位似变换与三角形的“三心共线”

位似变换与三角形的“三心共线”续铁权（青岛教育学院２６６０７１）设有△ＡＢＣ．对于平面上任意一点Ｐ，记△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢ的有向面积为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，若μ１∶μ２∶μ３＝Ｓ１∶Ｓ２∶Ｓ３，称μ１∶μ２∶μ３为点Ｐ的重心坐标，记作Ｐ＝（μ１∶...     

三维欧氏空间的Child不等式

三维欧氏空间的Ｃｈｉｌｄ不等式杨世国（安徽教育学院数学系２３００６１）１主要结果设△Ａ１Ａ２Ａ３内部任一点Ｐ到三角形各顶点之距离为Ｒｉ＝｜ＰＡｉ｜（ｉ＝１，２，３），点Ｐ到三角形各边之距离为ｒｉ＝（ｉ＝１，２，３），Ｊ．Ｍ．Ｃｈｉｌｄ获得下述一个重要...     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

复数形式的三角形面积公式

复数形式的三角形面积公式陈飞新（河北涿州物探中学０７２７５１）已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标分别为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）．求Ｓ△ＡＢＣ．高中《代数》（必修）下册Ｐ１７６第１４题用行列式给出了计算公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１...     

关于平面闭折线的一个定值命题

本文拟给出关于平面闭折线的一个有趣的定值命题．为了叙述简便起见,本文约定：符号Ａ（ｎ）表示平面闭折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１,它的边为有向线段ＡｉＡｉ＋１（ｉ＝１,２,…,ｎ,且Ａｎ＋１为Ａ１）．先引入如下概念和引理：定义设Ｐ为闭折线Ａ（ｎ）所在平面内...     

抛物线的三个性质

本文给出抛物线的三个性质以及与它们相对应的抛物线的三种画法;性质Ⅰ　设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）,焦点为　图１Ｆ（ｐ２,０）,Ｑ是抛物线上除顶点外的任意一点,直线ＱＳ与ｘ轴平行,过点Ｆ作∠ＳＱＦ的角平分线的垂线,垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是ｙ轴（除去顶点Ｏ）;（如图１）证明　设直线ＱＳ与抛物线的准线ｌ,ｙ轴分别相交于点Ｓ和Ｖ,ＦＳ与ｙ轴交于点Ｐ′;易知ＳＶ＝ＯＦ,则Ｒｔ△ＳＶＰ′≌Ｒｔ△ＦＯＰ′;∴　ＳＰ′＝Ｐ′Ｆ．故　Ｐ′为线段ＳＦ的中点;由抛物线的定义得ＳＱ＝ＱＦ,所以△ＳＱＦ是等腰三角形;∴…     

一个面积最值命题及引申

问题１ 平面内有长度为α１,α２,α３,α４（αｌ≤α２≤α３≤α４,且αｌ,α２,α３,α４不全相等）的四条线段,它们有公共的端点Ｏ,连结另一端点得到的四边形（称为由这四条线段生成的四边形）面积为Ｓ（如图１）,求Ｓ的最大值Ｓｍａｘ． 对于问题１,我们有 命题１ 证明：四条线段中,每相邻两条线段生成一个三角形,其面积分别记为Ｓ１Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,显然,当相邻两线段互相垂直时,由此生成的三角形面积最大． 为使四边形Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４的面积最大,四个三角形应顺次排开,互不重叠（如图１）,此时Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２ …     

一个不等式的简证

文［１］给出了关联四面体和空间任意一点的不等式，但证明用了六个引理，太复杂．今用向量给予简捷证明．定理　四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４中，Ａｉ对面的面积为Δｉ（ｉ＝１，２，３，４），Ｐ为空间任意一点，则４ｉ＝１ＰＡ２ｉ≥３２（Δ１＋Δ２＋Δ３＋Δ４）．等号当且仅当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体且Ｐ是它的重心时成立．证　设Ｏ为四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４的重心，则４ｉ＝１ＯＡｉ＝Ｏ．∴　４ｉ＝１ＰＡ２ｉ＝４ｉ＝１（ＯＡｉ－ＯＰ）２＝４ｉ＝１ＯＡ２ｉ＋４ＯＰ２－２ＯＰ　·４ｉ＝１ＯＡｉ＝４ｉ＝１ＯＡ２…     

学海指南练习解答

直线与圆一、平面直角坐标系（Ⅰ）选择题：（１）Ａ（２）Ｄ（３）Ｃ（４）Ｃ（Ⅱ）填空题：（１）Ｑ（３，５）（２）（０，－２３），（－１，－２）（３）１３（Ⅲ）解答题：（１）略解：１°若Ｃ是ＡＢ的内分点时，则λ＝ＡＣＣＢ＝２由定比分点坐标公式解得：ｘ＝７...     

｛0,1,3｝问题摄动形式所对应的测度

给定实数λ,α以及Ｒ上（以λ,α为参数）的压缩自相似映射Ｓ１（ｘ）＝λｘ, Ｓ２（ｘ）＝ λｘ＋ａ, Ｓ３（ｘ）＝ λｘ＋３,记满足测度方程ｖ＝（１／３）∑ｉ＝１ｖｏＳｉ－１的唯一概率测度为ｕλ,α本文得到：（１）当固定 λ∈Ａ Ｅ（１／３, ２／５）时,则在 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度意义下,对于 ａ．ｅ．的 ａ∈（０,１）,测度 ｕλ,α绝对连续,且存在平方可积密度．（２）若λ－１是 Ｐ．Ｖ．数,且 α是λ的有理系数多项式,则测度ｕλ,α是奇异测度．     

同是平移异在何处

有这样两道与复数平移有关的习题：１．设复数ｚ在复平面上对应的点为Ｐ,将点Ｐ绕坐标原点逆时针方向旋转π４后,沿实轴正向平移１个单位,再向上平移１个单位得到点Ｑ,若点Ｑ与点Ｐ重合,求复数ｚ．上题学生中有以下两种解法．解法１　由复数运算的几何意义得：ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＋（１＋ｉ）＝ｚ,∴　ｚ＝－（１＋ｉ）２２＋２２ｉ－１＝－２２＋２＋２２ｉ．解法２　向量平移后仍等于原向量,故不必考虑平移,∴　ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＝ｚ,∴　ｚ＝０．２．一个向量顺时针旋转π３后,向右平移３个单位,再…     

关联四面体和空间任意一点的不等式

本文将给出一个关联四面体和空间任意一点的不等式,这是一个广泛而优美的结果,用它可以得到一系列有趣的结论．定理四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４中,Ａｉ对面的面积为△ｉ（ｉ＝１,２,３,４）,Ｐ为空间任意一点,则４ｉ＝１ＰＡ２ｉ≥３２（△１＋△２＋△３＋△４）．...     

再谈椭圆中一类三角形面积的最大值

文［１］利用伸缩变换讨论了椭圆内过定点的直线与椭圆的两个交点与原点构成的三角形面积的最大值．本文将利用行列式及二次函数在闭区间上的最值理论讨论这一问题．为此先给出下面两个引理．引理１　坐标平面内逆时针排列的三点Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）、Ｃ（ｘ３,ｙ３）构成的△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｘ１ｙ１１ｘ２ｙ２１ｘ３ｙ３１．（证明略）．引理２　二次函数在闭区间上的最值要么在顶点取得,要么在区间的端点取得（证明略）．定理　椭圆ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ、ｎ∈Ｒ＋）内有一定点Ｍ（ｐ,ｑ）,过Ｍ的直线…     

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法四川师大翁凯庆一、基础知识１、三角形面积公式设△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，其上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，半周长为ｐ，面积为Ｓ△ＡＢＣ，则（１）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａｈａ＝１２ｂｈｂ＝１２ｃｈｃ；（２）Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ...     

第40届国际数学奥林匹克题解

第一天（１９９９年７月１６日）问题１　确定平面上所有至少包含三个点的有限点集Ｓ,它们满足下述条件：对于Ｓ中任意两个互不相同的点Ａ和Ｂ,线段ＡＢ的垂直平分线是Ｓ的一个对称轴;解　设Ｇ为Ｓ的重心;对Ｓ中任意两点Ａ,Ｂ,记ｒＡＢ为Ｓ关于线段ＡＢ的垂直平分线的对称映射;因为ｒＡＢ（Ｓ）＝Ｓ,所以ｒＡＢ（Ｇ）＝Ｇ,这说明Ｓ中每个点到Ｇ的距离都相等,因而Ｓ中的点全在一个圆周上,它们构成一个凸多边形Ａ１Ａ２…Ａｎ（ｎ≥３）;因为Ｓ的对称ｒＡ１Ａ３把以Ａ１Ａ３为边界的两个半平面分别映成它们自己,所以有ｒＡ１Ａ３…     

与质心相关的一个恒等式

基本定理设Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ是Ｒ３的ｎ个质点，分别有质量ｍ１，ｍ２，…，ｍｎ，这里质量ｍｉ可以是任何实数，但要求∑ｎｉ＝１ｍｉ≠０．设Ａｉ的坐标是（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ，记ｘｏ＝∑ｎｉ＝１ｍｉｘｉ∑ｎｉ＝１ｍｉ，ｙｏ＝∑ｎｉ＝１ｍ...     

几何法比较两数大小

几何法比较两数大小４４５０００湖北省恩施市一中杨仁宽１运用定比的性质比较在解析几何中，当Ｐ点是有向线段的内（外）分点时，点Ｐ分所成的比λ＝为正（负）值．利用定比的此性质可比较两数的大小．例１若ａ＞ｂ＞０，则不能介证设ＯＸ轴上的三点Ｐ１、Ｐ２、Ｐ的坐标...     

垂足三角形和垂足多边形

垂足三角形和垂足多边形续铁权（青岛教育学院２６６０７１）本文中的多边形均为有向多边形．设Ａ１Ａ２．．．Ａｎ是凸ｎ边形，面积为西，当多边形绕行方向为道时针方向时，规定Ｓ＝△，否则规定Ｓ－一面，称Ｓ为有向多边形的面积，下面仍简称面积．从平面上一点Ｐ向多边...     

有向线段定比分点坐标公式的应用

设有向线段Ｐ１Ｐ２的端点为Ｐ１（ｘ１,ｙ１）、Ｐ２（ｘ２,ｙ２）,点Ｐ（ｘ,ｙ）分Ｐ１Ｐ２所成的比λ＝Ｐ１ＰＰＰ２（λ≠－１,否则有Ｐ１Ｐ＋ＰＰ２＝Ｐ１Ｐ２＝０,这与Ｐ１Ｐ２≠０相矛盾）．分点Ｐ在直线Ｐ１Ｐ２上的位置与λ的取值范围如图１所示．Ｐ１　　Ｐ　Ｐ２λ＝０　λ＝１λ不存在－１＜λ＜０←０＜λ＜１→｜｜←λ＞１→←λ＜－１（Ｐ→－∞时λ→－１）←λ＞０　　（Ｐ→＋∞时λ→－１）图１显然,λ＝１时,Ｐ为线段Ｐ１Ｐ２的中点;λ＝－１时是Ｐ→±∞的极限值．即“内分为正,外分为负;左重（Ｐ与Ｐ１重…     

点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...