集合基数公式在中学数学中的应用

高中数学试验教材第一册在第一章第一小节集合结束后增添了阅读材料 ,集合元素的个数 ,书中指出 ,一般地 ,对任意两个有限集Ａ ,Ｂ ,有Ｃａｒｄ(Ａ∪Ｂ) =Ｃａｒｄ(Ａ) Ｃａｒｄ(Ｂ) -Ｃａｒｄ(Ａ∩Ｂ) ,实际上 ,这是关于两个集合的基数公式 ,也是大家熟知的容斥原理 ,更一般地 ,设有限集Ｉ的ｍ个子集为Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｍ,为简便起见 ,用ｎ(Ａ)表示有限集Ａ的元素的个数 ,则有基数公式 ;ｎ( ∪ｍｉ=1Ａｉ) =∑ｎ(Ａｉ) - ∑ｎ(Ａｉ∩Ａｊ) ∑ｎ(Ａｉ ∩Ａｊ ∩Ａｋ) -…… ( - 1 ) ｍ 1 ｎ( ∩ｍｉ=1Ａｉ)　　 书上指出 ,上面的式子对…     

“Katona-Kleitman定理的推广定理”的简短证明

本文给出“Ｋａｔｏｎａ－Ｋｌｅｉｔｍａｎ定理的推广”的简短证明．设Ｓ是ｎ元集合,Ｓ１,Ｓ２,…,Ｓｋ是 Ｓ的ｋ分划,Ｆ是Ｓ的子集系, 使得没有Ａ,Ｂ∈Ｆ,满足存在某个Ｓｉ有Ａ∩Ｓｉ＝Ｂ∩Ｓｉ,而对所有Ｓｉ＜（１＜ｉ≠ｉ＜ｋ）有Ａ∩∨ＳｉＢ∩Ｓｉ,则｜Ｆ｜     

关于不可约复矩阵的可逆性

本文推广了不可约复矩阵可逆性的一个经典结果──Ｂｅｔｔｅｒ推论，证明了如下定理：一个ｎ×ｎ不可约复矩阵Ａ是可逆的，如果它满足下列条件之一：某α∈［０，１］，且对至少一个。成立严格不等式，其中Ｎ＝｛１，２，…，ｎ｝，Ｒｉ∑ｊ∈Ｎ－（ｉ）｜αｉｊ｜，Ｃｉ＝∑ｊ∈（ｉ）｜αｊｉ｜，（ｉｉ）｜αｉｉαｊｊ｜≥ＲｉＲｊ，且对至少一对（ｉ，ｊ）成立严格不等式，同时Ａ有两行其非零非对角元的个数不小于２。     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　设Ａ ={ｚ1,ｚ2 ,… ,ｚｎ}是ｎ(ｎ≥ 2 )个不同的复数构成的集合 .已知对于任意的ｉ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,有{ｚｉｚ1,ｚｉｚ2 ,… ,ｚｉｚｎ} =Ａ (1)1)求证 |ｚｉ| =1,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ;2 )证明若ｚ∈Ａ ,则 ｚ∈Ａ .证　 1)对于 1≤ｉ≤ｎ ,由 (1)知∏ｎｊ=1ｚｉｚｊ=∏ｎｊ=1ｚｊ∴ｚｎｉ ∏ｎｊ=1ｚｊ =∏ｎｊ=1ｚｊ (2 )若有一个 ｊ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,使得ｚｊ=0 ,则{ｚｊｚ1,ｚｊｚ2 ,… ,ｚｊｚｎ} ={ 0 }≠Ａ ,矛盾 .所以对于任意的 ｊ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,有ｚｊ≠ 0 ,∴∏ｎｊ=1ｚｊ≠ 0 .由 (2 )得 ,ｚｎｉ=1,∴ |ｚｉ| =1,ｉ…     

三论限距组合

三论限距组合巫平（徐州市华东输油管理局中学２２１００８）自集合｛１，２，３，…，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ，使之满足：①１≤ｊ１＜ｊ２＜ｊ３＜…＜ｊｋ≤ｎ；②ｊｉ＋１－ｊｉ≥ｍ（ｉ＝１，２，…，ｋ－１）．称数组（ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ）为从ｎ...     

限距组合问题再探

限距组合问题再探李康海（浙江省永康一中３２１３００）陈皓（湖北省邮电学校４３００７０）从集合｛１，２，３，…，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，…，ｊｋ，使之满足：（１）１＜ｊ１＜ｊ２＜…＜ｊｋ≤ｎ；（２）ｊｉ＋１－ｊｉ≥ｍ（ｉ＝１，２，…，ｋ－１）．称数...     

子集的交叉t－相交定理

设Ｘ为一个ｎ元集合，Ｃｎｋ为Ｘ的所有ｋ元子集全体，若Ａ∈Ａ，Ｂ∈Ｂ有｜Ａ∩Ｂ｜≥ｔ，则称（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族．本文得到最大交叉ｔ－相交子集族和最大非空交叉２－相交子集族．证明如下两个结论．（１）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉ｔ－相交子集族，且ａ≤ｂ及ａ＋ｂ≤ｎ＋ｔ－１，则｜Ａ＋Ｂ｜≤ｍａｘ｛（ｂｎ），（ａｎ）｝，且当（Ａ；Ｂ）＝（φ，Ｃｎｂ）或（Ｃｎａ，φ）时达到上界．（２）若（Ａ，Ｂ）为一个交叉２－相交子集族，且ａ＜ｂ，ａ＋ｂ≤ｎ－１及（ｎ，ａ，ｂ）≠（２ｉ，ｉ－１，ｉ）（ｉ为任意正整数），又Ａ，Ｂ均非空，则｜Ａ＋Ｂ｜≤１＋（ｂｎ）－（ｂ（ｎ－ａ））－ａ（（ｂ－１）（ｎ－ａ））且当（Ａ，Ｂ）＝（｛Ａ｝，Ｃｎｂ－｛Ｂ｜｜Ｂ｜＝ｂ，｜Ａ∩Ｂ｜≤１｝）时达到上界．     

一个多线性振荡奇异积分算子

本文建立多线性算子ＴＡ１，Ａ２，…Ａｋｆ（ｘ）＝ｐ．ｖ∫ＲｎｅｉＰ（ｘ，ｙ）Ω（ｘ－ｙ）｜ｘ－ｙ｜ｎ＋Ｍ－ｋｋｊ＝１Ｒｍｊ（Ａｊ；ｘ，ｙ）ｆ（ｙ）ｄｙ，ｎ２，的一个变形的ｓｈａｒｐ估计，其中Ｐ（ｘ，ｙ）是Ｒｎ×Ｒｎ上的实值多项式，Ω是零阶齐性函数且满足某种消失性条件，Ｍ＝∑ｋｊ＝１ｍｊ，Ｒｍｊ（Ａｊ；ｘ，ｙ）表示Ａｊ在ｘ点关于ｙ的ｍｊ阶Ｔａｙｌｏｒ级数余项，对所有满足｜α｜＝ｍｊ－１（ｊ＝１，２，…，ｋ）的指标α，ＤαＡｊ∈ＢＭＯ（Ｒｎ）．作为ｓｈａｒｐ估计的推论，得到了算子ＴＡ１，Ａ２…Ａｋ在Ｌｐ（１＜ｐ＜∞）上的有界性．     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

短区间上非同构有限Abel群的个数

用算术函数ａ（ｎ）表示ｎ阶非同构Ａｂｅｌ群的个数，令Ａｋ（ｘ）＝∑／ｎ≤ｘ／ａ（ｎ）＝ｋ １，Ａｋ（ｘ；ｈ）＝Ａｋ（ｘ＋ｊ）－Ａｋ（ｘ）。     

布尔矩阵行空间基数的存在点

设 Ｂｎ 表示所有的ｎ 阶布尔矩阵的集合, Ｒ（ Ａ）表示 Ａ∈ Ｂｎ 的行空间,｜ Ｒ（ Ａ）｜表示 Ｒ（ Ａ）的基数．设ｍ ,ｎ,ｋ 为正整数,本文证明了当ｎ≥９, ｎ＋ ５２ ≤ｋ≤ｎ－ ３ 时,对任意的 ｍ ,２ｋ≤ｍ ≤２ｋ＋ ２ｎ－ ｋ＋ ２＋ ２ｎ－ ｋ＋ １ ＋ …＋ ２３,存在 Ａ∈ Ｂｎ,使得｜ Ｒ（ Ａ）｜＝ ｍ ．     

组合数的一项性质的概率证明

文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ｎｉ =0ｉｒ(-1 ) ｉＣｉｎ =0 ,　　　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !(-1 ) ｎ,　当ｒ =ｎ本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换ｉｎ-ｋ ,易见上式等价于∑ｎｋ=0(-1 ) ｋＣｋｎ(ｎ-ｋ) ｒ =0 ,　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !,　当ｒ =ｎ (1 )考虑随机试验 :从 1到ｎ这ｎ个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取ｒ次 ,令Ａｉ={取出的ｒ个数均不等于ｉ},ｉ =1 ,… ,ｎ,则Ｐｋ=Ｐ(Ａｉ1 Ａｉ2 …Ａｉｋ) =ｎ-ｋｎｒ,(1≤ｉ1<ｉ2 <… <ｉｋ ≤ｎ,ｋ =1 ,2… ,ｎ)由概率的一般加法公式Ｐ ∑ｎｉ=1Ａｉ…     

关于组合的两类问题

设有自然数集合A={1、2、…,n},从中任意取出k个来(k相似文献   

关于“方阵任意次方根存在的充要条件”一文的错误

本刊文 [1 ]中给出了复数域Ｃ内ｎ阶方阵任意次方根存在的一个充要条件 :定理　ｎ阶方阵存在ｍ次方根 (ｍ ≥ 2 )的充要条件ｄｉｍ(ｋｅｒＡ) =ｋ ,其中ｋｅｒＡ ={α｜Ａα =0 },ｋ表示矩阵Ａ以 0为特征根的重数 .这个结果是错误的 .例如 ,矩阵Ａ =0　 1　 0　 00　 0　 0　 00　 0　 0　 10　 0　 0　 0,这里 ,ｒａｎｋＡ =2 ,ｄｉｍ(ｋｅｒＡ) =4-ｒａｎｋＡ =2 ,而矩阵Ａ以 0为特征根的重数是 4.依上述定理 ,矩阵Ａ不存在平方根 (此时 ,ｍ =2 ) .事实上 ,选取矩阵Ｂ =0　 0　 1　 00　 0　 0　 10　 1　 0　 00　 0　 0　 0易验证 ,Ｂ2 …     

恰含d个非零对角元的本原矩阵的广义最大密度指数集

设Ａ是一个具有周期ｐ的ｎ×ｎ不可约布尔矩阵,文［１］定义了矩阵的广义最大密度指数ｈＡ（ｋ）令ＤＩＳｎ,ｄ（ｋ）＝｛ｈＡ（ｋ）｜ Ａ ＰＭｎ（ｄ）｝,其中ＰＭｎ（ｄ）是所有恰含ｄ个非零对角元的ｎ×ｎ本原矩阵的集合．本文证明了另外,我们定义矩阵Ａ的范数,用Ａ表示,为Ａ中１的个数,并且刻划了具有最小范数的极矩阵．     

例谈子集个数公式及其应用

<正>子集和真子集的个数是集合之间关系的一个知识点,为了帮助低年级的同学们更好地掌握这一知识,现介绍如下:1子集个数公式的推导不含任何元素的空集?,其子集为自身?,共有1个子集;含有1个元素的集合{a_1},其子集除?外,还有在?中,加元素a_1的集合{a_1},共有2个子集;含有2个元素的集合{a_1,a_2},其子集除?,{a_1}外,还有在这2个子集中,加元素a_2的2个子集:{a_2},{a_2,a_2},共有2 × 2=2²个子集;     

半群与弱椭圆算子(英)

设ｉＡｊ（１≤ｊ≤）是有界Ｃ_０群的可交换生成元,Ｐ（Ａ）＝∑_｜μ｜≤２ａ_μＡ~μ（Ａ~μ＝Ａ_１~μ…Ａ_ｎ~μｎ）如果Ｐ是弱椭圆的且其实部是上有界的,则我们证明Ｐ（Ａ）生成一个Ｃ_０半群．     

限距组合初探

限距组合初探李平龙（江苏省灌云县中学２２２２００）自集合｛１，２，３，．．．，ｎ｝中选出ｋ个数ｊ１，ｊ２，．．．，ｊｋ，使之满足：称数组（ｊ１，ｊ２，．．．，ｊｋ）为从ｎ个元素中取出ｋ个元素且限距为ｍ的组合，其组合数简记为Ｃ（ｎ，ｋ，ｍ），显见文［１...     

关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

Hamiltonian图的泛圈性的一个充分条件

设Ｇ是一个ｎ阶图,若对于每一个ｋ（３≤ｋ≤ｎ）,Ｇ都含有长度为ｋ的圈,则称Ｇ为泛圈图． 在［１］中, Ｒ．Ｊ, Ｆａｕｄｒｅｅ等证明了如下结果： 定理Ａ设Ｇ是一个ｎ－阶２－连通图,δ（Ｇ）≥ｔ．若对于Ｇ中任意两个不相邻的点ｕ和ｖ,均有 ｜Ｎ（ｕ） ∪ Ｎ（ｖ）｜≥ｎ－ｔ,则 Ｇ是 Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ图． 根据 Ｂｏｎｄｙ在［４］中的想法：几乎任何一个 Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ图的非平凡的充分条件都可能蕴含着图的泛圈性质,自然有如下猜测：设图Ｇ满足定理Ａ的条件,则Ｇ是泛圈圈或者 ｎ＝２ｔ; Ｇ≌Ｋ_（ｔ,ｔ）…