线段中点问题的探究

<正>线段是组成几何图形的重要元素,在七年级上数学的学习中,线段中点模型的探究为线段计算提供了非常明确的探究方向．下面我们立足课本,从定义出发,由具体计算到一般结论,探究线段中点问题的计算和线段间的数量关系．1线段中点的定义人教版教材P127,如图1,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点．     

线段、角目标检测(二)

一、判断(每空2分,共26分) 1.三条直线两两相交一定有3个交点。 ( ) 2.线段AB的长度是点A到点B的距离。 ( ) 3.当线段AM=MB时M就是线段AB的中点。 ( ) 4.平角是始边和终边互为反向延长线的角。 ( )     

数学问题解答

2010年3月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1841正棱锥FABC的外接球的球心在底面ABC上,点M在棱AB上,且AM:MB=1:3.     

慧眼识伪证 推理须严谨

<正>在一次课上,我和我的学生面对面的解题,经历了一段有意思的讨论.已知:如图1,矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点M在BC上,且BM:MC=1:2,DE⊥AM于点E,求DE的长.学生提出了用面积法解题.先画出图1,由已知得到AD=BC=9,AB=CD=4,AM=5.     

一道平面几何命题的应用及推广

1　命题及其证明命题　如图 1所示 ,若直线 l⊥线段 AB于 H ,则M1 A2 - MA2 =M1 B2 - MB2 (1)反之 ,若式 (1)成立 ,则 M1 M所在的直线 l⊥AB.图 1证明　∵　 l⊥线段AB,∴　由勾股定理得 :AM21 - AH 2 =H M21 ,AM2 - AH 2 =H M2 .两式相减得AM21 - AM2 =H M21 - H M2 . 1同理可得BM21 - BM2 =H M21 - H M2 . 2由 1、2得AM21 - AM2 =BM21 - BM2 .反过来 ,可设∠ AH M1 =θ,则∠ BH M1 =π -θ,∴　 M1 A2 - AM2　 =AH 2 +H M21 - 2 AH . H M1 cosθ- AH 2 - H M2 +2 AH . MH . cosθ　 =H M21 - H M2 - 2 …     

一道上海市数学竞赛试题的另解

2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)第10题:如图1,在△ABC中,点O为BC的中点,点M、N分别在边AB、AC上,且AM=6,MB=4,AN=4,NC=3,∠MON=90°.求∠A的大小.文[1]给出了这道试题的     

再论圆周向量定积定理

文[1]中提出了“圆周向量定积定理”:设⊙C的半径为R,其同心⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图)1),那么MA·MB=R2-R′2.文[2]将该定理改进为:设AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果AB是⊙O的直径,则MA·MB=MO2-R2.本文主要讨论该定理的逆定理是否成立,即:AB是半径为R的⊙O上的两点,M是平面上任意一点,如果MA·MB=MO2-R2,则AB是否一定是⊙O的直径呢?分析当M与A点或B点重合时,由于“MA·MB=MO2-R2”是一个恒等式,故AB一定是⊙O的直径.当M与A点及B点都不重合时,我们分M…     

蝴蝶图形的一些有趣性质

图1所示图形,宛若一只正飘飞着的蝴蝶,栩栩如生。习惯上称为蝴蝶图形。蝴蝶图形有一些非常有趣的性质。一、满足条件AM·MD=CM·MB者如图2,由AM·MD=CM·MB(?)AM/MB=CM/MD(?)AC∥DB.这时,很容易证明以下结论。     

谈谈一道数学竞赛题的教育价值

一道好的数学竞赛题,往往蕴藏着丰富的内涵,如果我们能充分挖掘其中的潜能,那将会大大提高其教育价值,下面本人仅以一道竞赛题为例谈一下自己粗浅的看法。命题1:如图1.设AM是△ABC边BC上的中线,任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N,求证:AB/APAM/AV、AC/AQ成等差数列(1978年辽宁省中学数学竞赛复赛题)。围绕着这道竞赛题,可以从以下几个方面展示其教育价值。一、变换视角,增强联想思维能力。视角一,我们先考察命题1结论的整体特征,AB/AP、AM/AN、AC/AQ成等差数列,即AM/AN=1/2(AB/AP AC/AQ),再联想到几何量成等差数列的有什么定理?容易想到梯形中位线定理。因此,要创造出现梯形的条件,那么,梯形位置应在何处?由特征式等AM/AN=1/2(AB/AP AC/AQ)得到启示,     

利用共线向量中的系数巧解一类向量问题

最近笔者在研究向量时,发现利用共线向量中的系数求共面向量→AP=→m AB+→n AC中的系数,能收到事半功倍的效果.具体思路是:先找到一个与向量→AP共线的向量→AM,令→AP=λ→AM,且向量→AM比较容易用基底→AB、→AC表示,再根据已     

赏析一道2019清华大学自主招生题的多种解法

<正>例(2019年清华大学自主招生题,选项不唯一)设AB为圆O直径,点C在圆上,CO⊥AB,M为AC中点,CH⊥MB于H,则下列选项中正确的是().(A)AM=2OH(B)AH=2OH(C)△BOH∽△BMA(D)以上全错这道平面几何题出现在高校自主招生考试中,体现着命题老师的独到匠心,其解题思路颇具开放性,下面来赏析之.     

一个不等式的几何证法

题1 已知a、b、c都是正数,求证:我们将构造几种不同的几何图形来证明此题.证法1 如图1所示,在线段AB上构造三个等腰直角三角形,直角边的长度分别为a、b、c.过点B作AM的平行线,取BN=AM=a,连接MN.显然     

数学问题解答

2012年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)2076已知:在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为E,点M1、M2分别在OC与CO的延长线上,且CM1=OM2,AM1交⊙O于点F1,AM2的延长线交⊙O于点F2,DF1交AB于G1,DF2的延长线交AB的延长线于点G2.     

一个几何命题及其应用

命题过定角内一定点的直线与角两边围成的诸三角形中,当定点是该边中点时,此三角形面积最小。证明如下左图,M为定角∠O内一定点;直线AB过点M与∠O两边分别交于A、B,且AM=MB;任一直线A′B′过点M与角两边分别交于A′、B′。过B作BC//OA(若B在OB′延长线上,则A     

无理数所引发的谋杀案

传说,公元前六世纪的一天,在地中海的一艘驶往希腊的轮船上,一群“野蛮人”把一个人残忍地扔进了地中海.这个被谋杀的人就是伟大的学者——希伯斯,他是毕达哥拉斯学派的一个门徒. 毕达哥拉斯学派是古希腊的一个重要学派,为首的就是毕达哥拉斯.毕达哥拉斯学派     

圆锥曲线有关切点问题探究

<正>一、2017年全国Ⅰ卷文科数学圆锥曲线题探源原题设A,B为曲线C:y=x²/4上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB     

一道中考模拟压轴题的解法探究与思考

在南京市组织的一次初三数学中考模拟练习中,一道压轴题让很多学生望而却步、思路受阻,得分率很低.笔者悉心研究发现,对于此题,只需抓住题目条件特征、图形特征和结论特征中的一个,运用基本数学模型和基本数学方法,即可自然求解.下面将解法探究呈现给大家,以飨读者.一、题目如图1,已知直线l与线段AB平行,试只用直尺作出AB的中点.1.初步探索如图2,在直线l的上方取一个点E,连接EA、EB,分别与l交于点M、N,连接MB、NA,交于点D,再连接ED并延长交AB于点C,则C就是线段AB的中点.     

几何题的多解与多变

题目已知:如图1,AM是△ABC的中线,P是MC上任意一点,过P作AM的平行线交AB、AC(或延长线)于点D、E.求证:PD PE=2AM. 一、解法 分析若过A作 AF∥BC,AP 于 F,则 AM=PF=PE EF,这只需证PE DF =AM,即EF=DF即 可. 简证1△AFD∽△BNA DF/AF=AM/BM=AM/MC①;AF∥PC EF/AF=PE/PC②;PE∥AM AM/MC-PE/PC③.由①②③可得 DF=EF.     

2~(1/2)的趣味估算

<正>2^(1/2)的出现在古希腊学术界,毕达哥拉斯学派的思想被认为是绝对权威的真理.毕达哥拉斯学派倡导"万物皆数",他们认为宇宙的本质就是数,事物的性质是由某种数量关系决定的,万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序.他们认为:任何两线段的比,都可以用两个整数之比来表示.数只有两种,即整数或者分数.     

例谈数学作文——"采访毕达哥拉斯"

作文题目 :采访毕达哥拉斯设想你是一位电视台的记者 ,通过时空隧道回到遥远的古代 ,去希腊拜访著名学者毕达哥拉斯 .采访中 ,毕达哥拉斯通过电视向全世界解释他的惊人发现———毕达哥拉斯定理的经过 .写一篇报道 ,描述这次非同寻常的采访 .基本要求 :重视毕达哥拉斯定理及证明 .作业形式 :课外作业 ,给学生一周的时间准备和写作 .关于学生“采访毕达哥拉斯”作文的素描同学们的写作热情被这新奇的情景所激发 .他们的头脑里充分发挥着想象 ,手上不断摆弄着模型进行探索 ,……字里行间透视出学生对毕达哥拉斯定理的理解和掌握程度 ,展示出同…