勾股数探秘

<正>一次回家作业中,需要使用勾股数.做完作业后,我就思考:勾股数有什么规律?它的公式是什么?于是我开始探索勾股数.勾股数,又名毕氏三元数,即能够构成直角三角形三条边的三个正整数.常见的勾股数有:3,4,5;     

由3~2＋4~2＝5~2所思所想

<正>众所周知,"3~2+4~2=5~2"的结果早已被世人所接受,我们再仔细观察一下,他们仅仅是简单的勾股数据吗?不是! 3、4、5还是三个连续的自然数。左边两个连续自然数的平方和等于右边相邻一个数的平方,那么,是否存在左边连续三个数的平方和,等于右边相邻两个数的平方和这种情况呢?     

一组勾股数的再思考

3、4、5是大家非常熟悉的一组勾股数,它满足32 42=52,这个等式的特点是三个数为连续的自然数,且前面两个数的平方和等于第三个数的平方,由此我们思考这样一个问题:在自然数中是否存在2n 1(n=1、2、3、…)个连续自然数,使前面(n 1)个数的平方和等于后n个数的平方和呢?     

有趣的“勾股弦数”

“勾三股四弦五”几乎成为学过数学者的一句口头禅,这三个数都是正整数,并且可视为一个直角三角形的三条边(32 42=52),因此,人们称这类数为“勾股弦数”. 我们知道勾股弦数有很多,例如5,12,13;6,8,10等等,但有心人会发现6,8,10这三个数具有公因数2,提取2后,实质上与3、4、5并无本质的不同. 在没有除1以外的公因数的勾股数a、b、c中,看来似乎a与b,b与c,c与a都是互质的;另外c必是奇数,a与b则必为一奇一偶. 这些规律,是否真的体现了勾股弦数一些特征呢?答案是肯定的.那么如何说明呢? (1)若a,b有公因子t(t≠1),则令a=a1t,b=b1t,其中a1,b1互质.则a12 b12=(a2 b2)/t2=     

勾股三角形的内(傍)切圆半径的性质(待续)

边可以用然数表示的直角三角形叫做勾股三角形。边为x、y、z的勾股三角形记作(x,y,z)。其中x、y是直角边,较短的称为勾,较长的称为股;z是斜边,称为弦。今后亦可将符号(x,y,z)叫做勾股数组。x,y,z分别叫做勾数,股数,弦数。三角形(x,y,z)的边满足方程 x~2 y~2=z~2 (1)相反地,如果自然数x,y、z满足方程(1),那末从几何学中知道,边为x、y、Z的三角形是直角三角形。因此,研究勾股三角形可以归结为研究方程(1)的自然数解。故称方程(1)为勾股方程。 1.存在无数多个勾股三角形。如果把给定的勾股三角形的各边同乘以一个自然数,可得到与已知三角形相似的另一个     

所有形如a2=b+c的勾股数组(a,b,c)

本刊文[1](第17页)给出了勾股数组(3,4,5),(5,12,13)满足的规律:32=4 5,52=12 13.能否求出所有形如a2=b c的勾股数组(a,b,c)呢?这是一个有趣的问题.     

奇妙的勾股世界

<正>勾股定理可以称得上是数学中的一颗璀璨的明珠,被称为"几何学的基石",它为我们揭示了直角三角形的三边之间的关系,数千年来,人们一直对勾股定理保持有极高的热情.我们从最简单最熟悉的勾股数入手,可以发现许多结论,探索出许多的规律.我们最熟悉的勾股数有3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等.通过观察这些勾股数组,我发现这些表示弦的数都可以表示成两个     

勾股数组知多少？

勾股数组知多少？李建章（陕西华阴黄河工程机械集团中学７１４２０２）我们知道，满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２的自然数ａ，ｂ，ｃ称为匈股弦数组．那么，以２１为匈数或股数的勾股弦数组共有多少组呢？本文就给出解决这类问题的一般方法．定理若ｘ２可分解为（其中＝１，２，…...     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

求一类勾股数组的公式

定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2=     

探究一类边长都是特殊整数的倍角三角形问题

我们知道三边长分别是连续正整数3,4,5时,构造的三角形是直角三角形.在连续正整数构造的直角三角形中,三边长分别是3,4,5也是唯一的情况.本文结合2008年一道全国初中数学竞赛试题进行另一方面的探究:如果三个连续正整数构造的三角形中能否满足条件:恰有一个角是另一个角的2倍呢?     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

也谈勾股数组一个性质的证明

贵刊84年4期所刊《勾股数组的一个性质的证明。(以下简称《勾股证明》),双勾股数组的一个性质给出了几个初等证明。这个性质是: 任意一组勾股数,a=m~2+n~2,b=2mn,c=m~2-n~2(这里,m、n一奇一偶,m>n,m、n均为自然数)则60|abc, 在本文中,我们将给出一个更为简便的证明,为此,先证明     

勾股数组的单参数表示

我们都知道,勾股数组{a,b,c}的双参数表示是本文给出勾股数组的单参数表示也是求勾股数的一个具体方法。定理设{a,b,c}是个勾股数组,即     

由勾股定理引发的联想

学完勾股定理后,对"32+42=52"这一结果引发了我的探究兴趣,得到如下结果.1.只有正整数n=4才能使(n-1)2+n2=(n+1)2成立.证明由(n-1)2+n2=(n+1)2化简,得n2-4n=0,于是有n=0或n=4,显然0不是正整数,n=4是唯一的,即3,4,5是唯一的连续正整数勾股数.     

与Euler函数φ(n)有关的非线性方程的正整数解

在Euler函数φ(n)的性质的基础上,利用整数分解的方法证明了对任意的正整数m,n,非线性方程φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c~2(a,b,c为勾股数且gcd(a,b,c)=1)当(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)时无正整数解,并证明了当a,b为任意的一奇一偶,c为任意的奇数,且满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b时,方程无正整数解.     

怎样迅速找出勾股数

早在公元前一世纪前,我国就有一部古书——《周髀算经》。书中说,西周初年商高讲过“勾三股四弦五”,这说明我国很早就知道了勾股定理。勾股定理用式子表示即a~2 b~2=c~2。通常把a、b、c叫做一组勾股数。古希腊数学家刁番都曾以m 2mn~(1/2)、n 2mn~(1/2)、m n 2mn~(1/2)来找勾股数(其中m、n为正整数,2mn是一个完全平方数)。我国清代数学家罗士琳也提出m~2-n~2、2mn、m~2 n~2是一组勾股数(m、n为正整数,且m>n)。我对一些勾股数组观察后,初步归纳出以正整数a(a≥3)来寻找b、c的方法:     

奇数数列与勾股数的制作

J,J,日,日,J,日、︺,!日、J心,J心,J‘,J叮,J‘、J才、J‘,月J、, 由于1 3 5 … (Zn一1)=nZ,故我们可借助此结论制作一些勾股数。 如:勾三股四弦五”: 52==1 3 5 7 9=(1 3 5 7) 3 242 32. 又如13“=(1 3 5 … 23) 25 =12之 52 一般地,对于任一奇数kZ(无>1),可制作如下勾股数:(生誓工)‘二〔‘ 3 5 … “2一2,〕 . 2 ,托 2、、少r 1 kZ一1十K.=I—简记为(k,护一1竺生生~).一而.一,2奇数数列与勾股数的制作@杨浦斌$福建邵武林业中学~~…     

一个等比数列的计数问题的探究

提出问题从1至100的自然数中任意取出3个数构成递增等比数列的取法有多少种?探究问题先考虑两个简单的问题,以期从中找到规律.问题1从1到10的自然数中任意取出3个数构成递增等比数列的取法有多少种?解假设这三个数分别为ax2,axy,ay2(x相似文献   

求勾股弦数的几种方法

在初中《几何》第一册,介绍了著名的勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a~2+b~2=c~2 (1)我国古代就把直角三角形的直角边分别叫做勾和股,斜边叫做弦。我们把满足(1)式的正整数组(a,b,c)称为勾股弦数,即以正整数为边长的直角三角形的三边之长。其中a、b称为勾股数,且勾、股数是可以互