一道数学竞赛题的推广

<正>(2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第9题)设集合S={1,2,3,…,8},A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对(A,B)的个数是 __.可以将这个题目推广为:设集合S={1,2,3,…,n}     

集合“交替和”的探求

在“2005年地方联考题”中有这样一题:对于集合N={1,2,…,n}及它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数,例如集合{1,2,4,6,9}的“交替和”是9-6 4-2 1=6,集合{5}的“交替和”为5,当集合N中的n=2时集     

集合“交替和”的探求

在“2005年地方联考题”中有这样一题：对于集合N={1，2，…，n}及它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{1，2，4，6，9}的“交替和”是9-6＋4-2＋1=6，集合{5}的“交替和”为5，     

新题征展(52)

A 题组新编 1.(1)满足条件{1,2}M{1,2,3,4,5}的集合M共有个;(2)满足条件M∪{a,b,c}={a,b,c,d,e}的集合M共有个;(3)M{1,2,3,4,5},且满足条件若a∈M,则6-a∈M,这样的非空集合M共有个;(4)A∪B {a,b}的集合A、B共有对;(5)A∪B={a,b,c}的集合A、B共有对.     

新题征展(52)

A　题组新编1.(1)满足条件 { 1,2 } M { 1,2 ,3,4 ,5 }的集合 M共有个 ;(2 )满足条件 M∪ { a,b,c} ={ a,b,c,d,e}的集合 M共有个 ;(3) M { 1,2 ,3,4 ,5 } ,且满足条件 :若 a∈ M,则 6 - a∈ M,这样的非空集合 M共有个 ;(4 ) A∪ B ={ a,b}的集合 A、B共有对 ;(5 ) A∪ B ={ a,b,c}的集合 A、B共有对 .2 .(1)若 f (x) =x1 x,则 f(1) f(2 ) f(3) … f(2 0 0 4 ) f(12 ) f(13) f(14 ) … f(12 0 0 4 ) =;(2 )若 f(x) =x21 x2 ,则 f (1) f(2 ) f(3) … f(2 0 0 4 ) f(12 ) f(13) f(14 ) … f(12 0 0 4 ) =;(3)若 f(x…     

四类数列问题的探究

1.（∑a_i ）^m=∑ a_i^r型 例1（2012年全国高中数学联赛A卷第1试第10题）已知数列{a_n}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有（a_1＋a_2＋…＋a_n）=a_1^3＋a_2^3…＋a_n^3.     

￠—半压缩算子和￠—强增殖算子方程的迭代

设E是任意实Banach空间,K是E的非空闭凸子集,T：K→K是一致连续￠-半压缩映像且值域有界。设{an},{bn},{cn},{a'n},{b'n}和{c'n}是[0,1]中的序列且满足条件：Ⅰ）an bn cn=a'n b'n c'n=1,任意n≥0;Ⅱ）limbn=limb'n=limc'n=0;Ⅲ）∑n=0^∞bn=∞;Ⅳ）cn=o(bn).对任意给定的x0,u0,v0∈K,定义Ishikawa迭代{xn}如下：{xn 1=anxn bnTyn cnun,yn=a'nxn b'nTxn c'nvn(任意n≥0),其中{un}和{vn}是K中两个有界序列。则{xn}强收敛于T的唯一不动点。最后研究了￠-强增殖算子方程解的Ishikawa迭代收敛性。     

一道集合计数问题的思考

<正>集合是高中数学的第一课,是高中数学中最简单最基础的知识,那么当集合问题遇上计数问题又会碰撞出怎样的火花呢?题目设整数n≥3,集合P={1,2,3,...,n},A,B是P的非空子集.记a_n为所有满足A中最大数小于B中最小数的集合对(A,B)的个数,(1)求a_3;(2)求a_n.     

谈一类极值问题的解法

本文将利用集合的子集类的思想去解决一类较为复杂的极值问题 .为此我们引入以下的概念和定理 .设Ａ是一个非空有限集 ,集合Ａ的元素个数称为集合Ａ的阶 ,记作｜Ａ｜ .当｜Ａ｜=ｎ ,称Ａ是一个ｎ阶集 .对于一个集合Ａ的一个子集类 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ},若对任何二个子集Ａｉ,Ａｊ(ｉ≠ｊ)都有Ａｉ Ａｊ,Ａｊ Ａｉ,则称这个类是互不包含的子集类 .对这种子集类我们有定理　有一个ｎ(ｎ≥ 1 )阶集合Ａ的一切互不包含的子集类中 ,子集个数最多的类含有Ｃｎ2ｎ个子集 ,其中 ｎ2 表示不超过 ｎ2 的最大整数 .证明　记 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}为Ａ的…     

数学奥林匹克讲与练(Ⅱ)

例题讲解9．设n、k为自然数，k＜n．求作集合A_1，A_2，…，A_n，使其中任意k个集合之交非空，而任意（k＋1）个集会之交为空集，并使并集A中含元素最少．解1）设则对任意的，而对任意的，这时且A中恰含C_n个元素．2）设有n个集合B_1，B_2，…，B_n，其中任k个集合之交非空而任（k＋1）个集合之交为空集．对某个成，B_j，从其余的（n－1）个集合中任取（k－1）个与B_j之交非空，故此交中至少含有一个元素；因为从（n－1）个集合中取（k－1）个集合的方式有C_n种，故此可得B_j的个元素；又因为B_1，…，B_n中任意（k＋1）个集合之交必…     

一道2019年斯坦福大学数学竞赛题的多解及推广

<正>题目已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},A,B均为集合S的子集.试问共有多少个不同的集合对(A,B),使得A是B的真子集?本题难度不大,但讨以从多个角度进行思考,进而推广到更一般的情况.解法1设集合A有k个元素(k=0,1,2,3,4,5,6,7),则集合B的个数为2~(8-k)-1.因此,满足题目条件的集合对(A,B)的个数为:     

第二类Stirling数的一个计算公式及其应用

1 集合的划分与第二类Stirling数 定义1.1 集合S的非空子集Ai(i=1,2,…,m)的集合{A1,A2,…,Am}是S的一个m划分,如果:     

关于命题形式的协调系

本文是学习命題演算过程中的一点体会。设M是任意非空集合,用S表示在字母表 α=MU{∽,→,(,)}中写出的一切非空字的集合,用WF表示S中一切满足以下两个条件的子集W的交: (i)。如果把M中的每个元素看成字,则MW: (ii)。对任意A∈W和B∈W有(∽A)∈W和(A→B)∈W。 集合WF中的字称为合式公式。 定义1.WF的一个真子集L称为一个协调系,如果: (i) 对任意X,Y,Z∈WF,有     

限制性多源点偏心距增广问题

给定一个赋权图$G=（V,E;w,c）$以及图$G$的一个支撑子图$G_{1}=（V,E_{1}）$,这里源点集合$S=\{s_{1},s_{2},\cdots,s_{k}\}\subseteq V$,权重函数$w：E\rightarrow\mathbb{R}^{+}$,费用函数$c：E\setminus E_{1}\rightarrow\mathbb{Z}^{+}$和一个正整数$B$,本文考虑两类限制性多源点偏心距增广问题,具体叙述如下：（1）限制性多源点最小偏心距增广问题是要寻找一个边子集$E_{2}\subseteq E\setminus E_{1}$,满足约束条件$c（E_{2}）$$\leq$$B$,目标是使得子图$G_{1}\cup E_{2}$上源点集$S$中顶点偏心距的最小值达到最小;（2）限制性多源点最大偏心距增广问题是要寻找一个边子集$E_{2}\subseteq E\setminus E_{1}$,满足约束条件$c（E_{2}）$$\leq$$B$,目标是使得子图$G_{1}\cup E_{2}$上源点集$S$中顶点偏心距的最大值达到最小。本文设计了两个固定参数可解的常数近似算法来分别对上述两类问题进行求解。     

限制性多源点偏心距增广问题

给定一个赋权图$G=（V,E;w,c）$以及图$G$的一个支撑子图$G_{1}=（V,E_{1}）$,这里源点集合$S=\{s_{1},s_{2},\cdots,s_{k}\}\subseteq V$,权重函数$w：E\rightarrow\mathbb{R}^{+}$,费用函数$c：E\setminus E_{1}\rightarrow\mathbb{Z}^{+}$和一个正整数$B$,本文考虑两类限制性多源点偏心距增广问题,具体叙述如下：（1）限制性多源点最小偏心距增广问题是要寻找一个边子集$E_{2}\subseteq E\setminus E_{1}$,满足约束条件$c（E_{2}）$$\leq$$B$,目标是使得子图$G_{1}\cup E_{2}$上源点集$S$中顶点偏心距的最小值达到最小;（2）限制性多源点最大偏心距增广问题是要寻找一个边子集$E_{2}\subseteq E\setminus E_{1}$,满足约束条件$c（E_{2}）$$\leq$$B$,目标是使得子图$G_{1}\cup E_{2}$上源点集$S$中顶点偏心距的最大值达到最小。本文设计了两个固定参数可解的常数近似算法来分别对上述两类问题进行求解。     

解集合题时你注意到空集θ的性质了吗?

对于空集合 ,有如下性质 :1) ∈ { } ; { } ;2 )空集是任何集合的子集 ,即 Ａ ;3)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∩ = ;4)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∪ =Ａ .在解题时若忽视这些就会出错 .例 1　设Ａ∩Ｂ = ,Ｍ ={ｍ |ｍ为Ａ的子集 } ,Ｎ ={ｎ|ｎ为Ｂ的子集 } ,那么(　　 )(Ａ)Ｍ∩Ｎ = .(Ｂ)Ｍ∩Ｎ ={ } .(Ｃ)Ｍ∩Ｎ =Ａ∩Ｂ .(Ｄ)Ｍ∩Ｎ Ａ∩Ｂ .错解　因为Ａ∩Ｂ = ,所以集合Ｍ ,Ｎ中不可能有公共元素 ,因而Ｍ∩Ｂ = ,故选 (Ａ) .辨析　由于Ａ ,Ｂ的子集中均有 ,即 Ａ , Ｂ ,但Ａ∩Ｂ = ,所以Ｍ∩Ｎ= { } ,注意 { }不是空集 ,而是含有…     

名校基础知识自测

★高一年级 北京第十二中学(100071)李有毅一、选择题1.卜列四个关系式中正确的是(). (A)g任{a}(B)a星{a} ((、){a}任{a,b}(D)a〔{a,b}2.满足{l}里A里{1,2,3}的集合A的个数为().(A)l(B)2(C)3(D)43.已知尸一{、}二2一3二+2一0},T一{y{yS一定之一一5}.则尸nTUS一().(A)2)(B){1,2}(C){一2,2}(D){1}设全集u一{2,3,5},A={}a一5{,2},CoA一{5},贝日u的值为().(A)2(B)8(C)2或8(D)一2或8已知集合{‘·{一2了.>2了,·>。)一{工}了<一5或二>4},则,丫+n的值为().(A)一8(11)l()(C)8(D)80若集合A一{二i“厂一a二+1<。}一②,则实数“的值的集合…     

极大S2NS阵的分支数与非零元个数

一个实方阵A称为是S^2NS阵,若所有与A有相同符号模式的矩阵均可逆,且它们的逆矩阵的符号模式都相同.若A是S^2NS阵且A中任意一个零元换为任意非零元后所得的矩阵都不是S2NS阵,则称A是极大S^2NS阵.论文证明了当n≥5时,所有n阶极大S^2NS阵的分支个数所成之集合Fn为{1,…,n}／{2},而所有n阶极大S^2NS阵的非零元个数所成之集合S（n）,除去2n＋1到3n-4间的一段外,也得到了完全确定.     

幂函数、指数函数和对数函数

A组 1,选择题(有且只有一个答案正确): 1,设月门B=么M二‘A的子集},N={B的子集},那么(). (A)M门N:二必:(B)MnN“{必}; (C)人了门N二刀门B;(D)M自八厂c=一崖门B. 2,满足关系式{a}二刀c={a,b,e,d}的集合A有(). (A)5个;(B)6个:(C)7个:(D)8个.‘3。若a>6,a笋。,b价0,记不等式①。忽>“’,②普,③2·>Zb,④‘g会>。,⑤a看<必.以上各不等式中,恒成立的是(). (A)0,③:(B)②,④;(C)①,④;(D)③,⑤ 4.设f是从集合A到集合B的一个对应,‘f不是一一映射’是“f不是映射”的(). (A)充要条件;(B)必要但非充分条件:(C)充分但非必要条件;(D)既…     

UNBOUNDED SELF-ADJOINT OPERATOR ΠK SPACE

如果A是Πsubsub空间上的自共轭算子，由文[1]可知存在空间昨一个标准分解 \[{\Pi _k} = N \oplus \{ Z + {Z^*}\} \oplus P\] 在此分解下，A有三角模型\[A = \{ S,{A_N},{A_p},F,G,Q\} \].利用三角模型，我们直接证明了 定理1设A是\[{\Pi _k}\]上的-共轭算子，n是任何自然数，那末\[{A^n}\]也是自共轭算子. 定理2设A是\[{A^n}\]上的自共轭算子，那末对所有的\[{A^n}(n = 1,2,...)\]，存在一个公共 的标准分解，在此分解下 \[\begin{gathered} {A^n} = \{ {S^n},A_N^n,A_P^n,\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} FA_N^{n - 1 - i},\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}GA_P^{n - 1 - i}} , \hfill \ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{S^i}} Q{S^{*n - 1 - i}} - \sum\limits_{i + j + k = n - 2} {{S^i}(FA_N^j{F^*} + GA_P^j{G^*}){S^{*k}}} \} \hfill \\ \end{gathered} \] 定理3 设A是瓜空间上的自共轭算子，\[\sigma (A) \subset [0,\infty ),0 \notin {\sigma _P}(A),\]，那末存在唯 一的自共轭算子A1，满足\[A_1^n = A,\sigma ({A_1}) \subset [0,\infty )\] 其次，我们研究了谱系在临界点附近的性状.记临界点全体为\[C(A)\]).对 \[{\lambda _0} \in C(A)\]记S与入0相应的最高阶根向量的阶数为\[r({\lambda _0})\] 定理4设A是\[{\Pi _k}\]空间上的无界自共轭算子，\[C(A) \cap ({\mu _1},{\nu _1}) = \{ {\lambda _0}\} \],那末以下四 个命题等价： (i）\[\mathop {sup}\limits_{\mu ,\nu } \{ \left\| {{E_{\mu \nu }}} \right\||{\lambda _0} \in (\mu ,\nu ) \subset ({\mu _1},{\nu _1})\} < \infty \] (ii）\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是全有限的测度； （iii）\[s - \lim {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {E_{\mu \nu }}\]存在； （iv)A与\[{\lambda _0}\]相应的根子空间\[{\Phi _{{\lambda _0}}}\]非退化；这里\[{\mu ^{{\text{1}}}}...,{\mu ^{{{\text{k}}_{\text{0}}}}}\]是由\[{A_P}\]与G导出的测度. 定通5 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子，\[{\lambda _0} \in C(A),r({\lambda _0}) = n\]，那么 （i）\[{E_{\mu \nu }}\]在\[{{\lambda _0}}\]处的奇性次数不超过2n， （ii）\[s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{M_1},{\lambda _0} - \varepsilon )} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},s - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{[{\lambda _0} + \varepsilon ,{M_2})} {(t - {\lambda _0}} {)^{2n}}d{E_t},\]存在。这里\[{M_1},{M_2}\]满足\[[{M_1},{M_2}] \cap C(A) = \{ {\lambda _0}\} \] 定理6 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，临界点集\[C(A) = \{ {\lambda _1},...,{\lambda _l},{\lambda _{l + 1}},{\overline \lambda _{l + 1}},...,{\lambda _{l + p}},{\overline \lambda _{l + p}},\]，这里\[\operatorname{Im} {\lambda _v} = 0(1 \leqslant \nu \leqslant l),r({\lambda _\nu }) = {n_\nu }\]那么有 \[{(\lambda - A)^{ - 1}} = \int_{ - \infty }^\infty {K(\lambda ,t)d{E_t}} + \sum\limits_{\nu = 1}^l {\sum\limits_{i = 1}^{2{n_\nu } + 1} {\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \sum\limits_{\nu = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 1}^{{n_\nu }} {[\frac{{{B_{\nu i}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _\nu })}^i}}}} } + \frac{{B_{\nu i}^ + }}{{{{(\lambda - {{\overline \lambda }_v})}^i}}}]\] 这里 \[K(\lambda ,t) = \frac{1}{{\lambda - t}} - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} )\sum\limits_{i = 1}^{2{n_v}} {\frac{{{{(t - {\lambda _v})}^{i - 1}}}}{{{{(\lambda - {\lambda _v})}^i}}}} ,\delta \lambda {\text{ = }}\left\{ \begin{gathered} {\text{1}}{\text{|}}\lambda {\text{| < }}\delta \hfill \ {\text{0}}{\text{|}}\lambda {\text{|}} \geqslant \delta \hfill \\ \end{gathered} \right.\] \[0 < \delta < \mathop {\min }\limits_\begin{subarray}{l} 1 \leqslant \mu ,v \leqslant l \\ {\lambda _\mu } \ne {\lambda _v} \end{subarray} |{\lambda _\mu } - {\lambda _v}|\].对\[1 \leqslant v \leqslant l\]，\[{B_{vi}}\]是\[{\Pi _k}\]上的有界自共轭算子，而当\[l + 1 \leqslant v \leqslant l + p\]时，\[{B_{vi}} = {({\lambda _\mu } - S)^{i - 1}}{P_{\lambda v}}\]是以与\[{{\lambda _v}}\]相应的根子空间为值域的某些平行投影. 定理7 在定理6的条件下，有 \[\begin{gathered} {\text{f}}(A) = \int_{ - \infty }^\infty {[f(t) - \sum\limits_{v = 1}^l {\delta (t - {\lambda _v}} } )\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v} - 1} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} (t - {\lambda _v})d{E_t} \hfill \ {\text{ + }}\sum\limits_{{\text{v = 1}}}^{\text{l}} {\sum\limits_{i = 0}^{2{n_v}} {\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _0})}}{{i!}}} } {B_v} + \sum\limits_{v = l + 1}^{l + p} {\sum\limits_{i = 0}^{{n_v} - 1} {[\frac{{{f^{(i)}}({\lambda _v})}}{{i!}}} } {B_{vi}} + \frac{{{f^{(i)}}({{\overline \lambda }_v})}}{{i!}}B_{vi}^ + ] \hfill \\ \end{gathered} \] 这里\[f(\lambda )\]在\[\sigma (A)\]的一个邻域内解析. 为了建立更一般的算子演算，我们引入两个特殊的代数： \[{\Omega _n} = \{ (f,\{ {a_i}\} _{i = 0}^{2n})|f\]为Borel可测函数，\[\{ {a_i}\} \]为一常数}。对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n},G = (g,\{ {b_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} \alpha F + \beta G = (\alpha f + \beta G,\{ \alpha {a_i} + \beta {b_i}\} ) \hfill \ F \cdot G = (f \cdot g,\{ \sum\limits_{j = 0}^i {{a_j}} {b_{i - j}}\} ),\overline F = (\overline f ,\{ {\overline a _i}\} ) \hfill \\ \end{gathered} \] 显然\[{\Omega _n}\]是一个交换代数，它的子代数\[{\omega _n}\]定义为 \[{\omega _n} = \{ F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}|\]在0点的一个与F有关的邻域中，成立\[{\text{|f(t) - }}\sum\limits_{i = 0}^{2n} {a{t^i}} | \leqslant {M_F}|t{|^{2n + 1}},{M_F}\]与F有关} 定义 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r(0)=n,对\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n}\]，定义 \[\begin{gathered} FA{\text{ = }}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{E_t} + \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} {A^i} \hfill \ DF(A)) = D({A^{2n}}) \cap \{ x \in {\Pi _k}\int_{{\text{ - }}\infty }^\infty {|f(t) - \sum\limits_{i = 0}^{2n} {{a_i}} } {t^i}{|^2}d{\left\| {{E_t}x} \right\|^2} < \infty \hfill \\ \end{gathered} \] 如果f解析，\[F = (f,\{ \frac{{{f^{(i)}}(0)}}{{i!}}\} )\]，那么可得F（A）=f（A）。 定理8 设A是有界自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[G \in {\omega _n}\]，那么 \[\begin{gathered} \overline F (A) = {[F(A)]^ + },(\alpha F + \beta G)(A) = \alpha F(A) + \beta G(A) \hfill \ (FG)(A) = F(A)G(A). \hfill \\ \end{gathered} \] 定理9 设A是\[{\Pi _k}\]上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，\[{F_1} = ({f_1},\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]，\[{F_2} = ({f_2},\{ {a_i}\} ) \in {\omega _n},{f_1},{f_2}\]在\[( - \infty ,\infty )\]连续，在\[\sigma (A)\]上恒等，那么\[{F_1}(A) = {F_2}(A)\]。 定理10 设A是\[{\Pi _k}\]上自共轭算子C（A）={0}，r（0）=n，\[F = (f,\{ {a_i}\} ) \in {\Omega _n}\]f是连续函数，那么\[\sigma (F(A)) = \{ f(t)|t \in \sigma (A)\} \]。 在定理11中，我们建立了F（A）的三角模型并由此证明当\[F = \overline F \]时，\[C(F(A)) = \{ f(t)|t \in C(A)\} \] 定理12 设A施可析\[{\Pi _k}\]空间上的自共轭算子，C（A）={0}，r（0）=n，与0相应的根子空间非退化，T是稠定闭算子，那么\[T \in {\{ A\} ^{'}}\]的充要条件是存在\[F \in {\Omega _n}\]，使T=F（A）。这里\[{\{ A\} ^{'}} = \{ T|\]对满足\[BA \subset AB\]的有界算子B，均有\[BT \subset TB\]}