对“‘求导数中一个问题’的我见”一文的补充

贵刊86年第一期上发表的“求导数中的一个问题”的文章,(后称原文)提出了“在求导数过程中把原函数变形的合理性”的问题。在一些高中,中专以至大学的教材和习题解中,错误的变形是不少见的;因此这个问题具有一定的普遍性,值得注意和讨论。但原文错误不少,有些     

n阶导数的求法探讨

求一个函数的任意阶导数往往是十分困难的.但对一些函数,在求高阶导数的过程中,呈现出明显的规律性,我们就可用数学归纳法来求它们的任意n阶导数.如一般高等数学中已求得的几个初等函数的n阶导数     

应用导数解决问题

<正>用导数作为工具处理函数问题是数学的重要方法.它的基本程序是:求导数、找零点、判定导数在区间上的符号等.它涉及的基本概念有函数图像的切线、函数的单调性、函数的极值和最值.有的问题给出的函数仅仅是问题的起点,对处理问题起关键性作用的函数却或隐或现的隐藏在问题中,一旦将其挖掘出来,用导数就可解决了,关键是构造函数.在一个具     

以“牛顿法”为背景的高考试题赏析

1 问题的提出《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版.第1.2节“探究与发现”:牛顿法-用导数方法求方程的近似解:人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(Issac Newton,1642-1727)在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法-牛顿法.这种求方程根的方法,在科学界已被广泛采用.     

近似已知函数的求导方法

1 引言 在实际问题中会遇到求近似已知函数的微商，这是一个典型的不适定问题[1-2]，即函数的一个微小的扰动会使得导数值有巨大的变化，因此求导数是相当不稳定的，对这类问题需要用特殊的方法。     

例析导数综合题

在新教材中,由于导数内容的加入,使得高中数学解题增添了新的活力,使很多题型有了新的解题思路,导数的应用更显活跃.导数除了解决切线的斜率,判断函数的单调性,求函数单调区间及求函数的极值与最值等问题外,也常用在求参数或参数范围,求不等式问题、解析几何问题以及数列、向量、三角等方面,下面举导数与其他知识综合应用的例题,以展示导数的工具作用.一、用导数求参数或参数范围例1已知函数f(x)=ex-ax+1是R上的单调增函数,求a的取值范围.分析:由于f′(x)=ex-a,又f(x)在R上是单调增函数,同f′(x)=ex-A>0恒成立,即a0,故a≤0…     

泊松方程及平面弹性问题有限元方法中求高阶导数的提取法

在许多有限元计算中经常在求得近似解后还要求得到近似的解的导数.如在弹性计算中,如何从计算得到的位移近似解较好地计算应力早已被研究多年.如果计算中包含直接对近似解求导数,必然会丧失部分精度,得不到满意的结果.特别,若近似解为分片常数函数,则根本无法从直接求导数得到应力的近似值.Babuska和 Miller提出了所谓“提取法”,即利用推导出来的提取公式来求解的导数的近似值,以得到与近似解本身同     

泊松方程及平面弹性问题有限元方法中求高阶导数的提取法

在许多有限元计算中经常在求得近似解后还要求得到近似的解的导数.如在弹性计算中,如何从计算得到的位移近似解较好地计算应力早已被研究多年.如果计算中包含直接对近似解求导数,必然会丧失部分精度,得不到满意的结果.特别,若近似解为分片常数函数,则根本无法从直接求导数得到应力的近似值.Babuska和 Miller提出了所谓“提取法”,即利用推导出来的提取公式来求解的导数的近似值,以得到与近似解本身同     

点到直线距离的常见类型和解法

根据高考数学科考试说明,“两点间的距离、点到直线的距离”及“导数的几何意义”等知识点的考试要求都是B级．求曲线上的点到直线距离涉及“平面解析几何初步”和“导数及其应用”二大章节,是高考中重点考查内容．其基本解题策略是利用点到直线的距离公式得到相应的距离函数,再借助求函数最值的方法（如基本不等式法、导数法、数形结合法等）求其最值得到所求最值．     

浅谈导数定义在导数计算中的地位与作用

不少学生学习了求导公式后,往往对导数定义不太重视.其实,导数的定义不仅是导数的原始基本概念,而且它在求极限、求导数的计算及证明中都有着重要的、甚至是不可替代的作用.本文仅就导数定义在导数计算中的地位与作用问题谈点粗浅的认识,以期学生对此问题引起重视.     

“导根反代”——隐零点法的精髓

<正>导数中的“隐零点”问题是指:当一个函数的零点存在但又无法求出的零点问题．“导根反代”是指:由于可导函数的极值点是其导数的零点,不求出导数零点的具体数值,而是用导数零点x0建立方程,得到关于x0的关系式,将关系式代入原函数f(x₀)中消去指数、对数或者参数,最终化为关于x₀的函数,最终根据x₀的范围求解具体问题．本文通过两个具体的例子来体会导数中的隐零点法精髓——“导根反代”．     

散乱数据的数值微分及其误差估计

1 背景及问题的提出 导数是数学分析中的一个基本的慨念。对于数学工作者来讲,计算导数不是一项特别困难的工作。但是,对于研究实际问题的科学工作者来讲,这项工作就不是一件简单的工作了,首先,求导数的问题是一个典型的Hadamard意义下的不适定问题([5],[12]等)     

对“一个群论问题(Ⅱ)”的一些讨论

<正> 在“一个群论问题(Ⅱ)”中考虑了这样一个问题:求紧致线性 Lie 群 G,使得它的恒等表示φ适合     

对数不等式的源与流

含对数的不等式常用构造函数求导数的方法证明,但这种方法并不是放之四海而皆准的,有时会遇到导数越求越麻烦的情况,使思路陷入僵局.下面介绍一个基本对数不等式,用它可以证明一些含有对数的不等式问题,以此说明它在解决含对数不等式问题中的优越之处.一、基本对数不等式     

例谈导数在求曲线切线方程中的应用

<正>导数的几何意义是高考重点考查内容之一,也是导数重要应用之一.主要考查求曲线切线的斜率,切线的方程,已知曲线的切线斜率或方程来求参数的范围等问题.在处理这类问题时,有些同学求完导数就乱了章法.本文将对这类问题的处理办法做个总结,希望对学生有一定的帮助.     

浅谈导数学定义在导数计算的中地位与作用

不少学生学习了求导公式后 ,往往对导数定义不太重视。其实 ,导数的定义不仅是导数的原始基本概念 ,而且它在求极限、求导数的计算及证明中都有着重要的、甚至是不可替代的作用。本文仅就导数定义在导数计算中的地位与作用问题谈点粗浅的认识 ,以期学生对此问题引起重视。一、在分段函数求导计算中的情形对分段函数分段点的导数的计算 ,必须按定义求 ,不能套公式。例 1　设 f ( x) =e|x|,求 f′( x)。[错解 ]　因为 f ( x) =ex,　　 x≥ 0e- x,　 x <0 ,所以 ,f′( x) =ex,　　 x≥ 0-e- x,　 x <0[辨析 ]　 x=0是分段点 ,而对分段点的导数 …     

参数方程的积分法则

1．问题的提出质点的速度方程是由参数方程给定的，求该质点的位移方程。一个自然的想法是，从t＝中解出参数得然后再求。我们知道，这种做法常常是困难的，不是消去参数不容易，就是消去参数后所得的函数很复杂。对于这个问题，笔者查阅了许多数学分析、高等数学教材以及数学手册，几乎在见到的书籍中都辟有一节“参数方程表示的函数的导数”介绍参数方程的求导法则，但是，看不到诸如“参数方程表示的函数的积分”来介绍参数方程的积分法则、而笔者在科研工作中确实＿＿＿＿＿＿，＿＿、＿＿l‘19（it“，，遇到了这个问题。不仅如此，还…     

例说导数的工具价值

当前中学数学中导数的工具性和应用主要表现在三个方面:切线的斜率(导数的几何意义);函数的单调性;函数的极值和最大、小值. 1优化了综合性问题的解法导数为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法.如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最大、小值、不等式的证明及     

浅谈级数的应用与一点注记

该文通过对八个示例的分析及求解,介绍了级数在不等式证明、求高阶导数、计算一类定积分、解微分方程等四个方面问题中的应用.并简单介绍了综合利用数列极限理论和微分方程等工具研究幂级数的收敛域与和函数的方法和技巧.     

分段函数的连续可导性

讨论了分段函数的连续可导性,得到了一个分段函数具有任意阶导数的充分条件,并介绍了一个求分段函数在其分段点处n阶导数的公式