设点的坐标解函数综合问题

<正>在求有关字母的值、点的坐标及其它计算、求值类的函数综合问题中,设出一个或两个点的坐标,就可表示出其它相关点的坐标,进而表示出相关线段的长或函数的解析式,然后根据函数的性质或题中或明或暗的等量关系列出方程求解,是一个行之有效的方法.下面通过三个中考题的解析来说明.     

求与一次函数图像有关的图形面积

求解与一次函数有关的面积问题,需注意以下几点：（1）会用函数式求函数图像与x轴、y轴的交点坐标,以及两个函数图像的交点坐标.尤其是会用含k、b的式子表示图像与坐标轴、图像与图像交点的坐标.（2）会根据函数式用点的横坐标x表示纵坐标y.（3）理解点的坐标的几何意义,会用坐标表示线段的长度.理解点的横坐标的绝对值表示点到纵轴（y轴）的距离,点的纵坐标的绝对值表示点到横轴（x轴）的距离.     

求与一次函数图像有关的图形面积

求解与一次函数有关的面积问题,需注意以下几点:(1)会用函数式求函数图像与x轴、y轴的交点坐标,以及两个函数图像的交点坐标.尤其是会用含k、b的式子表示图像与坐标轴、图像与图像交点的坐标.(2)会根据函数式用点的横坐标x表示纵坐标y.(3)理解点的坐标的几何意义,会用坐标表示线段的长度.理解点的横坐标的绝对值表示点到纵轴(y轴)的距离,点的纵坐标的绝对值表示点到横轴(x轴)的距离.     

一类共端点的三条线段数量关系的探究

<正>近几年的北京中考或中考模拟题中,几何综合题中经常涉及到探究线段的数量关系的问题.研究线段之间的数量关系是初中几何中一个重要的知识,因为涉及到的知识点比较综合,解决问题的方法需要添加辅助线,因此这种类型的题目仍然成为丢分点.本文以2019年通县一模的几何综合题为载体,几经变式,由静到动,进行深入挖掘,得到了一类共端点的三条线段的数量关系的解题方法.     

一题多解话“倍分”

题目已知:如图1,△ABC中,∠B=60°,AD、CE为高,求证:DE=1/2AC.几何中结论形式为a=1/2b的题目称为线段的二倍分问题.通常的思路是通过添加辅助线将线段的二倍分问题转化为线段的相等问题.常用方法有:(1)折半法根据图形,适当作出线段c=1/2b,然后证线段c=a;如果直接取线段b的中     

解析几何长度问题的求解策略

在解析几何问题中,如涉及到线段的长度关系,利用两点间的距离公式往往难以奏效,也非明智之举.对此类问题,我们通常总是运用向量进行"软着陆":将线段的长度关系转化为向量关系,进而转化为向量的坐标运算.下面举例说明.     

射影法在解几中的应用

高中解几课本在推导平面上任意两点的距离公式、线段定比分点公式、直线的斜率公式以及点到直线的距离公式时都用到作点或线段在坐标轴上的正投影,借助它来解题。这种作射影的方法在研究某些数学     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

何时所围三角形面积最小

在解析几何的学习过程中,我从一道题目的解决过程中发现了一个定理.题目已知直线xa yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),求当a,b为何值时,该直线与两坐标轴所围三角形的面积最小?最小值是多少?解设直线xa yb=1与两坐标轴的交点分别为A(a,0),B(0,b).故所围三角形的面积为S=12ab,又直线xa yb=1过点(1,2),得1a 2b=1,即b=2aa-1.所以S=12ab=a(1 1a-1)=a-1 1a-1 2≥4,当且仅当a-1=1a-1,即a=2时,面积S=4为最小,此时b=4.故当a=2,b=4时,所围三角形的面积最小,最小值为4.问题提出由a=2,b=4知直线x2 y4=1被两坐标轴所夹线段端点的坐标为A(2,0),B(0,4),点(1,2)恰…     

求三角形面积最大值的方法举例

<正>二次函数是初中数学的重要内容,在中考数学压轴题中常常会出现二次函数的图像内接三角形面积最大值的问题,其求解方法常常有如下几类.问题如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0).连结OA,将线段OA绕坐标原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过点A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)如果点P是(2)中抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?     

截长补短证“和差”

<正>平面几何的证明问题中,有一类题目是关于线段的和差问题即证明两条线段的和(差)等于另一条线段.在证明过程中,一般需要添加辅助线,而最常见的添加方法为延长法(补短)或截取法(截长).若要证的线段和差形如线段a=b+c.延长法(补短):根据图形,适当作出线段d=b+c,然后证:d=a;截取法(截长):根据图形,适当作出线段e=a-b,然后证:e=c.     

求四边形未知顶点坐标例析

平行四边形是初中阶段非常重要的几何图形,探求平行四边形未知顶点坐标又是近几年中考的热点话题,备受命题者的青睐.但许多学生由于不得其法而一筹莫展.现以近年来的中考试题为例,介绍一些求平行四边形未知顶点坐标的方法,供大家参考. 一、寻找相等关系,建立方程模型 例1如图1,已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图像交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式. (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.     

构造一元二次方程解题六例

<正>一元二次方程是初中数学中的重要知识之一,有些数学问题表面上看似乎跟一元二次方程没有关系,其实它们跟一元二次方程有关联.我们通过构造一元二次方程,然后或者解方程,或者利用根与系数的关系(韦达定理),或者利用根的判别式,可以很好地解决相关问题.下面我们以六道经典题目为例,体会怎样根据题目的条件来构造一元二次方程,从而达到求解的目的.     

一种平移三角函数图像的简易方法

关于三角函数图像经平移与另一个函数图像重合的问题.本文给出一种简便而又不易出错的判断方法——函数最值判断法方法先求出第一个三角函数的最大值(或最小值)点A的坐标.然后再求出第二个函数在点A左右两侧(距A最近)的最大值(或最小值)点C、B的坐标.那么平移的距离为线段     

对一道经典折叠压轴题的探析与建议

一、问题呈现题目平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,8),D是线段AB上的一点,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处(如图1),有一抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)经过O、C、D三点.(1)求线段AD的长及抛物线的解析式     

坐标轴的平移 参数方程 极坐标

1.设O＇点在原坐标系xOy中的坐标为(a,b),以O＇为原点平移坐标轴,建立新坐标系X＇0＇y＇,平面内任一点M在原坐标系中的坐标为(x,y),在新坐标系中的坐标为(x＇,y＇),推导出x＇、y＇与x、 y之间的关系。 2.平移坐标轴,分别回答下列问题: (1)点M(a, b),当原点移至何处才能使它的新坐标为(2a,-b)? (2)原点移到0＇(a,b)后,点A的新坐标为(-a,-b),点A的原坐标是什么? (3)原点0＇(0,0)移到0(2,-1)后,原坐标系x＇0＇y＇变成新坐标系x0y、曲线方程为x~2/9+y~2/4=1.此曲线在原坐标系中的方程是什么? (4)曲线x~2+xy-2y~2+x+11y-12=0在原点移到(-1,2)点后,新方程是什么?曲线的形状是什么?     

构造抽屉妙证一道竞赛题

题目平面上给定五点A、B、C、D、E,其中任何三点不在一直线上.试证:任意地用线段连结某些点(这些线段称为边),若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形,则这个图形不可能有7条或更多条边.     

用活定比分点,优化解题过程

众所周知,定比分点是解析几何中最基本的概念之一．由于定比的概念中涉及三个点：有向线段Ｐ１Ｐ２的起点Ｐ１,终点Ｐ２以及分点Ｐ,因此,在处理解析几何中三（多）点共线问题时,灵活应用或恰当引入定比,运用定比分点坐标公式进行转化,往往有助于迅速沟通知、求关系而收到以简驭繁之功效．一、以分点为分点,转移分点坐标在解析几何中,处理与圆锥曲线弦分点有关问题通常是将弦所在直线的参数方程代入圆锥曲线方程中,运用参数的几何意义求解．当弦的分点非中点时,这种方法并不简便．能否直接应用定比及定比分点坐标公式,将分点坐标…     

运用定比分点坐标公式证不等式

定比分点坐标公式是解析几何最基本的公式之一,其在解析几何题中的应用是相当广泛的,其核心是λ(定比)的确定,若设置得好, 往往能化难为易,更给人以简洁、爽心的美感. 本文给出两例不等式题目运用这一公式的证法,拟将其应用更加发扬光大. 引理要证不等式m≤f≤M,可设数轴上三点A、P、B,其坐标分别为m、f、M,其中M≥m,P点看作是有向线段AB的一个分点,     

用伸缩变换动态解决椭圆问题

题目如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2．从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹．解设点M的坐标为(x,y,),点P的坐标为(x_0,y_0),则x=x_0,y=((y_0)/2)．因为P(x_0,y_0)在圆x~2