一道高中数学预赛题的多向推广

众所周知,等差数列存在一些美妙的性质,列出如下. 性质1 等差数列{an｝的前n项之和An=an2+bn. 性质2 若等差数列{an｝与等差数列{bn｝前n项之和分别为An,Bn,则An/Bn=an+b/cn+d. 证明:设{an｝,{bn｝的公差分别为d1,d2,由An=na1+n(n-1)d1,Bn=nb1+n(n-1)d2,得An/Bn=d1/2n+(a1-d1/2)/d2/2n+(b1-d2/2)=an+b/cn+d,其中a=d1/2,b=a1-d1/2,c=d2/2,d=b1-d2/2.     

等差数列前n项和的一个性质

文[1]给出了等差数列的一个性质如下： 对于任意公差为d的等差数列{an},且．an≠0．总有： （-1）^0Cn^0/a1＋（-1）^1Cn^1/a^2＋（-1）^2Cn^2/a3＋…＋（-1）^iCn^i/ai＋1＋…^（-1）^nCn^n/an＋1=n!d^n/a1·a2…an 文[2]又给出了等比数列的一个类似的性质如下：     

等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

等差数列的一个性质及应用

设公差为 d的等差数列 { an}的前 m项之和、前 n项之和分别为 Sm、Sn,其中 m≠ n,则Sm =ma1 m(m - 1 )2 d,Sn =na1 n(n - 1 )2 d.变形得 Smm=a1 m - 12 d,1Snn=a1 n - 12 d. 21 - 2并整理得Smm- Snnm - n =d2 . 3等式 3表明等差数列 { an}具有一个重要的性质 :对于任意的 m、n∈ N 且 m≠ n,必有Smm- Snnm - n =常数 .下面通过例题说明上述性质在解决某些与等差数列前 n项和有关的问题中的应用 .例 1　在等差数列 { an}中 ,已知 S3 =S10= 3 0 ,试求 Sn 的最大值 .解　由性质得Snn- S3 3n - 3 =S101 0 - S3 31 0 - 3 ,把　 S3 =S10 …     

一道典型等差数列题的分析

题目在等差数列 ,则sn取得最大值时,n=_. 解法1 设等差数列{an}的公差为d, 由s4=s9得 化简得 ,即a7=0, 又由a1 6d=0,a1>0得 ∴数列{an}为递减的等差数列,即∴且最大,即n=6或7时,sn最大. 注若等差数列的首项a1>0,公差d<0,则此数列为递减的等差数列,即a1>a2>a3……>an……,前n项和必有最大值且所有正数项或所有非负数项的和最大.     

等差数列一个性质的再推广

文 [1 ]与文 [2 ]相隔近 2 0年先后都证明了下面等差数列的一个有趣性质 :若a1,a2 ,… ,an,an+1成等差数列 ,则当 2 ≤n∈N时 ,C0 na1-C1na2 +C2 na3-… +(-1 ) kCknak+1+…+(-1 ) nCnnan+1=0 (1 )文 [3 ]将这个性质给出如下推广 :设a0 ,a1,… ,an(n≥ 2 )成等差数列 ,则∑ni =0(-1 ) iaiCkk+iCk+ik+n =0 (2 )其中k为任意非负整数 .文 [4]又将上述性质 (1 )式给出另一形式的推广 ,即设 an 是等差数列 ,则当 3 ≤n∈N时 ,∑ni =r(-1 ) i-rCinCriai+1-r =0 (3 )本文将推广后的性质 (2 )与 (3 )式 ,再作出推广 .命题 1　设 an 是等差数列 …     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项 an、am 存在关系 :an =am + ( n - m) d,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,猜想 :等差数列中 ,前 n项和 Sn与前 m项和Sm 之间 ,Sn 与 an 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,是否能给我们带来方便 ?本文将探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am =a1 + ( m - 1 ) d,得 a1 =am+ ( 1 - m) d,代入　 Sn =na1 + n( n - 1 ) d2 ,得　 Sn =n[am + ( 1 - m) d]+ n( n - 1 ) d2=nam + n( n + 1 - 2 m) d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前 n项和与其任一项之间的关系 .由 ( 1…     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项an,am 存在关系 :an=am + (n -m )d ,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,我想 :等差数列中 ,前n项和Sn 与任意一项am,Sn 与Sm 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,能给我们带来方便吗 ?本文将重点探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am=a1+ (m -1 )d得 :a1=am+ ( 1 -m)d ,代入Sn=na1+ n(n - 1 )d2 ,得Sn=n[am + ( 1 -m )d]+ n(n - 1 )d2=nam+ n(n + 1 - 2m)d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前n项和其任一项之间的关系 .由 ( 1 )得　Sm=mam+ m( 1 -m)d2 ( 2 )( 1 ) ,…     

等差数列中Sm，Sn，Sm＋n之间的关系

在等差数列 {an}中 ,d为公差 ,Sn 为前n项和 ,则Sm,Sn,Sm +n有下列性质 .性质 1　在等差数列 {an}中 ,Sm +n=Sm+Sn+mnd(m ,n∈N ) .证明　Sm+n=a1+a2 +… +am+am +1+am +2 +… +am+n=Sm+ (a1+md) + (a2 +md) +… + (an+md) =Sm+Sn+mnd .性质 2　 Sm +nm +n=Sm-Snm -n (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　∵Sm-Sn=ma1+ m(m - 1)d2 -na1-n(n - 1)d2=(m -n)a1+ (m +n - 1)d2=m -nm +n (m +n)a1+ (m +n) (m +n - 1)d2=m -nm +nSm +n,∴ Sm +nm +n=Sm-Snm -n .性质 3　若Sm =Sn,则Sm +n=0 (m ,n∈N ,且m≠n) .证明　由性质 2知 ,Sm +nm +n=Sm-…     

等差数列的一个性质

设数列{an}是公差为d的等差数列，且对于n∈N^＊，有an≠0，当d≠0时容易得到以下几个恒等式： 1/a1a2=1/d a2-a1/a1a2=1/d（1/a1-1/a2）, 1/a1a2a3=1/2d a3-a1/a1a2a3。     

利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

等差数列前n项和公式的变式

若数列{an}是公差为d,首项为a1的等差数列,则其前n项和公式为:S=na1+n(n-1)/2d. 变式一 Sn=d/2n2+(a1-d/2)n. 看到这一变式,同学们容易想到学过的二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),它的图像是一条抛物线.因此,等差数列中的前n项和Sn及项数n构成的有序数对(n,Sn)在同一条抛物线上,是该抛物线上的一群孤立的点. 变式二 Sn/n=d/2n+(a1-d/2). 看到这一变式,同学们应该容易想到学过     

等比数列的一个性质

文 [1 ]给出了等差数列的一个性质 :设 {an}是以 d为公差的等差数列 ,则有a1+ a2 +… + ann =am+ 1+ am+ 2 +… + an-mn - 2 m .本文运用类比的方法 ,得到等比数列的一个类似的性质 .性质　设 {an}是公比为 q( q>0 )的等比数列 ,则有( a1a2 … an) 1n =( am+ 1am+ 2 … an-m) 1n-2 m,其中 n >2 m.证明　当 n为奇数时 ,n- 2 m也为奇数 .( a1. a2 .… . an) 1n　 =( a1. a1q . a1q2 .… . a1qn-1) 1n　 =( an1. q1+ 2 + 3 +… + n-1) 1n,　 =( an1. qn( n-1)2 ) 1n =a1. qn-12 .( am+ 1. am+ 2 .… . an-m) 1n-2 m　 =( a1qm . a1qm+ 1.… . a…     

从(S_m-S_n)/(m-n)=S_(m+n)/(m+n)说开去

在等差数列 {an}中 ,Sn 为其前n项和 ,则有如下性质 :Sm-Snm -n =Sm +nm +n　 (m ,n∈N ,且m≠n) (1)证明　∵Sm-Sn=ma1+12 m(m - 1)d -na1- 12 n(n - 1)d=(m -n) [a1+12 (m +n - 1)d],∴ Sm-Snm -n =a1+12 (m +n - 1)d .又Sm +n=(m +n)a1+12 (m +n) (m +n -1)d ,∴ Sm +nm +n=a1+12 (m +n - 1)d .故 (1)式成立 .等差数列 {an}的公差d =0时的情况很简单 ,因此 ,在以下的讨论中我们约定d≠ 0 .图 1　性质 (1)的图示我们知道 ,等差数列 {an}前n项和Sn=na1+12 n(n - 1)d =12 dn2 +(a1- d2 )n ,这说明 ,点 (n ,Sn)在二次函数 y =12 dx2 +(…     

关于素数等差数列的一组结论

文[1]讨论了三个素数成等差数列的问题,给出了三个素数a,a+d,a+2d成等差数列的三个猜想.猜想1设三个数a,a+d,a+2d构成一个等差数列,其中a和d都是正整数.当d是奇数时,不论a取何值,a,a+d,a+2d不可能都是素数.猜想2设三个数a,a+d,a+2d构成一个     

等差(比)数列前n项和的一个性质及应用

对于等差(比)数列{an},我们可得如下性质:定理1设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则Sm n=Sm Sn mnd(1)证在等差数列{an}中,am k=ak md(m,k∈N ).Sm n=a1 a2 a3 … am am 1 am 2 … am n=Sm (a1 md) (a2 md) … (an md)=Sm Sn mnd.定理2设等比数列{an}的公比为q,前n项的和     

巧用等差、等比数列的基本性质解题

等差数列和等比数列具有以下基本性质:1)在等差数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am an=as at;2)在等比数列{an}中,若m n=s t(m,n,s,t∈N*),则am·an=as·at.注这两个命题的逆命题都不正确.例如,通项为an=2的等差数列满足a1 a3=4=a5 a8,但:1 3≠5 8.在解决数列问题时,如能灵活运用性质1),2),往往能为解题带来事半功倍的效果.例1 1)在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=;2)若等差数列{an}的各项都是负数,且a32 a82 2a3·a8=9,则其前10项的和S10=;3)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a3·a5=8,则log2a2 log2a3 log2a5 log2a…     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

等差、等比数列的又几个漂亮性质

文[1]给出了等差数列前n项和的一个性质如下:对于任意以a1为首项,d为公差的等差数列{an},Sn是其前n项和,总有:     

等差（比）数列的前n项和的几个性质及应用

等差数列{an}的前n项和公式为Sn=na1＋1/2n（n-1）d，通过分析这个公式，不难得到等差数列前n项和的性质．