关于方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))

设n为任意正整数,φ(n)是Euler函数.主要研究了方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))的可解性问题,利用数论中的理论和方法,获得了该方程的所有正整数解.     

方程a2(x)(t-τ)+a1(x)(t-τ)+a0x(t-τ)+b2(x)(t)+b1(x)(t)+b0x(t)=δ的部分解讨论

讨论了方程a2(x)(t-τ)+a1(x)(t-τ)+a0x(t-τ)+b2(x)(t)+b1(x)(t)+b0x(t)=δ的部分解.     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

(一)1/2=-1?

题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非?     

一类三阶有理差分方程的奇点集和解的渐近性

研究三阶有理差分方程x_(n+1)=ax_(n-1)+x_(n-1)x_n/bx_(n-2)+cx_n,n=0,1,2,...的奇点集和解{x_n}_(n=-2)~∞的渐近性,其中a,b,c∈R,初始值x_(-2),x_(-1),x_0∈R.由a,b,c的取值的不同,而得到解的不同的渐近性.     

三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+6φ(c)的正整数解

研究了三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+6φ(c)的可解性问题,其中φ(n)为欧拉函数.利用初等数论相关内容及计算方法,给出了方程所有共计95组正整数解.所提出的求解技巧可用以求解其他相似类型的混合型欧拉函数方程.     

一类不定方程对Lucas序列的应用

1 引言设 D 不是平方数,α=a+b D~(1/2)∈Q(D~(1/2)),这里 a,b(?)0是有理整数。柯召和孙琦以及本文作者曾分别证明了不定方程α~(4m)+β~(4m)=2t~2,N(α)=αβ (1)当 N(α)=1以及 N(α)=-1时无正整数解 m,t。最近,孙琦考虑了 N(α)=k,|k|>1的情形,他证明了 k 满足以下三个条件时方程(1)无正整数解:1)k 无平方因子;2)k 的任一个素因子 p 满足 p(?)Δ,这里Δ是 Q(D~(1/2))的基数;     

丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)

设a,b,c,n均是大于1的整数且a+b=c^(2),gcd(a,b,c)=1.得到了一些关于丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)正整数解(x,y,z)的结论.     

从问题出发引入线性代数概念(续)

二、行列式例1实系数二元一次方程组a1x b1y=c1a2x b2y=c2(2.1)=c1c2(2.2)何时有唯一解?当它有唯一解时求出它的解来.解将方程组(2.1)写成向量形式:xa1a2 yb1b2在平面直角坐标系中取点A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2)则向量OA,OB,OC的坐标就分别是a1a2,b1b2,c1c2.方程(2.2)即xOA yOB=OC(2.3)解此方程,就是要将OC表示成OA,OB线性组合,求组合系数x,y.图1(2.1)有唯一解(2.3)有唯一解OA,OB不共线a1b2-a2b1≠0.将OB绕O沿顺时针方向旋转直角得到有向线段OB′如图1.则OB′=b2-b1.将OB′与方程(2.3)两边同时作内积,由于OB·OB′=0,可消去…     

用观察法求二元一次不定方程的特解初探

任何事物的矛盾都是普遍性和特殊性的辩证统一 ,普遍性存在于特殊性之中 ,特殊性里包含着普遍性 ,因此认识“特殊”是认识“一般”的入门向导 .求二元一次不定方程的一个特解 ,是求该方程通解的关键 ,也是求二元一次不定方程的正整数解或二元一次不定方程应用题的重要基础 .用观察法求特解 ,简便易行 ,快速敏捷 .下面 ,举例说明用观察法求特解的一点技巧 .1　对于二元一次不定方程 ax by=c( a,b,c为整数 ,( a,b) =1) ) ,当 a|c或 b|c的情况 .例 1　求 3 x 5 y=9的一个特解 .解　∵　 ( 3 ,5 ) |9,此方程有整数解 .求特解∵　 a=3 ,3 |9　可…     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

配方法解含a,a~(1/2)的问题

<正>配方法是一种重要的数学方法,过去都是对整式配方,本文举两个对a·a^(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)^(1/2)-4(b-2)(1/2)-4(b-2)^(1/2)=3(c-3)(1/2)=3(c-3)^(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)^(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)^(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)^(1/2)+9)=0,     

方程a_2“非汉字符号”(t-τ)+a_1(t-τ)+a_0x(t-τ)+b_2“非汉字符号”(t)+b_1(t)+b_0x(t)=δ的部分解讨论

讨论了方程 a2 x( t-τ) + a1x( t-τ) + a0 x( t-τ) + b2 x( t) + b1x( t) + b0 x( t) =δ的部分解     

非线性微分系统解的有界性和周期解的存在性

本文运用了比较新的手法,证明了非线性微分系统(dx)/(dt)=1/(a(x))[c(y)-b(x)];(dy)/(dt)=-a(x)[h(x)-e(t)](1)(其中a(x),b(x),h(x),c(y),e(t)为连续可微函数,x,y∈R,t∈[0,+∞),且a(x)>0)解的有界性及周期解的存在性,并应用该结论讨论了强迫振动方程:x+(f(x)+g(x)x)x+h(x)=e(t)(2)(其中f(x),g(x)为连续可微函数,x∈R,h(x),e(t)同上)解的有界性及周期解的存在性.     

两类可观测量的Bell不等式

引入了可观量a和ab关于密度矩阵ρ的平均值E_ρ(a)=Tr(aρ)与E_ρ(a,b)=Tr((ab)ρ),给出了一系列性质,建立了相应的Bell不等式|E_ρ(a,b)+E_ρ(a,c)+E_ρ(d,b)-E_ρ(d,c)|≤2(‖Pρn1‖2+‖Pρn2‖2)～(1/2)≤22~(1/2).     

关于不定方程 x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) 的广义整数解及一类 Kummer 扩域的次数

<正> §1.引言在[1]中我们给出了方程x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) (1)的全部正整数解.设 Z 为整数环,Z~+为所有正整数集合,Z~*=Z\{0}.设 a∈Z~+,我们规定 a~(1/n)表示 a 的算术根.在[1]中我们说正整数组(a,b,c)是方程(1)的解是指     

K(n,2n,-n)方程行波解的分支

本文研究了K(n,2n,-n)方程行波解与参数a,b,c,g,n等的关系.利用动力系统分支理论,得到了孤立波、扭结和反扭结波解,以及不可数无穷多光滑周期波解的存在性.本文推广了文献[1]中的结果.     

不存在秩为r(G)+2c(G)-1或r(G)-2c(G)+1的符号图

设Γ=(G,σ)是一个符号图,其中G是Γ的基图.设r(G,σ)是Γ的秩.[Linear Algebra Appl.,2018,538:166-186]和[Linear Multilinear Algebra,2019,67:2520-2539]分别证明了r(G)-2c(G)≤r(G,σ)≤r(G)+2c(G),其中,r(G)和c(G)分别是G的秩和圈空间维数.本文主要证明没有符号图的秩能够达到r(G)+2c(G)-1和r(G)-2c(G)+1,并且证明了存在无穷多个符号图的秩r(G,σ)=r(G)+2c(G)-s,其中s∈[0,4c(G)]且s≠1及4c(G)-1.     

基于样条的高阶矩阵微分方程近似解

矩阵微分方程经常出现在许多物理模型和工程技术模型中.利用矩阵样条构造形如{y(p)(x)=Ap-1(x)y(p-1)(x)+Ap-2(x)y(p-2)(x)+…+A1(x)y(1)(x)+A0(x)y(x)+B0(x),y(a)=ya,…,y(p-1)(a)=y(p-1)a,x∈[a,b];Ai(x),B0(x)∈C4[a,b],0≤i≤p-烅烄烆1的高阶矩阵线性微分方程初值问题的数值解.给出实现算法和数值解的近似误差估计以及数值实例.先将高阶矩阵微分方程转化为一阶矩阵微分方程,然后利用三次矩阵样条求出一阶矩阵线性微分方程的数值解,从而解决高阶微分方程问题.     

谈一类不等式的证明思路

有一类不等式,其条件都是三个正数乘积为1.该类不等式的证明技巧强,难度较大,因此本文特介绍它的三种证明思路,以供参考.思路1直接运用条件例1已知a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,求证2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.证明设t=a+b+cf(t)=2t+3/t,∵a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,∴t=a+b+c≥3√abc=3,∵f'(t)=2-3/t2=(2t2-3)/t2,∴.当t＞3时,f＇(t)＞0,∴函数f(t)在[3,+∞)上为增函数,∴f(t)≥f(3)=7,故有2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.点评三元均值不等式在例1中起到了沟通已知与未知的桥梁作用,也使得直接运用条件“a＞0,b＞0,c＞0,abc=1”的目的得以达成.