15个著名的不定方程问题

１５个著名的不定方程问题杨仕椿（四川西充县常林中学６３７２００）不定方程的研究，是数论研究中的热点与难点，它以其内容简洁易懂而方法艰深困难向人类的智慧提出挑战．除了著名的Ｆｅｒ－ｍａｔ大定理外，还有许多的其它不定方程问题，本文列举出１５个问题，逐一阐...     

平面动力问题的理论求解

通过对平面动力问题控制方程的分析,研究了相应的应力函数，得出了关于应力函数的基本方程。     

一个扩散问题的自然边界元法与有限元法组合

本文讨论由Helmholtz方程描述的扩散问题的自然边界元法与有限元法的组合．取一个圆作为公共边界，用Fourier展开建立边界积分方程，将无界区域上的问题化为有界区域上的非局部边值问题．在变分方程中公共边界上的未知量只包含函数本身而不包含其法向导数，从而减少了未知数的数目，并且边界元剐度矩阵只有极少量不同的元素，有利于数值计算．这种组台方法优越于建立在直接边界元法基础上的组合方法．文中证明了变分解的唯一性，数值解的收敛性和误差估计．最后讨论了数值技术并给出一个算倒．     

参数方程与极坐标问题

参数方程是解析几何的重要内容．利用参数法求轨迹方程,或者利用轨迹的参数方程来解题,有时会显得十分灵活和便利．     

一类扩散型变分方程问题

本文讨论了扩散型方程的某些分析性质,得到了一些较为深刻的结论,并应用这些结论证明了一类扩散型变分方程解的存在性。同时,还指出这类变分方程在随机控制的研究中有着重要的理论意义。     

有势场逆问题的边界元法

本文给出了位势方程逆问题的一种最小二乘边界元解法。控制方程为Ｌａｐｌａｃｅ方程，但一部分边界上未给出任何边值，而只在某些内点上给出了势函值。这一问题在数学上属不适定问题，但在一定条件下存在唯一解。本文同时给出了一种估计解的可靠性的方法。数值试验表明，这类逆问题采用边界元法是非常有效的。     

关于热传导－对流问题的有限元方法分析

关于热传导－对流问题的有限元方法分析沈树民（苏州大学）ＴＨＥＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＡＮＡＬＹＳＥＳＦＯＲＴＨＥＣＯＮＤＵＣＴＩＯＮ－ＣＯＮＶＥＣＴＩＯＮＰＲＯＢＬＥＭＳ￥ＳｈｅｎＳｈｕ－ｍｉｎ（ＳｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：...     

问题

摘取学生导数作业中的几例典型错误，加以分析，旨在引起同学们的注意．     

一类带裂缝散射问题的边界积分方程方法

声波的散射问题中,如果散射体由不可穿透障碍物和可穿透裂缝两部分组成,障碍物表面分别满足第一类和第三类边界条件,裂缝两边满足不同的第二类边界条件,通过位势理论,可以将此混合问题转化为边界积分方程,通过Fredholm算子理论可以得到这个边界积分方程解的存在性和唯一性,从而获得原问题解的存在和唯一性.     

问题

问题164 设点A（2，0），点B在圆x^2＋y^2=1上，点C是∠AOB的角平分线与线段AB的交点，求当B运动时点C的轨迹方程．     

勒让德方程本征值的确定

大部分数学物理方法教材直接给出了勒让德方程本征值的表达式,比较突兀,学生也难以理解.为消除学生在此处的学习障碍,直接从勒让德方程的一般形式入手,通过常点邻域的级数解法,推导出勒让德方程本征值的表示形式.     

用积分方程法解板的振动问题*

本文把带有集中质量、弹性支承和弹簧支撑着的质量块(振子)的薄板的振动微分方程化成为积分方程的特征值问题。然后利用广义函数理论和积分方程理论,得到了用一无穷阶矩阵的标准特征值形式给出的频率方程,从而方便地得到了固有频率和振型。并讨论了这种方法的收敛性。     

Positive and Nontrivial Solutions for the Urysohn Integral Equation

We establish new criteria for the existence of either positive or nonzero solutions of the Urysohn integral equation. We also discuss the existence of an interval of positive eigenvalues and sufficient conditions for the existence of at least a positive eigenvalue with a nonzero or positive eigenfunction for the Urysohn integral operator. Among others, we employ techniques based on fixed point index theory for compact maps, which are new for this type of equation.     

0rr-Sommerfeld方程的特征值问题及展开定理

Orr-Sommerfeld方程的特征值问题及展开定理,对于研究流体层流稳定问题具有重要意义,因此,有不少作者研究过.但据文献[6],这一问题还不能认为已完全解决.因此在本文中,我们进一步研究了这一问题,得到的具体结果是:展式的系数满足一个Paley-Wiener型不等式,它是通常完备正交系展式系数所满足的Bessel等式的一个推广:而且证明了展式是绝对一致收敛的.     

一类Dirac方程特征值问题的迹恒等式

讨论了带有非局部边界条件的一维Dirac方程BdY/dx+P(x)Y=λY的特征值问题,其中首先建立了问题的特征值集合与一个整函数u(λ)零点集合的对应,并对Dirac算子的特征值进行了估计,然后借助于一个积分恒等式,采用留数方法,得到了该问题的特征值的迹恒等式.     

驻定Harry—Dym方程解的参数表示

本文推导出相联于ＨＤ（Ｈａｒｒｙ－Ｄｙｍ）族的Ｌｅｎａｒｄ递归方程的多项式解，并证明了任一驻定ＨＤ方程的解都可由非线性比的ＨＤ特征值问题的解表示。     

A Modification of the Projection Method for Integral Equation of the First Kind

A modification of the projection method is proposed for an integral equation of the first kind with a Fourier core on an interval. The proposed method replaces the eigenvectors corresponding to a multiple eigenvalue with odd Hermite functions — the eigenfunctions of the Fourier sine transform on the half-line.     

Evolution of the Scattering Coefficients of the Camassa–Holm Equation, for General Initial Data

We consider the Camassa–Holm equation for general initial data, particularly when the potential in the scattering problem of the Lax pair, m +κ, becomes negative over a finite region. We show that the direct scattering problem of the eigenvalue problem of the Lax pair for this equation may be solved by dividing the spatial infinite interval into a union of separate intervals. Inside each of these intervals, the initial potential is uniformly either positive or negative. Due to this, one can define Jost functions inside each interval, each of which will have a uniform asymptotic form. We then demonstrate that one can obtain the t -evolution of the scattering coefficients of the scattering matrix of each interval. In the process, we also demonstrate that the evolution of the zeros of m +κ can be given entirely in terms of limits of the scattering coefficients at singular points.     

平板几何迁移算子的特征值问题

研究L^p(1相似文献   

On the Prandtl Equation

The unique solvability of the airfoil (Prandtl) integro-differential equation on the semi-axis ⁺ = [0, ) is proved in the Sobolev space W _p ¹ and Bessel potential spaces H _p ^s under certain restrictions on p and s.