRIEBEL-LIZORKIN SPACES

Let (→b)=(b1,…,bm),bi∈Λβi(Rn),1≤i≤m,0＜βi＜β,0＜β＜1,[(→b),T]f(x)=∫Rn,(b1(x)-b1(y))…(bm(x)-bm(y)))K(x-y)f(y)dy where K is a Calder(o)n-Zygmund kernel.In this paper,we show that[(→b),T] is bounded from Lp (Rn) to Fβ,∞p(Rn),as well as[(→b,Iα)] from Lp(Rn) to Fβ,∞p(Rn),where 1/q=1/p-α/n.     

柱面上一类微分方程的研究(Ⅰ)

<正> §1.前言研究方程(d~2φ)/(dt~2)+α(dφ)/(dt)+F(φ)=β(1)其中α>0,β>0,F(φ)满足下列条件:(i)F(φ)=F(φ+2π),F(φ)=-F(-φ),F(0)=0,F(φ)∈C~1.(ii)在[0,π]上,φ=0,φ′_1,…,φ′_(n-1),π为 F(φ)=0之单根.(iii)在[0,π]上,曲线 y=F(φ)在φ_1~*,…,φ_n~*处取极值,不妨设在φ_1~*,φ_3~*,…处取极大值,在φ_2~*,φ_4~*,…处取极小值.