空集也有“多虑”时

在解与子集有关的集合类试题时,同学们最容易遗忘的可能是那讨厌的空集了,它总让我们防不胜防,受害非浅.殊不知,在解题时,空集也会有"多虑"时,你不信?且看下例:     

非空集类有生成半域的条件

探讨一个非空集类是否一定有生成半域的问题．通过类比的方法提出“非空集类的生成半域”的概念。反例说明并非任意的非空集类都有生成半域．给出非空集类有生成半域的一个充分条件,以及在该条件下非空集类的生成半域的构造方法．最后给出由任意的非空集类构造其生成域的办法．     

一个不容忽视的集合——空集

空集是一个特殊且重要的集合,用Φ表示．由于它不含任何元素,在解题的过程中极易被忽视,特别是当题设中隐含有空集参与的集合问题时,忽视空集的特殊性质往往导致错解．     

说三道四话空集

进入高中学习,高中数学的第一个内容是集合,对我们初学者来说,集合中空集是我们较难对付的概念．在解决集合中有关的问题时,特别是求参数范围时,常常由于少考虑到空集这个因素,使得问题的求解变得不完整,甚至出现错误．可以这样说这类问题的求解错误都是空集惹的祸．     

一类规划问题所给最优性必要条件的注记

本文指出了一类规划问题所给最优性必要条件中所存在的问题。对于一些带有附加项，（如（x^TDx)^1/2‖Sx‖p）的单目标规划问题一般都给出了一个类似集合Z^0 ，并以“Z^0为空集”作为一个前提条件。本文指出此条件太强，并论证了当只有Z^0为空集时，就可推出强最优性必要条件，而不必要求“x^0是最优解”。     

集合问题中的空集

集合是同学们进入高中学习的第一个数学概念,也是数学中的基本概念,在集合的学习过程中,许多同学对空集这个特殊集合的理解往往不是很深刻,尤其在一些解题过程中,由于对空集的不理解,经常会漏掉空集这种特殊情况,从而导致错误.本文主要是探究在实际解题过程中为何漏掉空集的情况,以及在实际解题过程中应该注意哪些问题,从而避免犯同样的错误.     

集合问题中的空集

<正>集合是同学们进入高中学习的第一个数学概念,也是数学中的基本概念,在集合的学习过程中,许多同学对空集这个特殊集合的理解往往不是很深刻,尤其在一些解题过程中,由于对空集的不理解,经常会漏掉空集这种特殊情况,从而导致错误.本文主要是探究在实际解题过程中为何漏掉空集的情况,以及在实际解题过程中应该注意哪些问题,从而避免犯同样的错误.     

集合解题误区警示与剖析

<正>解集合问题时,若对集合的基本概念理解不透彻,或思考不周密,常常会出错.本文就集合这一内容的学习中常见问题作一归纳与剖析.一、忽视空集空集?,是一个特殊的集合,它是不含任何元素的集合,具有以下性质:??A,?A≠(A≠?),A∪?=A,A∩?=?.在解有关集合的问题时,常因忽略这些性质而造成解题过     

问题183三角迷题

观点1空集既不是有限集也不是无限集．理由：全日制普通高级中学教科书必修（人民教育出版社2003年版）中,先后定义了有限集、无限集和空集,行文上是并列关系。由此可以认为空集既不是有限集也不是无限集．     

一个不可忽视的集合——空集

<正>空集是一个极其特殊又非常重要的集合,它不含任何元素,空集具有如下性质:①对任意集合A,都有?A=?和?∪A=A;②对任意集合A,都有??A;③对任意非空集合A,都有??A.正因为空集的特殊性,常常成为备类考试的热点.而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解,所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.下面举几例说明,以供同学们参考.     

选择公理与连续统假设

§1.引言 选择公理(AC)令s为由互不相交之非空集x所成之集,则必存在集,c与每个x有且仅有一个共同元。 称上述之c为s之“选择集”。当s仅由一个非空集x构成时,由x为非空之定义立见AC成立;从而当s为有限集时AC亦成立。但当s为无限集时,既无法在有限时间内从每个x中任选一元来构成c,又没有一种规则能对每个x都唯一地确定出一个元     

争鸣

问　题　　问题 1 2 　在高中新教材《数学》第一册 (上 )教参第 5页中 ,教参要求不必让学生去辨析 { }与 的关系 ,但在实际数学中 ,我们发现学生由于对空集 感兴趣 ,因而对 { }与 的关系免不了进行讨论 ,并求助于老师 ,现有三种观点 :观点 1　认为 是 { }的元素 ,即 ∈ { } ,因为 { }中含有 ,这里应将 看作一个符号 ,而不能视 为空集 .观点 2　认为 是 { }的子集 ,即 { } ,因为 是教材规定的表示空集的专用符号 ,而不宜将 视作一个毫无意义的纯粹符号 ,既然 表示空集 ,那么 与 { }只应是集合与集合之间的关系 .观点 …     

漫谈“空集”

什么叫做空集?新编高中《数学》第一册第五页上写着“不含任何元素的集合,叫做空集”. 回顾集合的定义“一些确定的元素组成的整体叫做集合”[见本刊1981年第2期第4—6页]。如果我们用这个定义来理解上面所说的空集定义,这就说明在空集定义中已经承认了“整体”中可以“不含任何元素”,而且把“不含任何元素”所组成的“整体”也认为     

说三道四话空集

<正>进入高中学习,高中数学的第一个内容是集合,对我们初学者来说,集合中空集是我们较难对付的概念.在解决集合中有关的问题时,特别是求参数范围时,常常由于少考虑到空集这个因素,使得问题的求解变得不完整,甚至出现错误.可以这样说这类问题的求解错     

“Ф”的备忘录

上高一见到“ ” ,就像小学一年级见到“0” ,那以后多少次与“0”相遇 ,多少次因“0”马失前蹄 ,今天又多少次与“ ”相遇 ,又多少次因“ ”功败垂成 .为避免重蹈覆辙 ,特书“ ”的备忘录 .按定义 :“把不含任何元素的集合叫做空集” .不少同学以为“空集”就是空的 ,空的就是没有 ,以为 { } = .事实上 :1 .空集是没有 (即不含 )任何元素的集合 ,这里没有的是元素 ,而不是没有集合 ;2 .“空集”本身不是“没有”而是“有” ,正是这个“有”常常被我们忽视 .如集合 { }就是表示含有空集 这个元素的集合 ,即 ∈ { }而不是 { } = ;3…     

多人合作费用分摊的多目标规划解法

考虑核心是空集的情况，针对核心法的适用范围和局限性，建立了一种多人合作费用分摊的多目标规划模型，给出了求解费用分摊方案的两阶段算法。最后通过一个实例说明了该方法的可行性。     

一类非一致双曲系统中“历史集”的Hausdorff维数

本文证明在一类一维非一致双曲系统中Birkhoff均值的商的"历史集"如果不是空集,则它就具有满的Hausdorff维数.     

极限疑难

在■的定义中不可缺少的任意小正数■必须具有(0,1/n)的性质,但(0,1/n)=φ(空集)。在(x)=+∞的定义中不可缺少的任意大正数G必须具有(n,+∞)的性质。而(n,+∞)=φ。因而在极限定义中不可缺少的任意小正数(?)或任意大正数G具有矛盾的性质,一方面是(0,+∞)中的元素,另一方面又是空集的元素,即不是(0,+∞)中的元素,构成极限疑难。     

集合、简易逻辑

学习集合要注意元素的“三性”——确定性，互异性与无序性，要注意空集的特殊性，要注意符号“∈”与“包含于”、“不包含于”的区别，要注意求补集的前提，要注意使用Venn图直观表达集合的关系及运算．     

构造自然数算术系统的一种新方法

用公理化方法来定义非空集上的二元关系〈，使得〈与该集合构成全序集，在全序集中给出最小元素原理的定义，再构造一个含有最小元素原理的适当公理系统来重新给出自然数的公理化定义，然后从构造的自然数公理系统中严格推导出一些基本命题，最后根据这些基本命题来完成对自然数算术系统的精确刻画，从而得到一种具体构造自然算术系统的新方法。