一道试题的巧思妙解

在解决数学问题时，可以用静的方法来处理动的数量和形态，即以静制动；转换视角，实行动静互换，笔者用此方法来处理一道自主招生试题．     

由一道自主招生题的巧解所思

题(2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生第13题)已知椭圆的两个焦点F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y=x-(3～(1/2))相切.     

由一道自主招生题的巧解所思

题（2011年同济大学等九校（卓越联盟）自主招生第13题）已知椭圆的两个焦点F1（-1,0）,F2（1,0）,且椭圆与直线y=x-√3再相切．     

一次洞察“数据玄机”的美好体验

从一道椭圆试题的优美结果,洞察出三条直线的斜率成等差数列,进而开启了一段愉快的探究之旅.     

F(x_1,x_2)=(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)型函数相关问题的转化方法

<正>近年来,纵观全国各省市高考及自主招生考试的命题,形如标题中所提到的函数形式极为常见.问题有不同的设问方式,落点在于不等式的证明,或者在于解参数值.但是,此类问题最终可以通过转化,利用相似的方法来解决.本文将结合近三年各省市的高考真题、自招试题、高考模拟试题,重点对这类问题的两种不同的处理方法进行梳理与总结.     

一道全国高中数学联赛试题的进一步研究

2014年全国高中数学联赛试题B卷解析几何试题为:如图1,椭圆Γ:x2/4+y2=1,A(-2,0),B(0,-1)是椭圆Γ上的两点,直线l1:x=-2,l2:y=-1,P(x0,y0)(x0>0,y0>0)是Γ上的一个动点,l3是过点P且与Γ相切的直线,C、D、E分别是直线l1与l2,l2与l3,l3与l1的交点,求证:三条直线AD,BE和CP共点.     

用直线方程的斜截式解题时应注意的一个问题

直线方程的斜截式的应用范围是倾斜角α≠π/2,因此它不能表示坐标平面上的所有直线。现在通过下例来研究一下用它解题时,需要注意的一个问題。 例 求椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程。 解:设椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2的二条切线为y=kx m代入椭圆方程,并整理得     

一道椭圆中三角形的周长为定值试题的探究

探究一道椭圆中三角形周长为定值试题的解法,挖掘试题背景,得到了一类在直线斜率为定值的条件下直线过定点的一般性结论.     

一道数学竞赛题的推广与引申

题目(2010年河北省预赛题)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点分别为(-6~1/2,0),(6~1/2,0).O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的点A,B.(1)略;(2)证明:直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.本题属于一道很常规的竞赛试题,主要考查椭圆的标准方程、直线的方程及直线与椭圆的位置关系.下面将此题推广到一般形式.     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

类比:让学生插上“发现”的翅膀——对两道高三数学试题的探究

波利亚指出:“数学家的创造性工作的结果是论证推理,是一个证明,但证明是由合情推理,是由猜想来发现的.”在中学数学教学中,运用类比思维的领域极广,如通过类比发现(猜想)新的问题以及发现问题的证明方法等,都是大有可为的. 例1 如何用向量判断直线与椭圆的位置关系? 设椭圆短半轴长为b,长轴为AA',直线l与过点A,A'且垂直于AA'的直线分别相交于两点M,M',则(1)→AM·→A'M=b2(=)直线l与椭圆相切;(2)→AM·→A'M＜b2(=)直线l与椭圆相交;(3)→AM·→A'M＞b2(=)直线l与椭圆相离.     

一道北约自招试题的解法与源流研究

2014年北约自主招生压轴题与不等式有关,形式简约,表面看似接近中学教学实际,然而细细品味会发现其意蕴深刻,源远流长,这种“接地气通天庭”的试题特征在该题中体现得淋漓尽致,较好地引导着一些优秀学子钻研数学的兴趣和热忱.本文详细讨论2014年北约自主招生的压轴题的各种解法并研究其源流,为自主招生试题的研究提供一个思路和参考.一、试题的解法研究题目(2014年北约自主招生第10题)若xi>0(i=     

2008年大学自主招生数学试题

大学自主招生考试数学试题材料鲜活,试题的结构常以5～7道解答题的形式出现（如2008年清华大学、北京大学、浙江大学的自主招生试题）,也有与本省高考数学试卷的形式类似的（如2008年山东大学自主招生试题）,试题的难度一般略高于高考题．下面介绍几道2008年自主招生数学试题．     

从消参的角度探析一道解析几何题的简解

2011年郑州市高中毕业年级第三次质量预测理科第20题(文科压轴题)是一道较难的解析几何题.该题主要考查直线与椭圆的位置关系,其解答的核心思想是消去"非对称目标函数"中的参数.试题和标准答案如下:已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点.过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点.记直线AD、BC的斜率分别为k1、k2.     

三角换元法的应用

三角换元法是一种用三角函数代替问题中的字母（或式子）,然后利用三角函数之间的关系达到解题目的的一种解题方法.该解法的优点在于将已知条件通过代替转化为同一个角的某个三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.本文以部分数学高考题,自主招生试题,高中数学竞赛试题为例说明如下.     

2010年北京大学、清华大学自主招生数学试题选析

北京大学以及清华大学等五校（以下简称五校）2010年自主招生考试于2010年1月16日同时举行．北京大学自主招生考试数学试题文、理各四道大题,五校自主招生考试数学试题分联合测试与特色测试两份,联合测试分选择题和解答题,清华大学特色测试题有四道大题．北大的自主招生数学试题比较容易,五校自主招生试题比较难,特别是清华大学特色测试数学试题很难．由于试题没有公开,笔者根据考生的回忆整理出北大、清华的自主招生考试部分数学试题及其解答,以飨读者．     

立足课本夯实基础提前圆梦——点击活跃在自主招生试题中的一道课本例题

自从2006年复旦、上海交大等全国重点院校高考改革"破冰"以来,各高校"深化自主选拔录取改革实验"招生方案不断出台,全国自主招生的院校不断增加,各高校自主招生的比例也在增加.今年又有许多高校加入自主招生的行列,自主招生正不断向深水区推进.数学在自主招生中一直扮演着重头戏,在自主招生中占据核心地位.自主招生试题虽然由大学教授命制,但毕竟是从中学自主选拔优秀人才.     

椭圆切线的几个典型性质

对于椭圆的切线,在全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)中虽略有涉及,但没有作进一步的讨论与研究.事实上,椭圆的切线作为和椭圆位置关系最特殊的直线,有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中几条性质,并加以证明.性质1椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径     

一道清华自主招生试题的拓广

迷人的圆锥曲线一直吸引着很多数学爱好者去探究她优美的性质,笔者最近在研究自主招生试题时,发现了圆锥曲线的两组优美的性质.1试题再现(2011年清华大学等七校联考)抛物线y2=4x的焦点为F,原点为O,直线AB经过点F,抛物线的准线与x轴交于点C,若∠OFA=130°,则tan∠ACB=.2试题拓广命题组当初给出的参考解答是代数方法,笔者感觉过于繁琐,下面给出几何方法及其拓广.定理1设点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点     

一道自主招生试题的解法和变式探究

先给出一道深圳中学2022年自主招生试题的两种解法,再对这道分式求值题进行变式探究.