求等差数前列n项和的一个公式

设a_0,a_2,…,a_n,a_(n+1),…为等差数列,其公差为d,则有公式 (?)a_i~3=(a_n·a_(n+1))~2+(a_1a_0)~2/4d 下面给出证明。给定n个等式。 (a_n~2+da_n)~2-(a_n~2-da_n)~3=4da_n~3; (a_(n-1)~2+da_(n-1))-(a_(n-1)~2-da_(n-1))~2=4da_(n-1)~3; (a_(n-2)~2+da_(n-2))~2-(a_(n-2)~3 2-da_(n-2))~2=4da_(n-2)~3,…, (a_3~2+da_3)~2-(a_3~2-da_3)~2=4da_3~3,     

根有某种关系的两个一元二次方程系数间的关系及其应用

几个定理设有两个一元二次方程a_1x~2+b_1x+c_1=0 (a_1≠0) (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (a_2≠0) (Ⅱ) 定理1 方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍的充要条件是。 (?) 证明必要性:设x_1、x_2是方程(Ⅰ)的两个根,若方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍,则有 (a_2k~2x_1~2+b_2kx_1+c_2)·(a_2k~2x_2~2+b_2kx_2+c_2)=0此式左边展开后,经整理可得 a_2~2k~4(x_1x_2)~2+a_2b_2k~3x_1x_2(x_1+x_2)     

“排序定理”及其应用

定义:两组实数a_1≤a_2≤…≤a_n,b_1≤b_2≤…≤b_n,称S=a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n为这两组实数的同序积的和,同时称(?)=a_1b_n a_2b_(n-1) … a_nb_1为这两组实数的倒序积的和。 对于S和(?),我们有以下 排序定理:若两组实数a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n满足     

第五讲 排序原理与容斥原理

一、排序原理设有两组非负序列{a_n},{b_n}满足: a_1≤a_2≤…≤a_(n-1)≤a_n b_1≤b_2≤…≤b_(n-1)≤b_n那么,a_1b_n十a_2b_(n-1) … a_nb_1(反序) ≤a_1b_(i1) c_2b_(i2) … a_nb_(in)(乱序) ≤a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n(同序)其中,i_1,i_2,…,i_n是1,2,…,n的一个排列。这个结论被称作排序原理。证明:设i相似文献   

关于方程的几个问题

历年来在高等代数的教学中,总发現某些学生对方程有着模糊的概念。例如,按照現行教材,中学毕业生进入高等学校后第一次接触到方程概念的是克萊姆規則:n个未知量n个方程的綫性方程組 a_(11)x~1+a_(12)x_2+ …+a_(1n)x_n=b_1, a_(21)x_1+a_(22)x_2+…+a_(2n)x_n=b_2, a_(n1)+a_(n2)x_2+…+a_(nn)x_n=b_n (1)的系数行列式D=|aij≠0时,(1)有解且仅有一解,即x_i=Di/D,i=1,2,…,n。 証明分两步:第一步是假定(1)有解,得出xi=Di/D。第二步是用真x_i=Di/D代入(1),得出真的等式,因而x_i=Di/D的确是(1)的解。較多的同学感到第二步是多余的,沒有必要。另一个例子是在討論向量方程     

Neuberg-Pedoe不等式的高维推广及应用

<正> 全文中我们用 ∑_A,∑_B表示n维欧氏空间E~n中的单形;其顶点分别为a_1,a_2,…,a_(n+1)和b_1,b_2,…,b_(n+1);其稜长分别为 a_(ij)=|a_ia_j|和b_(ij)=|b_ib_j|;其体积分别为V(A),V(B). 令∑_A,∑_B的顶点集{a_i},{b_i}的Cayley-Menger阵分别为n+2阶方阵:     

三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期

本文主要目的在于提出并証明一个关于三角多項式的恆等定理,并用以計算一些三角函数多項式的周期。此定理的証明沒有在书籍或文献中发现,因而这里的証法是否妥当,尚希讀者指正。 (一) 三角多項式的恒等定理在代数学中,把形为φ(x)=c_0+c_1x+c_2x~2+…+c_nx~n的函数叫做关于x的多項式,其中n是正整数或零,c_0,c_1,c_2,…,c_n都是常数。当c_n(?)0时,n称为多項式φ(x)的次数。同样地,对于形为 f(x)=a_0+(a_1cos x+b_1 sin x)++(a_2cos 2x+b_2 sin 2x)+…++(a_ncos nx+b_n sin nx)的函数叫做关于x的三角多項式,其中n是正整数,所有的a_i(i=0,1,2,…,n)与b_j(j=1,2,…,n)都是常数。当a_n与b_n真不同时为零时(或a_n~2+b_n~2)(?)0时),n称为三角多項式f(x)的次数。因而,三角多項式是关于角系数为正整数的正弦与余弦的綫性組合。     

分式线性迭代数列的敛散性及收敛速度

若a_i,b_i0(i=1,2),|a_1 a_2b_1 b_2|≠0,则数列x_10,x_(n+1)=a_1x_n+a_2/b_1x_n+b_2收敛.若迭代过程中,xn(n=1,2,…)全不是φ(x)=a1x+a2/b1x+b2的不动点,则迭代数列{xn}线性收敛.     

一个递推公式及其应用

本文介绍一个递推公式及其在解题中的广泛应用。1 递推公式设F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥0,n∈Z),构造以x_1,x_2,…,x_k为根的方程: x~k+m_1x~(k-1)+m_2x~(k-2)+…+m_k=0 我们称这个方程为F(n)的特征方程,则F(n)=a_1x_1~n+a_2x_2~n+…+a_kx_k~n(n≥k,x∈Z)满足下列递推公式:     

两点间距离公式在代数中的两个应用

两点间的距离公式是解析几何中的重要公式之一,它的应用极为广泛。本文举数例说明两点间距离公式在代数不等式的证明和求最火值、最小值中的应用。一证明代数不等式例1 设a_1、a_2、b_1、b_2均为实数。求证 ((a_2-a_1)~2+(b_2-b_1)~2)~(1/2) ≤(a_1~2+b_1~2)~(1/2)+(a_2~2+b_2~2)~(1/2)。分析此不等式的左边可看作是坐标平面内两点(a_1,b_1)、(a_2,b_2)之间的距离;不等式右边可看作是点(a_1,b_1)、(a_2,b_2)到原点的距离之和。由此,不难想到:是否可应用两点间距离公式来证明。证明设A(a_1,b_1)、B(a_2,b_3)是坐     

柯-布不等式证明及其在求最值问题中的应用

柯西-布尼亚可夫斯基不等式:对于ai,bi(i∈1,2,…,n)∈R,有(a_1~2 a_2~2 … a_2~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2,当且仅当对i=1,2,…,n,bi/ai都相等时取等号.举例两则证明方法如下:     

一类无理方程化作一次方程求解

1先看解法。例题解方程(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-2x 5)~(1/2) =(4x~2 4x 10)~(1/2) 解原方程化为 ((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-1)~2 2~2)~(1/2) =、(〔(x 2) (x-1)〕~2 (1 2)~2)~(1/2) 令(x 2)·2=(x-1)·1, 得x=-5。解法是: (1)将方程左边两根号下的二次式分别配成平方和的形式,得、(a_1~2 b_1~2)~(1/2) (a_2~2 b_2~2)~(1/2)其中a_(1,2,)b_(1,2)分别为x的一次式和零次式; (2)将方程右边根号下的二次式配成对应的平方和,得((a_1 a_2)~2(b_1 b_2)~2)~(1/2)。这类无理方程就是专指能配成这种关系的无理方程;     

欧拉方程的直接解法

我们知道,对欧拉方程x~ny~(n) a_1x~(n-1)y~(n-1) … a_(n-1)xy′ a_ny=0(1)(a_1,a_2,…a_n为常数),可作变换x=e~t或t=1nx,得到常系数线性齐次方程(d~ny)/(dt~n) b_1(d~(n-1)y)/(dt~(n-1)) b_2(d~(n-2)y)/(dt~(n-2)) … b_(n-1)(dy/dt) b_ny=0 (2)     

一元多项式

一般地,以χ为元的一元χ次多项式可以写成 a_nχ~n+a_(n-1)χ~(n-1)+…+a_1χ+a_0这里χ是确定的自然数,a_n≠0,χ称为f(χ)的次数,记作deg(χ)。多项式f(χ)是关于χ的函数,因此从函数角度研究其性质,探讨问题是十分自然重要的。如果多项式 f(χ)=a_nχ~2+a_(n-1)χ~(2-1)+…+a_1χ+a_0 与 g(z)=b_nχ~2+b_(n-1)χ~(2-1)+…+b_1χ+b_0的同次项系数都相等,即a=b_1,b=0,1,2,…,则称多项式f(χ)与g(χ)相等。显然,多项式f(χ)与g(χ)相等的充分必要条件是:次数相同,而且同次项系数都相等。特别地,称0为零多项式,这个概念也很有用。     

一道IMO预选题的溯源及推广

第28届国际数学奥林匹克有如下一道预选题: 试证:若a、b、c是三角形的三边,且2s=a b c,则(1) 运用契贝雪夫不等式: 若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为同序,即满足a_2≤a_2≤…≤a_m且b_1≤b_2≤…≤b_n或a_1≥a_2≥…≥a_n且b_1≥b_2≥…≥b_n 则若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为反序,则上式中的不等号反向。     

t-可约二部分竞赛图的得分表偶

设 T_(m,n)是 m×n 二部分竞赛图,(X,T)是 T_(m,n)的顶点集合 V(T_(m,n)的有序分划,其中|X|=m,|Y|=n.设 X={x_1,x_2,…,x_m},Y={y_1,y_2,…,y_n}.顶点x_1,x_2,…,x_m 在 T_(m,n)中的得分依次为 a_1,a_2,…,a_m,a_1≤a_2≤…≤a_m;y_1,y_2,…,y_n 在 T_(m,n)中的得分依次为 b_1,b_2,…,b_n,b_1≤b_2≤…≤b_n.记 A=(a_1,a_2,…,a_m),B=(b_1,b_2,…,b_n).有序向量偶(A,B)称为 T_(m,n)的得分表偶.反之,给定有序非负整向量偶(A,B),其中 A=(a_1,a_2,…,a_m),a_1≤a_2≤…≤a_m,B=(b_1,b_2,…,b_n),b_1≤b_2≤…≤b_n,是否存在 m×n 二部分竞赛图 T_(m,n),使得(A,B)是 T_(m,n)的     

y′=(a_0x~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n)/(b_0x~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n)的积分曲綫的拓扑結构

<正> 設Y_n=a_ox~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n,X_n=b_ox~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n.其中Y_n,X_n无公因子.微分方程 y′=Y_n/X_n(1)只有一个奇点(0,0).当n=1时,Poincare决定了(1)的积分曲綫的拓扑結构.当n=2时,决定了(1)的积分曲綫的結构.当n=3时,张棣决定了(1)的积分曲綫     

一个猜测的否定

对第43届普特南数学竞赛题“△~(1/2)(a_1,b_1,c_1)+△~(1/2)(a_2,b_2,c_2)≤△~(1/2)(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)”(其中△(a,b,c)表示以a,b,c为边长的三角形面积),该刊1989年第4期“一道竞赛题引起的猜测”一文中提出如下猜测:     

Vincent定理的多元推广

Vincent定理指出:若f(x)为d次实系数多项式,(a_1,b_1)为开区间,则多项式f(x)在(a_1,b_1)上没有实根当且仅当存在正常数δ,使得对任意区间(a,b)(a_1,b_1),当|a-b|δ时,多项式(1+x)~df((a+bx)/(1+x))的系数不变号(都是正数或都是负数).文章的主要工作是推广这一结果到一般的多变元代数系统.设实系数多项式f∈R[x_1,x_2,…,x_n],f相对于变元x_i的次数记为d_i.记区间的笛卡尔积为I=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n](也称为Box).记φ(I)=max{b_i-a_i,i=1,2,…,n}.定义f_I=(1+x_1)~(d_1)(1+x_2)~(d_2)…(1+x_n)~(d_n)f((a_1+b_1x_1)/(1+x_1),(a_2+b_2x_2)/(1+x_2),…,(a_n+b_nx_n)).称f_I为f相对于Box I的伴随多项式.证明了:若多项式f_1,f_2,…,f_m∈R[x_1,x_2,…,x_n],且BoxΛR~n,则方程组{f_1=0,f_2=0,…,f_m=0}在BoxΛ上没有零点,当且仅当存在正常数δ(与BoxΛ有关),使得对于任意Box IA,当φ(I)δ时,伴随多项式f_(1I),f_(2I),…,f_(mI)中至少一个f_(iI)的非零系数全是正(或负)数且f_i在Box I的所有顶点上的值不为0.     

经典均值不等式的多重隔离

我们都知道下列经典均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n是n个正数,n≥2,n∈N~*.则n/(1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_n))≤(a_1a_2…a_n)~(1/n)≤(a_1+a_2+…+a_n)/n≤((a_1~n+a_2~n+…+a_n~n)/n)~(1/n),等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n取到.受文[1],[2]的启发,笔者给出下列经典均值不等式的多重隔离: