一个不等式的初等证明

文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x　≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明　由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得　 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又　 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(…     

分段函数型应用问题

所谓分段函数 ,即自变量在不同的取值范围内 ,其对应法则也不同的函数 .现实生活中分段函数在工厂生产、商品销售、日常生活等方面有极其广泛的应用 .现举例予以说明 .1　工厂生产问题例 1　某工厂生产一种机器的固定成本为 50 0 0元 ,且每生产 10 0部需要增加投入 2 50 0元 ,对销售市场进行调查后得知 ,市场对此产品的需求量为每年50 0部 ,已知销售收入的函数为 :H ( x) =50 0 x - 12 x2 ,其中 x是产品售出的数量 ,且 0≤ x≤ 50 0 .( 1)若 x为年产量 ,y表示利润 ,求 y =f ( x)的解析式 ;( 2 )当年产量为何值时 ,工厂的年利润最大 ,其最大值是多少 ?( 3)当年产量为何值时 ,工厂有盈利 (已知 :2 1.562 5=4 .65) .( 2 0 0 0年陕西省普通高校招收保送生预选题 )分析　这道应用题是工厂生产利润问题 .应注意对关键词句的理解 ,如“固定成本”、“销售收入的函数 H ( x)”、“利润”等 .由题意 ,可得利润 y =收入 H ( x) -成本 S( x) (固定 +可变 ) ,当 0≤ x≤ 50 0时 ,产品全部售...     

例谈圆锥曲线中的取值范围问题

圆锥曲线中的取值范围问题,一般利用已知条件或挖掘题目的隐含条件构造不等式来解.本文通过几个具体例题介绍解决此类问题的常见方法.例1设点P到点A(-1,0),B(1,0)的距离之差为2λ,到x轴、y轴的距离之比为2,求λ的取值范围.解设点P(x,y),依题意得|xy|=2,即y=±2x(x≠0),因此点P(x,y),A(-1,0),B(1,0)三点不共线.所以‖PA|-|PB‖<|AB|=2.又‖PA|-|PB‖=2λ>0,所以0<|λ|<1.因此点P在以A,B为焦点,实轴长为2|λ|的双曲线上,故λx22-1-y2λ2=1.将y=±2x代入,得x2=λ21(1--5λλ22)>0.又0<λ2<1,∴1-5λ2>0,所以λ的取值范围为(-55,0)∪(0,…     

一道数学竞赛题的研究

题目1(2012年上海市高中数学竞赛题)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:(1)xy+yz+zx≥43;(2)x+y+z≥2.分析上面不等式等号成立当且仅当x=y=z=23,这时xy+yz+zx=43,x+y+z=2.对于第(1)小题只要将条件9xyz+xy+yz+zx     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...     

素环上强保持2-Jordan乘积的映射

对于给定的正整数k≥1,环R上的元x,y的k-Jordan乘积定义为{x,y}_k={{x,y}_(k-1),y}_1,其中{x,y}_0=x,{x,y}_1=xy+yx.假设R是包含有单位元与一非平凡幂等元的素环.本文证明了R上的满射f满足{f(x),f(y)}2={x,y}_2对所有x,y∈R成立当且仅当存在λ∈l(R的可扩展中心)且λ~3=1,使得下列之一成立:(1)若R的特征不为2,则f(x)=λx对所有x∈R成立;(2)若R的特征为2,则f(x)=λx+μ(x)对所有x∈R成立,其中μ:R→l是一个映射.作为应用,得到了因子von Neumann代数上保持上述性质映射的结构.     

借变形之力 求分式之值

<正>分式求值问题是学习中的一个重点和难点,在中考中屡见不鲜.解答关键在于借变形之力,找出已知条件和要求值的式子之间的内在联系.现举例如下:一、借"整体"之力例1已知1/x+1/y=5,则(2x-5xy+2y)/(x+2xy+y)=_.分析不难发现,(2x-5xy+2y)/(x+2xy+y)=(2(x+y)-5xy)/((x+y)+2xy).要求其值,应先找到x+y与xy之间的数量关系.     

三元四次对称不等式的统一加强

在文 [1 ]中 ,笔者给出了三元四次对称不等式λ( ∑x) 4 μ∑ ( yz) 2 υ∑x .∏x k( ∑x) 2 ∑yz≥ 0　 ( x,y,z >0 )成立的一个充要条件 .它等价于下面的命题　记σ1=x y z,σ2 =xy yz zx,σ3 =xyz,则F( x,y,z)≡λ0 σ41 λ1σ21σ2 λ2 σ22 - ( 2 7λ0 9λ1 3λ2 )σ1σ3 ≡λ0 σ1(σ3 1- 2 7σ3 ) λ1σ1(σ1σ2 - 9σ3 ) λ2 (σ22 - 3σ1σ3 )≥ 0 ( 1 )对任意 x,y,z >0成立的充要条件是λ0 ≥ 0 ,λ1≥ - 5λ0 ,1 6λ0 4λ1 λ2 ≥ 0( 2 .1 )或λ0 >0 ,λ1<- 5λ0 ,λ0 λ2 ≥ ( 3λ0 λ1) 2( 2 .2 )本文进而…     

解二元二次方程组的通法

对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有     

2002年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题(一)(附参考答案)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分。)( 1 ) ∫+∞cdxxln2 x=[1 ]。( 2 )已知函数 y=y( x)由方程 ey+6xy+x2 -1 =0确定 ,则 y″=[-2 ]。( 3 )微分方程 yy″+y′2 =0满足初始条件 y|x=0 =1 ,y′|x=0 =12 的特解是 [y=x+1或 y2 =x+1 ]。( 4)已知实二次型 f( x1,x2 ,x3) =a( x21+x22 +x23) +4 x1x2 +4 x1x3+4 x2 x3经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y21,则 a=[2 ]。( 5)设随机变量 X服从正态分布 N (μ,σ2 ) (σ>0 ) ,且二次方程 y2 +4 y+X=0无实根的概率为 12 ,则μ=[4]。二、选择题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分…     

三角代数上的零点(m,n)-弱可导映射

设m和n是任意固定的非零整数且m+n≠0,u是一个|mn(m+n)|-无挠的三角代数,δ是u上的一个线性映射.本文证明了:如果对任意的x,y∈u且xy=yx=0有mδ(xy)+nδ(yx)=mδ(x)y+mxδ(y)+nδ(y)x+nyδ(x),则在u上存在一个导子Φ和一个中心元λ使得对任意的x∈u,有δ(x)=Φ(x)+λx.     

挖掘隐含条件完善解题过程

高中学生在解题时,如何充分利用已知条件,特别是如何从题意中分离出隐含条件,找到有效的解题方法,完善解题过程是一个值得注意的问题.一、函数中的几个问题例1设函数f(x)=loga(1-ax)在[1,2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:由题意可知:a>0,∴g(x)=1-ax在[1,2]上单调递减.要使f(x)在[1,2]上单调递增只需:0g(<2)a<>10即:01-<2aa<>10∴a∈0,21其实,问题的关键在挖掘对数要求真数大于0这一隐含条件.例2已知,x+2y=2,(x≥0,y≥0)求x2+y2的最值.解:以x=2-2y代入x2+y2为x2+y2=(2-2y)2+y2=5y2-8y+4=5y-452+54∵yx≥≥00∴2y-≥20y≥0∴0≤y≤1∴x2+y…     

一个分式不等式的探讨

文 [1]提出如下有趣问题 :设λ、μ、ν为不全为零的非负实数 ,求使不等式xλx+ μy +νz + yλy+ μz +νx +zλz+ μx+νy ≥ 3λ+ μ+ν (1)对任意正实数x ,y ,z都成立的充要条件 .经探讨 ,我们得到了下面的定理 1　当λ、μ、ν≥ 0且 μ ,ν不全为零时 (若 μ =ν =0 ,λ ≠ 0 ,则 (1)为恒等式 ) ,(1)对任意x ,y,z>0成立的充要条件是2λ≤ μ +ν .证明　用 ∑f(x ,y ,z)表示 f(x ,y ,z)+ f(y ,z ,x) + f(z ,x ,y) ,经演算有∑x(λy + μz+νx) (λz+ μx +νz)=λμν∑x3 + (λ3 + μ3 +ν3 + 3λμν)xyz +(λ2 μ+ μ2 ν+ν2 λ) …     

2006年高考数学江苏卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a=A.0B.1C.-1D.±12.圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=03.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为A.1B.2C.3D.44.为了得到函数y=2sin3x+6π,x∈R的图像,只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不…     

条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…     

对条件最值问题的思考

本文通过对一道最值问题的多角度思考 ,来说明求最值时的一些常用思想方法 .题目　已知x >0 ,y >0 ,xy -(x +y) =1,求x +y的最小值 .思路 1　由于已知条件中x、y的地位均等 ,x、y实际上是对称的两个量 ,因此 ,从对称的角度我们可以猜想当且仅当x =y时 ,x +y取得最小值 (波利亚的解题思想 ) .解法一　 (猜想 )　若x =y ,则　x2 -2x -1=0 ,∴　x =1± 2 .∵　x >0 ,　∴　x =y =1+2 .故猜想x +y的最小值为 2 +2 2 ,以下工作只是“补行手续”(波利亚语 ) .思路 2　若将x +y看作为一个整体变元 ,问题则变更为设法消去xy项 ,寻求关于x+y的等式或…     

2004年中考数学模拟试题(4)

一、选择题 (本大题共 3 6分 ,每小题 3分 )1 .已知 2x =3y(x≠ 0 ) ,则下列比例式成立的是(　 ) .A .x2 =y3 　　　　B .x3 =y2C .xy =23 　　D .x2 =3y2 .一个角是它余角的 4倍 ,则这个角的补角为(　 ) .A .1 62°　　B .72°　　C .1 0 8°　　D .1 44°3 .下列式子中 ,总能成立的是 (　 ) .A .(a -1 ) 2 =a2 -1B .(a +1 ) 2 =a2 +a+1C .(a +1 ) (a-1 ) =a2 -a+1D .(a +1 ) ( 1 -a) =1 -a24.下列图形中 ,不是轴对称图形的是 (　 ) .5 .下列各个方程中 ,无解的方程是 (　 ) .A .x+2 =-1B .3 (x -2 ) +1 =0C .x2 -1 =0D . xx-1 =26.…     

具有三对特殊方向的一类平面齐五次系统的全局拓扑结构

研究了一类平面齐五次系统dxdxdt=a50x5+a41x4y+a32x3y2+a23x2y3+a14xy4+a05y5,dydt=b50x5+b41x4y+b32x3y2+b23x2y3+b14xy4+b05y5当其只有唯一的有限远奇点且具有三对特殊方向时的全局拓扑结构及系数条件.假设系统只有唯一的有限远奇点(0,0),不妨设b50=0,其特殊方向由示性方程G(θ)=0给出,引进poincare变换研究无穷远奇点,再根据定理中的系数条件,列出系统所有可能的无穷远奇点和特殊方向,并判断其类型,由此画出系统具有三对特殊方向时的全局相图.     

直线方程(选择题五道)

1.已知三点A(3,0)、B(12.-3),C(6,y)的坐标都适合方程x+By+C=0(B,C为常数),则y的值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 2.和直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x-4y=5=0 (B)3x-4y+5=0 (C)3x+4y-5=0 (D)4x+3y+5=0     

一道解析几何题的简易解法

题目 已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0 按向量a→=(2,1)平移后得到曲线C． (1)求曲线C的方程; (2)过点D(0,2)的直线l与曲线C相交 于不同的两点M,N,设DM→=λ DN→(λ≠1),求 实数λ的取值范围． 第(1)问解答过程略,曲线C的方程为x2/2 +y2=1．下文仅解第(2)问．