平面图的(3,1)~*-可选择性

若对图G的任何一个满足|L(v)|=k的列表配置L,存在G的一个L-染色c使G的每个顶点v至多有d个邻点和v染相同的颜色,则称图G是(k,d)~*-可选的.本文证明了:(1)若G是i-圈和j-圈(i,j∈{3,4})不相交的平面图,则G是(3,1)~*-可选的.(2)不含6圈和相交3-圈的平面图是(3,1)~*-可选的.     

不含3,4,8-圈的平面图的2-距离染色（英文）

图G的k-2-距离染色是指映射c:V(G)→{1,2,…,k},使得对G中满足0d_G(u,v)≤2的点对u,v,有c(u)≠c(v).称χ_2(G)=min{k|G有一个k-2-距离染色}为G的2-距离色数.本文证明了不含3,4,8-圈,且△≥14的平面图是(△+5)-2-距离可染的.     

平面图3色可染的一个充分条件

Steinberg猜想既没有4-圈又没有5-圈的平面图是3色可染的. Xu, Borodin等人各自独立地证明了既没有相邻三角形又没有5-和7-圈的平面图是3 色可染的. 作为这一结果的推论, 没有4-, 5-和7-圈的平面图是3色可染的. 本文证明一个比此推论更接近Steinberg猜想的结果, 设G是一个既没有4-圈又没有5-圈的平面图, 若对每一个k∈{3, 6, 7}, G都不含(k, 7)-弦, 则G是3色可染的, 这里的(k, 7)-弦是指长度为7+k-2的圈的一条弦, 它的两个端点将圈分成两条路, 一条路的长度为6, 另一条路的长度为k-1.     

最大度为4的图的无圈列表边染色

对于图G=(V(G),E(G)),如果一个映射φ:E(G)→{1,2,…,k},使得G中任意相邻的两边e₁,e₂满足φ(e₁)≠φ(e₂),并且G中不含有双色圈,则称φ为G的一个无圈边染色.对于给定的列表分配L={L(e)|e∈E(G)},如果存在图G的一个无圈边染色φ,使得对于任意边e∈E(G),均有φ(e)∈L(e),则称染色φ为G的一个无圈L-边染色.如果对于任意的列表分配L,当对所有的边e∈E(G)满足|L(e)|≥k时,图G均存在无圈L-边染色,那么称G是无圈k-边可选的.使图G无圈k-边可选的最小的正整数k,称为G的无圈列表边色数,用a’_l(G)表示.本文证明了对于最大度△≤4的连通图G,如果|E(G)|≤2|V(G)|-1,则a’_l(G)≤6,扩展了Basavaraju和Chandran文[J.Graph Theory,2009,61(3):192-209]的结果.     

一个关于平面图的K-(2,1)-全可选性的结果

设图$G$的一个列表分配为映射$L: V(G)\bigcup E(G)\rightarrow2^{N}$. 如果存在函数$c$使得对任意$x\in V(G)\cup E(G)$有$c(x)\in L(x)$满足当$uv\in E(G)$时, $|c(u)-c(v)|\geq1$, 当边$e_{1}$和$e_{2}$相邻时, $|c(e_{1})-c(e_{2})|\geq1$, 当点$v$和边$e$相关联时, $|c(v)-c(e)|\geq 2$, 则称图$G$为$L$-$(p,1)$-全可标号的. 如果对于任意一个满足$|L(x)|=k,x\in V(G)\cup E(G)$的列表分配$L$来说, $G$都是$L$-$(2,1)$-全可标号的, 则称$G$是 $k$-(2,1)-全可选的. 我们称使得$G$为$k$-$(2,1)$-全可选的最小的$k$为$G$的$(2,1)$-全选择数, 记作$C_{2,1}^{T}(G)$. 本文, 我们证明了若$G$是一个$\Delta(G)\geq 11$的平面图, 则$C_{2,1}^{T}(G)\leq\Delta+4$.     

围长不小于6且最大度至少为8的平面图的无圈列表边染色

对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染三种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色φ,如果对任意e∈E(G)都有ф(e)∈L(e),则称ф为无圈L-边染色.用a′_(list)(G)表示图G的无圈列表边色数.证明若图G是一个平面图,且它的最大度△≥8,围长g(G)≥6,则a′_(list)(G)=△.     

Halin图的邻和可区别边染色与边权点染色

记[k]={1,2,…,k),称为颜色集.设φ:E(G)→[k]为图G的边集合到[k]的映射,令f(v)表示与顶点v关联的边的颜色的加和.如果对任意一条边uv∈E(G),都有φ(u)≠φ(v),f(u)≠f(v),则称φ为图G的邻和可区别[k]-边染色,k的最小值称为图G的邻和可区别边色数,记为ndi_Σ(G).若对任意一条边uv∈E(G),都有f(u)≠f(v),则称φ为图G的k-边权点染色,称图G是k-边权可染的.运用组合零点定理证明了对于最大度不等于4的Halin图有:ndi_∑(G)≤Δ(G)+2,并证明了任一Halin图是4-边权可染的.     

不含4-圈平面图的2-距离染色

图G的2-距离染色是指映射φ:V(G)→{1,2,…,k},使得距离不超过2的顶点染不同的颜色,即若0d_G(u,v)≤2,则φ(u)≠φ(v).图G的2-距离色数是使G有一个k-2-距离染色的最小正整数k,记为χ_2(G).本文证明了不含4-圈且△(G)≥10的平面图G是(△(G)+10)-2-距离可染的.     

不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的

设d_1,d_2,...d_k为尼个非负整数.若图G的顶点集V可划分成k个子集合V_1,V_2…,V_k,使得对于任意的i∈{1,2,...,k},由V_i导出的子图G[V_i]的最大度至多为d_i,则称图G是(d_1,d_2,...,d_k)-可染的.1976年,Steinberg猜想:不含4-圈和5-圈的平面图是(0,0,0)-可染的.在Steinberg猜想的驱动下,人们证明了以下三个结论:(1)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是列表(1,1,1)-可染的;(2)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是(1,1,0)-可染的;(3)对每一个i∈{5,6,7,8},不含4-圈和i-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.为使结论(3)更加完整,本文证明不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.     

最大度为5的图的列表全可染色问题

对于一个给定的最大度为5的平面图G,(1)图G是9-列表全可染的;(2)若图G中不含5-圈,则G是8-列表全可染色的;(3)若图G不含5-圈,并且最大度点最多邻接两个3-面,则图G为7-列表全可染色的;(4)若图G中不含C4,C5,C7,C8,则图G是6-列表全可染色的;(5)若图G的最大的平均度mad(G)＜20/7,则图G是6-列表全可染色的.     

可平面图的r-hued染色(英文)

令k0,r0是两个整数.图G的一个r-hued染色是一个正常k-染色?使得每个度为d(v)的顶点v相邻至少min{d(v),r}个不同的颜色.图G的r-hued色数是使得G存在r-hued染色的最小整数k,记为χ_r(G).文章证明了,若G为不含i-圈,4≤i≤9,的可平面图,则χ_r(G)≤r+5.这一结果意味着对于无4-9圈的可平面图,r-hued染色猜想成立.     

围长至少为5的平面图的injective-染色

图G的injective k-染色是指映射c:V(G)→{1,2,…,k},使有公共邻点的两个顶点u,v满足c(u)≠c(v),用X_i(G)表示使G有一个injective k-染色的最小正整数k.对g(G)≥5的平面图G,若△(G)≥20,证明了X_i(G)≤△+3.     

无K_4-图子式的图的邻和可区别边染色

给定图G的一个正常k-边染色φ:E(G)→{1,2,…,k},记f(v)是与点v相关联的边的颜色的加和.若对G的每条边uv都有f(u)≠f(v),则称φ是图G的k-邻和可区别边染色.图G存在k-邻和可区别边染色的k的最小值称为图G的邻和可区别边色数,记作χ'_Σ(G).运用组合零点定理研究了△≥6的无K_(4-)图子式的图的邻和可区别边色数,证得若G不含相邻最大度点,则χ'_Σ(G)=△,否则χ'_Σ(G)=△+1.     

最大度为7 且不含带弦5- 圈的平面图是8- 全可染的

若能用k种颜色给图的顶点和边同时进行染色使得相邻或相关联的元素(顶点或边) 染不同的色, 则称这个图是k- 全可染的. 显然, 给最大度为Δ的图进行全染色, 至少要用Δ + 1 种不同的色.本文证明最大度为7 且不含带弦5- 圈的平面图是8- 全可染的. 这一结果进一步拓广了(Δ+1)- 全可染图类.     

外平面图的弱边面染色

假设G是一个平面图.如果e1和e2是G中两条相邻边且在关联的面的边界上连续出现,那么称e1和e2面相邻.图G的一个弱边面κ-染色是指存在映射π:E∪F→{1,…,κ},使得任意两个相邻面、两条面相邻的边以及两个相关联的边和面都染不同的颜色.若图G有一个弱边面κ-染色,则称G是弱边面κ-可染的.平面图G的弱边面色数是指G是弱边面κ-可染的正整数κ的最小值,记为χef(G).2016年,Fabrici等人猜想:每个无环且无割边的连通平面图是弱边面5-可染的.本文证明了外平面图满足此猜想,即:外平面图是弱边面5-可染的.     

不含4-,6-圈和相交三角形的平面图的无圈边色数

图G的一个边染色φ:E(G)→{1,2,…,k},若满足任意相邻边都染不同的颜色,且图G不存在双色圈,则称φ为图G的一个无圈k-边染色.图G的无圈边色数χ’_α(G)为使得图G有一个无圈k-边染色的最小正整数k.本文主要证明了对于无4-,6-圈且3-圈与3-圈不相交的平面图G,若Δ(G)≥9,则χ’_α(G)≤Δ(G)+1.     

哈林图的弱点边染色

假设e1和e2是两条相邻边,若它们关联同一个面且在该面的边界上连续出现,则称e1和e2是面相邻的.平面图G是弱点边k-可染的是指存在映射π:V (G)∪E(G)→{1,···, k},使得任意两个相邻的顶点,任意两条面相邻的边,以及任意两个相关联的顶点和边都染不同的颜色.文中利用数学归纳法证明了:哈林图(Halin graph)是弱点边5-可染的,并给出可达到上界5的例子.     

稀疏平面图的2-距离染色（英文）

图G的k-2-距离染色是指一个映射φ:V(G)→{1,2,…,k},满足对任意距离小于等于2的顶点对u,v,有φ(u)≠φ(v).2-距离色数χ_2(G)是指使得图G是k-2-距离染色的最小的k.本文证明:对于g(G)≥5且△(G)≥44的平面图G,有χ_2(G)≤△(G)+4.     

哈林图的弱边面染色

设G=(V,E,F)是一个无环的连通平面图,其中V表示点集,E表示边集,F表示面集.对于任意的两条相邻边e_1和e2,如果它们关联同一个面且在该面的边界上连续出现,那么称e_1和e2是面相邻的.图G是弱边面k-可染的是指存在一个映射π:EUF→{1,2,…,k},使得任意两个相关联的边和面,任意两个相邻的面,以及任意两条面相邻的边都染不同的颜色.平面图G的弱边面染色数是指G是弱边面k-可染的数k的最小值,用_(ef)(G)表示.2016年,Fabrici等人猜想:每个无环且无割边的连通平面图是弱边面5-可染的.本文我们给出此猜想的一个充分条件,即证明:哈林图是弱边面5-可染的,其中上界5是最好可能的.     

完全多部图K_(1*r,3*(k-2))的m数

如果对一个图G的每个顶点v,任给一个k-列表L(v),使得G要么没有正常列表染色,要么至少有两种正常列表染色,则称图G具有M(k)性质.定义图G的m数为使得图G具有M(k)性质的最小整数k,记为m(G).已有研究表明,当k=3,4时,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当r≥2时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.本文将上述结论推广到每一个k,证明了对任意r∈N~+,k≥3,图K_(1*r,3*(k-2))具有M(k)性质,且当k≥4,r≥(k-2)时,m(K_(1*r,3*(k-2)))=k.此外,得到图K_(1,3,3,3)的m数为4,该图是图K_(1*r,3*(k-2))中r=1,k=5时的特殊情况,同时也是现有研究中尚未解决的一个问题.