基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理

我们都知道证明微积分基本公式 (牛顿—莱布尼兹公式 )和证明积分中值定理的通常的方法 ,也就是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式 ,然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式 ,以及利用定积分的性质 (即估值定理 )和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理 ,其中积分中值定理的中间点 ξ的范围是 a≤ ξ≤ b[1] .本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式 ,并直接揭示微分学和积分学的密切联系 ;进一步 ,根据微分中值定理和原函数存在定理简洁地证明积分中值定理 ,并阐明它的中间点 ξ的范围是 a…     

积分中值定理的改进

目前高等数学教材所普遍采用的积分中值定理的证明方法,只能将积分中值点的范围限定在闭区间上．但利用拉格朗日中值定理证明积分中值定理,可以将积分中值点的范围缩小到开区间内．通过实例可以说明。改进后的积分中值定理能够解决一些用原来的积分中值定理无法解决的问题．     

无穷区间上的中值定理

本文将微积分学中的几个中值定理(Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、积分中值定理和推广积分中值定理)全部扩展到无穷区间上去,得到若干个无穷区间上的中值定理,其中值点均在无穷开区间内存在,从而使微积分学的中值定理理论更完善、应用更广泛。     

积分中值定理的改进

本改进了(第一)积分中值定理的结论，证明了定理中的中间值ζ属于开区间(α，b)．在将定理条件适当加强后，(第一)积分中值定理可由微分中值定理证得，揭示了它们之间的内在联系。     

关于积分中值定理的注记

在学习积分中值定理这一节时 ,常有学生把它与微分中值定理进行比较 ,提出为什么微分中值定理中的“中值”ξ∈ ( a,b) (开区间 ) ,而积分中值定理中的“中值”ξ∈ [a,b](闭区间 ) ?能不能把积分中值定理中的闭区间改为开区间 ?以及ξ是否唯一等。本文就以上问题 ,以及微分中值定理与积分(第一 )中值定理的关系 ,积分中值定理的应用等进行讨论。为简单起见 ,我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。[积分第一中值定理 ] 若函数 f ( x)为 [a,b]上的连续函数 ,则存在ξ∈ [a,b],使∫baf ( x) dx =f (ξ) ( b -a)　　现行通用的教科书 (…     

关于积分中值定理

引言设f(t)是区间[a,x]上的连续函数,由积分中值定理,成立■关于中值点ξ当x→a时的渐近性,Jacobson[1]建立了如下有趣的定理设f(t)在a处可导且f'(a)■0,则(1.1)中的ξ当x→a有下式成立■此外,文[2]对推广的积分中值定理的中值点建立了类似于(1.2)的结果,本文的目的是要建立在,f'(a)=0时的某些结果。     

基于改进的两类积分中值定理的一题多解

综述了第一和第二积分中值定理的中值点在区间内部取得的改进定理,得到了一个简单的改进的积分第二中值定理.利用改进的第一和第二积分中值定理,对文献[1]中的一个典型题目给出了一题多解.     

关于中值定理“中间点”的渐近性

<正> 中值定理在数学分析中的重要意义是众所周知的.无论微分中值定理(包括泰勒定理)或积分中值定理,实际上都是适合特定等式的某区间内的“中间点”的存在定理.中值定理虽能肯定“中间点”的存在性,但却没有给出确定“中间点”位置的方法,诚然,这种不确定性并不影响中值定理有着多方面的应用.     

一类中值问题的另证

通过考察微分中值定理中的中值点的性质,利用积分中值定理,得到一类有关定积分的中值问题的一种新证明．     

Rn中积分中值点取值范围的改进

将Rn中积分中值定理的中值点取值范围,由积分区域D上缩小到D的内部DaD上取到.     

Rn中积分中值点取值范围的改进

将 Rn中积分中值定理的中值点取值范围 ,由积分区域 D上缩小到 D的内部 D D上取到 .     

积分中值定理的推广及其应用

积分中值定理是积分的重要性质.一般的《数学分析》和《高等数学》教材中,积分中值定理结论中的"中值"属于闭区间而不是开区间,这限制了该定理的使用范围.本文在较弱的条件下,给出积分中值定理的推广和改进形式及其应用实例.     

一种积分的极限计算方法的讨论

针对用积分中值定理计算积分的极限中存在的问题进行讨论,结合实例指出常见的一种计算错误,说明在利用积分中值定理计算积分的极限时,必须注意中值点的不确定性,仔细分析,严谨推证．同时针对有关例题计算中的广义积分,介绍一个推广的积分中值定理．     

积分中值定理的渐进性推广

基于积分中值定理和推广的积分中值定理。通过构造辅助函数．借助罗必达法则。可以得出当区间长度趋于0时推广的积分第一中值定理中值点的渐近性描述．渐近性质的可导性条件可减弱为极限存在性条件，其参数要求也可由非零自然数推广到实数．     

改进的定积分中值定理在解题中的应用

传统的定积分中值定理对“车”的范围限定在闭区间上，事实上，“ξ”的取值范围可改进为限定在开区间内．利用改进的定积分中值定理．可使某些极限题目的求解更简便，快捷；对某些证明题目能得到更强的结论．而同样的题目．借用传统的定积分中值定理未必能够完成求解或论证．     

关于积分第二中值定理改进的一个注记

对于积分第二中值定理的一种形式进行了进一步的讨论,从两个角度对于积分第二中值定理的结论进行了改进,给出了定理结论中的"中值点ξ"所属区间能强化为开区间的充要条件.     

积分第二中值定理的中值点的近似计算

研究了积分第二中值定理的中值点的近似计算,利用连续函数的零点定理,设计了一个求积分第二中值定理的近似中值点的非线性优化方法,为抽象的积分第二中值定理的可视化问题提供了一种实现方案和算法.最后给出了两个实例的Matlab图示.     

积分型中值定理的推广及统一表示

通过减弱连续的条件,推广了一类积分型中值定理,在适当的条件下,用一个式子将Lagrange中值定理、Cauchy微分中值定理、积分型Cauchy中值定理、积分中值定理、积分第一中值定理、Lagrange型积分中值定理、Cauchy型积分中值定理及推广的积分第一中值定理这8个中值定理统一起来.     

关于微、积分中值定理的注记

<正> 微分中值定理和积分中值定理在微积分学中处于非常重要的地位,但是我们无法判断定理中ξ点的位置,这是它们的缺陷,本文在一定的条件下证明了当区间(a,6)充分小时,ζ点应偏于a点,至少应落在(a,b)的中点。     

关于积分中值定理的一个结论(英文)

文 [1 ],[2 ]研究了当积分区间长度趋于零时 ,积分中值定理中间点的渐近性质 ,本文研究当积分区间长度趋于无穷时 ,积分中值定理中间点的渐近性质 .