Finite groups whose n-maximal subgroups are σ-subnormal

Let σ = {σ_i | i ∈ I} be some partition of the set of all primes P. A set H of subgroups of G is said to be a complete Hall σ-set of G if every member ≠ 1 of H is a Hall σ_i-subgroup of G, for some i ∈ I, and H contains exactly one Hall σ_i-subgroup of G for every σ_i ∈σ(G). A subgroup H of G is said to be: σ-permutable or σ-quasinormal in G if G possesses a complete Hall σ-set H such that HA~x= A~xH for all A ∈ H and x ∈ G:σ-subnormal in G if there is a subgroup chain A = A_0≤A_1≤···≤ A_t = G such that either A_(i-1)■A_i or A_i/(A_(i-1))A_i is a finite σ_i-group for some σ_i ∈σ for all i = 1,..., t.If M_n M_(n-1) ··· M_1 M_0 = G, where Mi is a maximal subgroup of M_(i-1), i = 1, 2,..., n, then M_n is said to be an n-maximal subgroup of G. If each n-maximal subgroup of G is σ-subnormal(σ-quasinormal,respectively) in G but, in the case n 1, some(n-1)-maximal subgroup is not σ-subnormal(not σ-quasinormal,respectively) in G, we write m_σ(G) = n(m_(σq)(G) = n, respectively).In this paper, we show that the parameters m_σ(G) and m_(σq)(G) make possible to bound the σ-nilpotent length l_σ(G)(see below the definitions of the terms employed), the rank r(G) and the number |π(G)| of all distinct primes dividing the order |G| of a finite soluble group G. We also give the conditions under which a finite group is σ-soluble or σ-nilpotent, and describe the structure of a finite soluble group G in the case when m_σ(G) = |π(G)|. Some known results are generalized.     

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

多维连续函数求积公式的误差估计

设E~k={(x_1,…,x_k)∈R~k:0≤x_i≤1,=1,2,…,k}为k维单位立方体.?_c,…,?_N为E~k中的N个点.A(M;N)为满足?_i∈M?E~k,1≤i≤N的点的个数.对于γ=(γ_1,…,γ_k)∈E~k,令 I(γ)={(x_1,…,x_k)∈E~k:0≤x_i<γ_i,i=1,2,…,k}.(1)λ为通常的k维Lebesgue测度,那么     

关于四元数矩阵乘积迹的不等式

设 H~(m×n)为 m×n 四元数矩阵的集合,σ_1(A)≥…≥σ_n(A)为 A∈H~(mxn)的奇异值。本文证明了:1)设 A∈H~(mxm),B∈H~(mxm),r=min(m,m),则|tr(4B)|≤c r σ_i(A)σ_i(B).2)设 A_i∈H~(mxm),i=1,2,…,n,(A_1A_2…A_n)k为 A_1A_2…A_n 的任一个 k 阶主子阵,则|tr(A_1.A_2…A_n)_k|≤sun form i=1 to k σ_i(A_1)…σ_i(A_n).我们还得到四元数矩阵迹的其它一些不等式。这些结果推广和改进了文[1],[2]中的结果,进一步解决了 Bellman 猜想。     

多重福里哀级数黎斯球形平均的收敛性

<正> §1.引言设 E_k 为 k 维欧氏空间,Q_k={x∈E_k|-π≤x_i<π,1≤i≤k}称为 E_k 的一个基本区域.函数 f(x)≡f(x_1,x_2,…x_k)∈L(Q_k),即 f(x)满足条件     

张量空间中厄米特算子的一种充要条件

设 L(V)表示 n 维酉空间 V 上的所有线性算子,V 为定义了诱导内积(x~,y~)=(x_i,y_i)的 k 阶张量积空间,其中 x~=x_1…x_k,y~=y_1…y_k 为V 上的可合张量,对于∈L(V),定义W~⊥={(x~,x~)|x_1,…,x_k,o.n.}.本文得到如下结果:(1)设 A_i,B_i∈L(V),i=1,…,k,k相似文献   

非线性灰色时滞离散系统的稳定性

的零解的稳定性,其中k∈Z(Z为全体整数之集),l为一确定的自然数;x∈R~n,f:Z×C→R~n,C为所有从{-1,-1 1,…,0}到R~n的映射组成的集合,x_k∈C,x_k=x_k(r)=x(k r)(r=-l,-l 1,…,0);A((×))=(α_(ij)((×)))及A_k((×))=(α_(ij)~(h)((×)))(h=1,2,…,l)为n×n矩阵,它们的元素不确知,只知其上、下界,即     

n元三次多项式不等式猜想的证明

猜想 [1]　设 x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,n为正整数 ,证明或否定 :n( n - 1 ) ∑ni=1x3 i + ( ∑ni=1xi) 3　≥ ( 2 n - 1 ) ∑ni=1xi∑ni=1x2i ( 1 )这是杨学枝老师近日提出的一个猜想 .经探讨发现 ,此猜想成立 .为证明 ( 1 )式成立 ,先给出如下引理 .引理 1　 x1,x2 ,… ,xn∈ R,n为正整数 ,则( ∑ni=1xi) 3 =∑ni=1x3 i + 3∑i≠ jx2ixj+ 6 ∑1≤ i相似文献   

ON HERMITIAN OPERATOR IN TENSOR PRODUCT SPACE

V is an n-dim unitary space.(?)~kV is the k-th tensor product space with the customaryinduced inner product.(?)∈L((?)~kV),W~⊥(?)={((?)x~(?),x(?)|x~(?)=x_1(?)…(?)x_k,x_1,…,x_k o.n}is called the numerical range of (?).Wang Boying proved in[11]that if (?)=A_1(?)…(?)A_k,A_i∈L(V),i=1,…,k,k相似文献   

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

有限域上一类方程组解数的直接公式

本文给出有限域F=F_q(q=p~f,f≥1,p是一个奇素数)上一类方程组∑_(i=s_(r-1)+1~(s_r)∑_(j=1)~(m_i-m_(i-1))a_(m_(i-1)+j)x_1~(d_m(i-1)+j,1)…x_(n_i)~d_(m_(i-1)+j,n_i)=b_r,r=1,…,k当指数满足一定条件时,在F~(n_s_k)上解数的一个直接公式,这里d_(ij)＞0,a_i∈F~*,b_i∈F,0= s_0＜s_1＜…＜s_k,0=m_0＜m_1＜…＜m_(s_k),0=n_0＜n_1＜…＜n_(s_k), m_1≤n_1,…,m_(s_k)≤n_(s_k)．     

一个不等式的简证及其几何直观

文 [1 ]对不等式2 (n 1 - 1 ) <∑nk=11k<2 n - 1(n >1 )进行了指数推广 ,其结果是 :定理　 11 - p[(n 1 ) 1-p - 1 ]<∑nk=11kp<11 - p. n1-p - 11 - p 1(p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,n >1 ) .上述定理证明的依据是如下两个引理 :引理 1　 1kp <11 - p[k1-p - (k -1 ) 1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k >1 ) .引理 2　 1kp >11 - p[(k 1 ) 1-p -k1-p]　 (p∈ R且 p >0 ,p≠ 1 ,k≥ 1 ) .文 [1 ]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式 ,分 0

1进行讨论证明 ,读者不难看出 ,不仅过程繁琐 ,而且对其证明思路难以把握 .文 [2 ]中利…     

判断Birkhoff插值矩阵平衡性的一些方法

<正> Birkhoff 插值问题可以描述为:设E=(e_(ij))_(i=0,j=0)~(k+1 n)是一个0,1矩阵(或插值矩阵),其中恰有n+1个1,设x_0相似文献   

Binomial coefficients, Catalan numbers and Lucas quotients

Let p be an odd prime and let a,m ∈ Z with a 0 and p ︱ m.In this paper we determinep ∑k=0 pa-1(2k k=d)/mk mod p2 for d=0,1;for example,where(-) is the Jacobi symbol and {un}n≥0 is the Lucas sequence given by u0 = 0,u1 = 1 and un+1 =(m-2)un-un-1(n = 1,2,3,...).As an application,we determine ∑0kpa,k≡r(mod p-1) Ck modulo p2 for any integer r,where Ck denotes the Catalan number 2kk /(k + 1).We also pose some related conjectures.     

不等式研究成果集锦(13)

158　若 xij∈ R ( i=1 ,2 ,… ,m;j=1 ,2 ,… ,n) ,Ai =∑ni=1xijn 、Hi =n∑nj=1x- 1ij( i =1 ,2 ,… ,m) ,aik ∈ R 、αik ∈ R( i =1 ,2 ,… ,m;k =1 ,2 ,… ,l;αik 不全为零 ) ,∑lk=1aikαik =0 ( i =1 ,2 ,… ,m) ,βi ∈ R ( i =1 ,2 ,… ,m) ,则( 1 )当 Ai ≤ 1 ( i =1 ,2 ,… ,m)时 ,有Πnj= 1∑mi=1( ∑lk=1aikxαikij)βi ≥ mn[Πmi=1( ∑lk=1aik Aαiki )βi]nm,∑mi=1Πnj=1( ∑lk=1aikxαikij) βi ≥ m[Πmi=1( ∑lk=1aik Aαiki ) βi]nm;( 2 )当 Hi ≥ 1 ( i =1 ,2 ,… ,m)时 ,有Πnj= 1∑mi=1( ∑lk=1aikxαiki…     

用Walsh-Fourier级数的(c,β)平均来逼近函数的问题

设p≥2是固定的整数.x∈[0,1]的p进表示是x=(0.x_1x_2…x_n…),其中x_k∈{0,1,…,p-1},k∈N={1,2,…}。並且约定对p进有理点取有限表示。对任意非负整数k≥0,写k=sum from j=0 to n (k_jp~j),k_j∈{0,1,…,p-1}。设,则p进的Walsh函数定义为。     

不等式背景下的函数求值问题

众所周知,不等式a≤c≤a中蕴涵着等量关系c=a,不等式g（x）≤f（x＋k）-f（x）≤g（x）（x∈R）中蕴涵着等量关系f（x＋k）-f（x）-g（x）．若函数g（x）已知,再给出f（x0）的值以及n（n∈R且n≥2）,就可以求出f（x0＋nk）=f（x0）＋∑i=0^n-1g（x0＋ik）这一函数值．     

关于Hardy不等式的加强改进

对 Hardy不等式 ,建立如下结构的加强不等式 :∑∞n=11n∑nk=1akp 1 ,an≥ 0 (n∈ N) ,0 <∑∞n=1apn<∞ ,Cp=1 -(1 -p- 1) p- 1,p≥ 2 ;1 -p- 1,1 相似文献   

中心对称本原矩阵的k点指数集

Let G = (V, E) be a primitive digraph. The vertex exponent of G at a vertex v ∈ V, denoted by expG(v), is the least integer p such that there is a v → u walk of length p for each u ∈ V. We choose to order the vertices of G in the k-point exponent of G and is denoted by expG(k), 1 ≤ k ≤ n. We define the k-point exponent set E(n, k) := {expG(k)| G = G(A) with A ∈ CSP(n)}, where CSP(n) is the set of all n × n central symmetric primitive matrices and G(A) is the associated graph of the matrix A. In this paper, we describe E(n,k) for all n, k with 1 ≤ k ≤ n except n ≡ 1(mod 2) and 1 ≤ k ≤ n - 4. We also characterize the extremal graphs when k = 1.     

Precise Rates in the Law of Iterated Logarithm for the Moment of I.I.D. Random Variables

Let{X,Xn;n≥1} be a sequence of i,i.d, random variables, E X = 0, E X^2 = σ^2 〈 ∞.Set Sn=X1＋X2＋…＋Xn,Mn=max k≤n│Sk│,n≥1.Let an=O（1/loglogn）.In this paper,we prove that,for b〉-1,lim ε→0 →^2（b＋1）∑n=1^∞ （loglogn）^b/nlogn n^1/2 E{Mn-σ（ε＋an）√2nloglogn}＋σ2^-b/（b＋1）（2b＋3）E│N│^2b＋3∑k=0^∞ （-1）k/（2k＋1）^2b＋3 holds if and only if EX=0 and EX^2=σ^2〈∞.