例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

巧拆角 妙求值

解三角题时,通过分析角之间的关系,并适当地把某个角拆开,即用其它角的和或差表示这个角,常常是突破解题瓶颈的重要手段,下面举例说明.例1(1997年高考题)求值:sin7°-cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°.分析:本题中三个角的关系特别明显:7° 8°=15°.显然,若将15°或8°拆开,     

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

从高考到竞赛的三道三角试题谈起

1.求sin~2(20)° cos~2(80)° 3~(1/2)sin(20)°cos(80)°的值.(1992年高考文科题) 2.求cos~2(10)° cos~2(50)°-sin40°sin80°=_____.(1991年全国高中数学竞赛题) 3.求cos~2(73)° cos~2(47)° cos47°cos73°的值.(1987年江苏省少年数学夏令营选拔赛题) 这三道都是求值试题,侧重基础,考察学     

巧解三角求值四例

例1求(sin7° cos15°sin8°)/(cos7°-sin15°sin8°)=______。分析题中有3个角7°、8°和15°,其中7°、8°是非特殊角,为达到求值的目的可写成7°= 15°-8°,起到一个减元的效果,从而实现角的转换求解．     

高中《矩阵与变换》中旋转变换研究性学习报告的设计

《矩阵与变换》是高中课程选修系列4的一个专题.在北京师范大学出版的教材中,对旋转变换只介绍了逆时针旋转90°这一种变换,而在课后习题B组题中却给出了这样一道题:试通过访问、咨询或读书自学等方式了解三角函数及三角变形公式,并完成以下内容:1)利用右图,研究矩阵M=cosθ-sinθsinθcosθ表示什么变换.2)试证明你的结论.3)当θ=30°时,图中的图形变换结果是什么?当θ=75°时呢?4)你能给出表示逆时针旋转60°的矩阵吗?5)你能给出表示顺时针旋转60°的矩阵吗?6)表示顺时针旋转θ的矩阵结构如何?能证明你的结论吗?本人在实际教学过程中感受…     

要重视角的范围的讨论

三角题常常涉及到角的范围问题,稍不留意,就会失误,因此在三角学习中,要重视对角的范围的讨论。一、挖掘隐含条件,明确角的范围有时已知条件没有直接告诉角的范围,需要认真分析已知条件,进行综合推理,得出角的范围。例1 如果θ是第二象限角,且 cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)~(1/2),那么θ/2是第几象限的角? 解∵2kπ π/2<θ<π 2kπ(k∈Z), ∴kπ π/4<θ/2<π/2 kπ。即2nπ π/4<π/2 2 2nπ(n∈Z) 或2nπ 5π/4<θ/2<3π/2 2nπ (1) 又cos(θ/2)-sin(θ/2)=(1-sinθ)(1/2)即cos(θ/2)-sin(θ/2)=|cos(θ/2)-sin(θ/2)|,     

一道三角习题的多种解法

在一次练习中,我遇到了这样一道三角求值习题:求cos210° cos250°-sin40°sin80°的值.经过思考和老师的指点,我得出了这道题的几种解法:解法一由于这道题中没有字母,用计算器就可以     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

稍一变换 解法简便

《中学生数学》2002年第12期(上)刊登的李光裕老师《例谈三角公式的巧用》一文,读后有所受益、有所启发.但该文第一部分例1的解法如果能将θ 15°作为一个整体去考虑来解决此题的话,不仅能体现三角公式的转化功能,而且方法更加简便,并且也不需要计算或记住75°和15°的三角函数值.更省去了后面的计算.解法如下: 例化简sin(θ 75°) cos(θ 45°)-3~(1/3)cos(θ 15°).     

一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

赏析sin18°的八种求法

<正>一题多解能够很好地体现数学学习过程中的自主探究,有利于培养数学思维的广阔性、灵活性和敏捷性.下面给出sin18°值的八种求法,与读者共赏.方法1(利用倍角公式)因为sin36°=cos54°,即sin(2×18°)=cos(3×18°),所以2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°,因为cos18°≠0,所以2sin18°=4cos218°-3,故4sin218°+2sin18°-1=0,     

一类三角函数式求值问题的解法与判别

先看一例例一,求sin78°sin66°sind2°sin6°的值, 解设A=sin78°sin66°sin42°sin6°, B=cos78°cos66°cos42°cos6°则A·B=(1/16)sin156°sin132°sin84°six12° =(1/16)cos66°cos42°cos6°cos78°即A·B=1/16B,     

利用二直线重合的条件解三角题

二直线重合的条件在解几中已有广泛的应用,下面举几个三角方面的例子: 例1 消去θ acosθ+bsinθ=c, acos3θ+bsin3θ=c. 解:设直线ax+by-c=0 ①显然,点(cosθ,sinθ)、(coc3θ,sin3θ)在此直线上,又过这二点的直线方程可写成 (y-sinθ)/(x-cosθ)=(sinθ-sin3θ)/(cosθ-cos3θ),即cos2θ·x+sin2θ·y-cosθ=0 ②由于①、②为同一直线故可得a/cos2θ=b/sin2θ=c/cosθ,∴a~2/cos~22θ=b~/sin~22θ=c~2/cos~2θ,∴(a~2+b~2-2c~2)~2=a~2(a~2+b~2).     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

提高学生解题能力与运算能力的一些做法

最近我校担任高三数學的教师全面地检查了同学們对基本概念和基本运算掌握的情况,通过測驗发現有些学生对概念很模糊,对运算也很不熟练。 (1)概念模糊的例子: ① ((ag8)~2)~(1/2)=a-8; ②如果a~n=b~n,则必有a=b; ③ lgx~2=lgx~2; ④ i 3~(1/2)的共軛复数为i-3~(1/2); ⑤ lg(A B)=lgA lgB; ⑥如果有3x-1/2x-2>1,則有3x-1>2x-2成立; ⑦不等式組的解为:1相似文献   

a2+ab+b2的变换技巧及其应用

二元二次式a2 ab b2结构整齐,轮换对称,在数学问题中颇为多见.从不同的角度对它进行思考、联想、变换,不仅能获得较好的解题思路和方法,而且对拓宽解题视野,提高解题能力大有好处.现就一些典型范例进行分析和说明.变换　a2 ab b2=a3-b3a-b(a≠b).例1　求sin220° cos250° sin20°cos50°的值.(1991年全国高考理科第22题)一般解法摆脱不了积化和差、和差化积的繁琐运算.应用上述变换式结合三倍角公式,使过程新颖简洁.解　原式=sin320°-cos350°sin20°-cos50°=(3sin20°-sin60°)-(3cos50° cos150°)4(sin20°-cos50°)=3(sin20°-cos50…     

一个三角不定方程的机器解法

研究了如下具有几何意义的三角不定方程(采用角度制)sin(x°) sin(y°)sin(z°)/sin(A°-x°)sin(B°-y°)sin(C°-z°)=1,其中A,B,C是给定的正整数,满足2 ≤ A≤B≤C且A+B+C=180; 1≤x≤A-1,1 ≤y≤B-1,1≤z≤C-1.设计了两种求解方案,使用计算机按...     

用复数求sin18°的值

求sin18°的值,多采用三角方法戏几何方法,这里介绍一种新的方法一一复数方法。设复数z=cos72° isin72°,则有z~5=cos(5×72°) isin(5×72°)=1,因此z~5-1=0。分解因式(z-1)(z~4 z~3 z~2 z 1)=0。因为z≠1,故得z~4 z~3 z~2 z 1=0 又z~2≠0,用z~2除方程两端得 z~2 z 1 1/z 1/z~2=0 令z 1/z=y,则z~2 1/z~2=(z 1/z)~2-2=y~2-2