一类二元无理式的积分

形如 ∫ a′x +b′( a1x2 +b1x +c1) ax2 +bx +cdx ( 1 )的二次无理式的积分 ,是一类最常见的积分。对此类积分 ,通常的方法是应用分式线性代换 x =α +βt1 +t消去分母中的一次项再应用三角代换 ,或使用欧拉代换。但无论使用何种代换 ,计算量都很大 ,而且往往要经过非常复杂的变换。因此 ,使用上述方法来计算 ( 1 )式 ,在一般情况下是不可取的。如果 a1x2 +b1x +c1的判别式Δ =b21-4a1c1>0 ,则可将 ( 1 )式分解为∫ dx( x -α) ax2 +bx +cdx及∫ dxax2 +bx +c型的积分。但如果 Δ<0 ,则没有相应的分解方法 ,我们称这种类型的积分为不可约的…     

含两参数的平均值代换法的应用

含一参数的平均值代换法是 ,若数学题中含有x + y =2a的条件 ,则令x =a +t,y =a -t(t为参数 ) .除此以外 ,还有含两参数的平均值代换法 ,即若数学题中含有x + y +z =3a的条件 ,则令x =a +t1,y =a +t2 ,z =a - (t1+t2 ) (t1,t2 为参数 ) .此法也可以推广到更多个参数的情形 .下面只举例说明含两参数的平均值代换法的应用 .1　求值例 1　已知 xa + yb + zc =1,ax + by + cz =0 ,求 x2a2 + y2b2 + z2c2 的值 .解　因 ax + by + cz =0 ,故可令 ax =t1,by =t2 ,cz =- (t1+t2 ) ,则有1t1+ 1t2- 1t1+t2=1.将上式两边平方 ,得1t21+ 1t22+ 1(t1+t2 ) …     

一道反常积分题的多种解法

分别运用有理函数积分法、倒代换以及三角代换三种方法,计算反常积分∫0+∞1/(1+x)(1+x2.)dx     

三次曲线切线的一个结论

结论 若直线与三次曲线相切,则切点唯一. 证明 假设f(x) =ax3 +bx2 +cx+d(a≠0),直线l与三次曲线y＝f(x)有两个不同的切点T1(t1,f(t1))、T2 (t2,f(t2)),t1≠t2.则l的方程为: y-f(t1)=f'(t1)(x-t1)或 y-f(t2)=f'(t2)(x-t2), 即y=(3at21+2bt1+c)x+(-2at31-bt21+d)或y＝(3at21+2bt2 +c)x+(-2at32-bt22+d).     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

三维可压核废料污染问题的交替方向特征有限元格式的敛速分析

1　引　　言三维可压核废料污染问题的数学模型为[1 ] :(a)　φ1 p t+ .u =-q +R′s(c)(b)　φ c t+u . c- .(Ec c) =g(c)(c)　φKi ci t+u . ci - .(Ec ci) +d3(ci) p t=fi(c,c1 ,c2 ,… ,c Nc) ,(i =1 ,… ,Nc)(d)　 d2 T t+cpu . T - .(EH T) +d1 (p) p t=Q(u,T,c,p) (1 .1 )其中 :u=-a(c) p=-k(x)μ(c) p.(x,t)∈Ω×J,Ω=I×I×I,I=(0 ,1 ) ,J=(0 ,T] .假设问题 (1 .1 )满足周期边界条件 ,p(x,t) .c(x,t) .ci(x,t) .T(x,t)的初始条件分别取为 p0 (x) ,c0 (x) ,c0i(x) ,T0 (x) ,(i=1 ,… ,Nc) .假设 (1 .1 )的系数可关…     

求解大规模带二次简单约束的二次规划的显式自调比投影收缩算法

1　引　　言我们来考虑如下的带二次简单约束的二次规划问题12 x TH x +c Tx =mins.t.,‖ x‖ 2 ≤ a (1)其中 H∈ Rn× n是一个半正定对称矩阵 ,c∈ Rn,这里 a是一个确定的参数 .求解问题 (1)的最基本的方法是构造 L agrange函数 :L (x,λ) =x TH x +2 c Tx +λ(x Tx - a2 ) (2 )当约束起作用时 ,由 x L (x,λ) =0 ,　　 λL (x,λ) =0 ,得H x +c+λx =0‖ x‖ =a (3)即(H +λI) x +c =0‖ x‖ =a从而有‖ (H +λI) - 1 c‖ =a令φ(λ) =‖ (H +λI) - 1 c‖ ,　　 S(λ) =(H +λI) - 1 c则φ2 (λ) =STS =c T(H +λI) - 2 c=…     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

用代换法求函数值域

代换法是一重要的数学方法,在中学数学乃至高等数学的学习中都有着广泛的应用。运用它常常可使问题化繁为简,化难为易。本文仅就利用代换法求函数值域加以说明。例1 求函数的值域, 解∵,故设(x-1)~(1/2)=t(t≥0)则 x=t~2+1 从而 y=-t~2+t-1(t≥0) ∵例2 求函数的值域。