再析一道以二进制为背景的高考题

题 (2011年湖南卷理16)对于n∈N+,将n表示为n=a0×2k+a1 ×2k-1 +a2 ×2k-2+…+ak-1 ×21 +ak×20,当i=0时,ai=1,当1≤i≤n时,ai为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数.(例如:1=1 ×20,4=1 ×22+0×21 +0×20,故I(1)=0,I(4)=2),则(1)I(12)=____;(2)127∑n=12I(n)=____.     

都是“a≠0”惹的祸

老师在讲二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0时总强调a≠0,我们受思维定势的影响,在做题时碰到ax2+bx+c,总以为a≠0,如果题目中没有说明一定是二次函数或一元二次方程,则a可以为0,这时二次函数就变为一次函数,一元二次方程就变     

二次根式与拳法

<正>在学习代数的过程中,我们会发现这样的一种趋势,我们认识了有理数这一些数,接着又学会了怎么计算这一些数,把他们按照+、-、×、÷、乘方(aⁿ)等运算法则,和交换律:a+b=b+a,结合律:(a×b)×c=a×(b×c)以及分配律:(a+b)×c=a×c+b×c等运算律进行折腾,这就像练武术时,学习了一套基本拳法.     

我与老师关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ)的争论

在前不久 ,我们学习了公式ａｓｉｎα +ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,(其中 φ =ｔａｎ ｂａ) ,数学老师说 :“关于 φ在什么象限 ,书上没有说 ,经我们数学组的老师研究 ,认为 0≤ φ≤π ,因为正切函数在一、三或二、四象限的值是相同的 ,就不必要考虑三、四象限了 .”既然是数学组的老师们研究过的 ,似乎就没有什么可怀疑的了 .可我却产生了疑问 .我发现如果只考虑0≤ φ≤π的话 ,在某时碰巧对 ,而在某时就对不上了 .于是课后我问老师 :“书上例题 22 ｓｉｎα +22 ｃｏｓα =ｓｉｎ(α +π4) ,而如果是 -22 ｓｉｎα-22 ｃｏｓ…     

巧用平方差公式妙解趣题

<正>记得在小学里,学过了小数与分数知识后,数学教师李老师曾提出一个有趣的问题:已知"快"、"乐"两个汉字分别代表两个不同的小数(或分数),请您设法找出这两个数来,使得等式:"快+乐²=快2=快²+乐"(*)成立。比如:0.1+0.92+乐"(*)成立。比如:0.1+0.9²=0.91,0.12=0.91,0.1²+0.9=0.91,即0.1+0.92+0.9=0.91,即0.1+0.9²=0.12=0.1²+0.9;又如2/3+(1/3)2+0.9;又如2/3+(1/3)²=(2/3)2=(2/3)²+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)2+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)²=     

两组参级方程等价的一个充要条件

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》P186.3中有这样一个习题:设x=t-t~2(t是参数),化普通方程x~2+2xy+y~2+2x-2y=0为参数方程。解这个习题,最后得两组参数方程: x+t-t~2 y=t~2+t’ x=t-t~2 y=t~2-3t+2 究竟这两组参数方程有什么关系?它们是否表示同一曲线?本文讨论如下。     

用行列式求通过定点的曲线与曲面方程

线性方程组的理论中有一个基本结论 :含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。利用这个结论 ,我们可以建立用行列式表示的直线、平面和圆的方程 ,也可以求出一般多项式的表达式。如果平面上有两个不同的已知点 ( x1,y1) ,( x2 ,y2 ) ,通过这两点存在惟一的直线。设直线方程为 :ax+by+c=0 ,且 a,b,c不全为零。由于 ( x1,y2 ) ,( x2 ,x2 )在同一直线上 ,所以它们满足上述直线方程 ,即 :ax1+by1+c=0 ,ax2 +by2 +c=0。因此有ax +by +c=0ax1+by1+c=0ax2 +by2 +c=0　　这是一个以 a,b,c为未知量的齐…     

我的一次探究性学习

一、问题的源起数学课上,老师带领我们探讨了点到直线的距离的求法.首先我们一起回顾了两直线li:Ax By Ci=0(i=1,2)的位置关系(重合、相交、平行),发现条件“A1/A2=B1/B2≠C1/C2”仅仅解决了两平行直线方向相同的问题,要确定两平行线的位置关系,还必须研究它们的距离.接着老师引导我们选择常规思路:思路一取点——作垂线——求垂足坐标——代两点间的距离     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

用整式乘法探究有理数乘法的简算规律

<正>许多同学都会个位数字是5的两位数平方的简算.(15)²=1×2×100+25=225,(25)2=1×2×100+25=225,(25)²=2×3×100+25=625,(35)2=2×3×100+25=625,(35)²=3×4×100+25=1225,……,一般地,简算法1:(a5)2=3×4×100+25=1225,……,一般地,简算法1:(a5)²=100a(a+1)+25(a为正整数).为什么能这样算呢?这是因为:(a5)2=100a(a+1)+25(a为正整数).为什么能这样算呢?这是因为:(a5)²=(10a+5)2=(10a+5)²=100a2=100a²+100a+25=100a(a+1)+25(a为整数).(1)用简算法1计算(85)2+100a+25=100a(a+1)+25(a为整数).(1)用简算法1计算(85)²=7225(72是8×9,25是52=7225(72是8×9,25是5²).从一个问题出发,如果能进行更深入更广阔的思考才是我们应追求的目标和思维发展     

忽视△≥0致错两例

<正>《中学生数学》2016年1月下初一年级课外练习题第2(1)题为:设a²-a+1=0,求a2-a+1=0,求a⁽²⁰¹⁶⁾+1/a(2016)+1/a⁽²⁰¹⁶⁾的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax(2016)的值.评析我们知道,关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),当Δ=b2+bx+c=0(a≠0),当Δ=b²-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b2-4ac≥0时,方程有实根;当Δ=b²-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a2-4ac<0时,方程无实根.上述题目中,对于a²-a+1=0而言,由于Δ=(-1)2-a+1=0而言,由于Δ=(-1)²-4×1×1=-3<0,故这样的a     

根在指定区间内的二次方程参数范围的确定

下面的五道试题都是从日本各大学入学试题中选来的: 1.k是什么实数时,二次方程 7x~2-(k+13)x+k~2-k-2=0有两个实根,它们分别在区间(0,1)和(1,2)内?(1975年东京大学) 2.在△ABC中,tgA、tgB是二次方程 x~2+mx+m+1=0     

智慧窗

<正>251、8与2008已知251~x=8~y=2008~z.求证:1/x+1/y=1/z.求尾部"0"的个数求乘积1×2×3×4×…×2007×2008尾部零的个数.漂亮的拆分把2008拆分为六个正整数的平方和,其中三个正整数成等差数列,公差为1,另外三个正整数也成等差数列,公差是2.     

数学问题解答

1431　如图 ,在△ABC中 ,D、M、E是四等分BC的三个分点 ,一直线顺次交AB ,AD ,AM ,AE ,AC于K1 ,K2 ,K3,K4,K5.求证 :AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)(贵州安顺师专培训部　李慎东　 5 61 0 0 0 )证明　注意到M是BC之中点 ,过B ,C两点分别作l的平行线BV ,CT(见图 )则有 :ABAK1 =AVAK3,ACAK5 =ATAK3　因为TM =VM　所以AV +AT=2AM故 ABAK1 + ACAK5 =2 ·AMAK3………①同理 ,可得ADAK2 + AEAK4=2 · AMAK3………②① +②整理得AMAK3=14( ABAK1 + ADAK2 + AEAK4+ ACAK5)1 432　四面体…     

珠心算多项连乘一次定位法

正由于多项连乘,项数多、数目字又大,所以要简化算法,才能保证快速得出正确结果。我们采用的算法是"变换题型和处理尾0"。变换题型就是根据算法需要,以乘算"三律"(交换律、结合律、分配律):a×b=b×a,a×b×c=a×(b×c),a×(b+c)=a×b+a×c为依据,将那些凑整出尾0的数结合,交换先乘;处理尾0就是算前整因数后边的尾0、及算中出现的尾0,一律不参加计算:整数乘法直接     

编读往来

一、( 71 0 0 61　陕西师大附中　申祝平 )来信指出 :《上海中学数学》2 0 0 3年第 6期P8上例 2是已知 :lg2 ca-4lg ab·lg bc=0 ,求证 :a ,b,c成等比数列 .原“证明”有一个重大的疏忽 :当lg ab=0 (即a=b≠ 0 )时 ,方程lg ab x2 +lg ca x +lg bc=0不是一元二次方程 ,根本无从谈到韦达定理 !实际上 ,本题仍可用构造法正确地证出来 :只需构造一元二次方程x2 +lg ca x +lg ab·lg bc=0即可 .编者答复 :感谢申祝平老师指出我们编审中的疏漏之处 ,对我们提出建议 !我们在以后的工作中一定吸取教训 ,严格把关、认真编审、避免失误、提高质量 ,同…     

串珠成线选情境,渐次展开求简约——以“一元二次方程(第1课时)”教学为例

最近,南通市李庾南实验总校举行首届赛课活动,笔者有幸参加了初中数学赛课活动,执教了"一元二次方程(第1课时)",得到评委老师的好评,本文呈现该课的教学设计和课堂生成,并给出教后反思,与同行交流.一、"一元二次方程(第1课时)"教学设计1.教学目标(1)引导学生类比一元一次方程,定义一元二次方程的相关概念,并熟悉一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).(2)结合开平方运算,引导学生发现特殊形式的一元二次方程的"直接开方法",并进一步探索出"配方     

课堂上的新发现

今天的数学课上,刘老师给我们讲了一种重要的运算定律——"乘法分配律",内容是两个数的和与一个数相乘,可以先让它们与这个数分别相乘,再把所得的积相加,结果不变。用字母表示为:(a+b)×c=a×c+b×c。在下午的自习课上,刘老师给我们提出了一个问题,她说:"同学     

一个不等式的改进及证明

文 [1 ]中四川师大的徐丹老师和杨露老师给出了如下定理及其证明 :定理　设a1 ,a2 ,… ,an ∈R+,且a1 +a2 +… +an =s,k∈N ,k≥ 2 ,则有ak1 s-a1+ ak2s-a2+… + akns-an≥sk- 1(n - 1 )nk- 2 .其中当且仅当a1 =a2 =… =an 时 ,不等式的等号成立 .笔者认为k∈R ,k>1时 ,定理是成立的 ,证明如下 :证明　设f(x) =xks -x,x ∈ ( 0 ,s) ,由于f′(x) =kxk- 1 (s -x) +xk(s-x) 2 ,f″(x) =k(k- 1 )xk- 2 (s-x) +kxk- 1(s- 2 ) 2 +kxk- 1 (s-x) 2 + 2xk(s-x)(s-x) 4所以 ,当x ∈ ( 0 ,s) ,k>1时 ,f′(x) >0 ,f″(x) >0 ,即f(x)为递增下凹的函数 .…     

关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).