一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）９２６在△ＡＢＣ中，试证：证明如图，设面△ＡＢＣ的内切圆分别切ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＡＦ＝ｘ，ＢＤ＝ｙ，ＣＥ＝ｚ，△ＡＢＣ内切圆半径为ｒ．由海伦公式，易得可得ｘ＋ｙ＋ｚ将（２）代入...     

三角形的伴内心及其性质

设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝…     

shc32的解决

ｓｈｃ３２的解决吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ；ｗａ，ｗｂ，ｗｃ分别是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的内角平分线；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别是相应边上的中线；Ｒ和ｒ分别是△ＡＢＣ的外接圆和内切圆半径．刘健在文［１］中...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２６设Ｐ为△ＡＢＣ内一点，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ的延长线交面△ＡＢＣ的三边于Ｄ，Ｅ，Ｆ．若Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ，则Ｐ为△ＡＢＣ的重心证明不妨设Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ＝...     

一个几何不等式的加强

一个几何不等式的加强周才凯（湖南省炎陵县一中４１２５００）文［１］给出了如下不等式：设△ＡＢＣ的三条边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，的平分线长分别为ｔａ，ｔｂ，ｔｃ．若其外接圆半径和内切圆半径分别为Ｒ，ｒ，则在△ＡＢＣ中，如我们用ｍａ，ｍｂ，ｍｃ分别表示边Ｂ...     

勾股定理的又一简短证明

文〔１〕、〔２〕分别给出了勾股定理的两个简短证明,下面再给出一个简短证明：如图,Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,设其内切圆半径为ｒ,则２ｒ＝（ＢＣ－ＢＤ）＋（ＡＣ－ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－（ＢＤ＋ＡＦ）＝ＢＣ＋ＡＣ－ＡＢ∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｒ·ａ＋１２ｒ...     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

三角形目标检测题(B卷)

一、填空（１～５小题各３分,６～８小题各４分,９、１０小题各５分,共３７分）１．三角形的内角和是,一个外角等于的两个内角的和．２．等腰三角形的周长是４０ｃｍ,腰是底的２倍,则底边长ｃｍ．３．△ＡＢＣ的三个内角满足∠Ｃ＝∠Ａ－∠Ｂ,则△ＡＢＣ是三角形．４．如图Ａ－１４,∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝．图Ａ－１４图Ａ－１５５．如图Ａ－１５,ＡＤ是等腰Ｒｔ△ＡＢＣ的角平分线,ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ．若ＣＤ＝５ｃｍ,则ＢＥ＝ｃｍ．６．等腰三角形的底角等于１５°,腰的长２０ｃｍ,则腰上的高是ｃｍ．７．等边三…     

半内切圆及其性质

半内切圆及其性质２２２２００江苏省灌云县中学李平龙．与三角形的外接国相内切，又与三角形两边相切的圆，称为三角形的半内切国．这种圆有一系列有趣的性质．性质１与△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ相切的的内切圆半径．证明如图豆，设面ＡＢＣ的外心为Ｏ，外接国半径为Ｒ；半...     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

关于伪垂心的极值特征

关于伪垂心的极值特征夏中全（重庆市武隆县中学校４０８５００）设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′．则由Ｃａｖｅ定理易知，三直线ＡＤ′，ＢＥ′，...     

双曲线的直径三角形的一个性质

文［１］给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质：命题设△ＡＢＣ内接于椭圆Γ,且ＡＢ为Γ的直径,ｌ为ＡＢ的共轭直径所在的直线,ｌ分别交直线ＡＣ、ＢＣ于Ｅ和Ｆ,又Ｄ为ｌ上一点,则ＣＤ与Γ相切的充要条件是Ｄ为ＥＦ的中点．本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类...     

三角形某些“伴心“的性质

引理 设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上一点,且直线ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交直线ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于点Ｄ、Ｅ、Ｆ,Ｄ′、Ｅ′、Ｆ′分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ关于各自所在边的中点的对称点,则 ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′必交于一点Ｑ． 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,应用Ｃｅｖａ定理及其逆定理,即可证明． 这样,Ｐ和Ｑ就成为△ＡＢＣ的一对“伴心”．比如,若Ｐ为内心Ｉ,则Ｑ就是伴内心Ｉ′;若Ｐ是△ＡＢＣ的垂心Ｈ,则Ｑ就是伴垂心Ｈ′等等．若将Ｐ叫做“本心”,Ｑ就叫做伴心,相应的△ＤＥＦ叫本心三角形,△Ｄ′Ｅ′Ｆ′则叫做伴…     

不等式研究成果集锦(9)

１０１．在△ＡＢＣ与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇中,有其中ａ、ｂ、ｃ与Ｒ分别为△ＡＢＣ三边长及外接圆半径,等号当且仅当两三角形均为正三角形时取得． （宋庆．１９９９,３） １０２．设△ＡＢＣ的中线是 ｍａ、ｍｂ、ｍｃ,外接圆与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ,则当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时取等号． 注：这是杨学枝同志对《数学通讯》１９９９年第１期“问题征解栏”中 １６０［１９９６,６］猜想题作出的解答． （杨学枝．１９９９,３） １０３．在△ＡＢＣ中,三边长为ａ、ｂ、ｃ,半周长为ｓ,其对应边上的高线、中线、角平分线分别为ｈａ…     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

初二几何第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题:(每小题3分,共24分)1.在△ＡＢＣ中,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ=1∶2∶3,那么△ＡＢＣ是三角形.2.如果等腰三角形的腰长为10ｃｍ,那么底边长的取值范围是.3.Ｒｔ△ＡＢＣ的两锐角的平分线交成的角是.4.“对顶角相等”的逆命题是.5.在一个钝角三角形中,已知一个锐角等于30°,则另一个锐角ｘ的取值范围是.6.在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中,ＡＢ=ＤＥ,∠Ａ=∠Ｄ,欲使△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ,则根据边角边公理还需;根据角边角公理还需;根据角角边公理还需.7.如果等腰三角形两边长分别是8ｃｍ和13ｃｍ,那么它的周长为.8.在△ＡＢＣ中,∠Ｂ=70°,ＡＤ是…