算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

一元二次方程的几何解法

在別列标尔金著的初等几何学教程(第九章§77)中,曾討論过一元二次方程 x~2+px+q=0 (1)的作图問題,其依据是著名的韦达定理。下面要介紹的,是方程(1)的实根的一种几何表示方法,并用純几何方法对实根的个数給予一种新的解释,然后导出韦达定理及根的表达式。首先,在平面上,任取一水平位置的单位綫段AB(图1),过B作BC垂直于AB,使BC的长等于p的絕对值,并且,若p>0,則令C在B之上方,若p<0,則令C在B之下方(图1)。再过C作CD垂直于BC,使CD     

分割棱台求体积的新想法

预备定理　设斜截三棱柱ＥＦ ＡＢＣＤ中 ,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为Ｖ =(λ +ｍ + 1)3(ｍ + 1) ·Ｓ·ｈ .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ =Ｓ1,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2　棱台解　如图 2 ,作Ａ′Ｄ∥ＢＢ′ ,Ｃ′Ｅ∥ＢＢ′分别交ＡＢ ,ＣＢ于Ｄ ,Ｅ .其中Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＢＥ为三棱柱 ,值得注意的是几何体Ａ′Ｃ′ ＡＤＥＣ即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ…     

多重Fourier级数的一类球形线性平均的饱和问题

§1 记号及一般定理 记Q={x∈R~k:一π相似文献   

单参数指数型分布族中的可容许估计

§1 引言1958年,Karlin 在平方损失下,对于单参数指数型分布族 p(x,θ)-β(θ)·e~,得到了ax 是 E_θx=-β′(θ)/β(θ)的可容许估计的充分条件,即众所周知的 Karlin 定理.并且[1]对于两种类型的截断型分布族 p(x,θ)=q(θ)·r(x),b>x>θ和 p(x,θ)=q(θ)·r(x),a<α<θ,证明了(2a+1)/(a+1)·q~(-a)(x)是 q~(-a)(θ)(0<α<∞,已知)的可容许估计.1961年,Katz 对单参数指数型分布族,讨论了限制参数空间的可容许估计问题.1964年,成平应用 Cramr-Rao 不等式,把 Karlin 定理推广到更为一般的情况.1977年,Ghosh 和 Meeden 及1981年,     

K_(2s)×K_(2t)的邻点可区别全染色

基于完全图的邻点可区别全染色,得到了任意偶阶完全图的直积图K_(2s)×K_(2t)的邻点可区别全色数χ_(at)(K_(2s)×K_(2t)=2(s+t)(t、s均为正整数).     

阶为■的单群

<正> 根据作者的结果,对任一正整数 n,确定阶为 p(kp+1)(KP+2),k≤n 的单群的工作是能够在有限步之内完成的(见文献[1]定理2).本文对 k≤5的情形作了具体的计算,证明了下列定理(即文献[1]中的定理1):定理 设 P 是一个素数,k≤5是一个正整数,δ=±1,则p(kp+δ)(kp+2δ)     

Some remarks on Kong-Liu’s conjecture on Lorentzian metrics

For a(1+3)-dimensional Lorentzian manifold(M,g),the general form of solutions of the Einstein field equations takes that of type I,II,or III.For type I,there is a known result in Gu(2007).In this paper,we try to find the necessary and sufficient conditions for the Lorentzian metric to take the form of types II and III,and we show how to construct the new coordinate system.     

代数曲面的特性及整式的因式判定法

本文的中心目的有二:第一找曲面是代数曲面的必要兼充分条件,第二建立整式的各次因式种类的决定法以及整式可分解的条件.在§1作者建立了直线和曲面的交点重复度交比积及交比积函数的概念.在§2找出了代数曲面的交比积公式,此式,在§3定理三的证明中将要引用,实际上§2可看成定理三的引理.§3是本文的中心之一,在这一节中作者证明了两个定理:前一个定理指出代数曲面和任一定向多边形的交比积恒等于1;后一个定理指出和任一定向多边形的交比积恒等于1的曲面必是代数曲面.§4是本文中心之二,在这一节中作者建立了整式的因式判別式概念,一方面说明这些判別式经过四则运算有限多次可以求得,另一方面证明了 l 次因式判别式恒等于零是 l 次因式存在的必要兼充分条件.于是在理论上解决了各次因式存在与不存在以及整式是否质整式的判定方法问题,无须进行因式分解。此节是上节定理的应用.在§5作者算出二次整式的判别式,获得了二次整式可分解的必要兼充分条件,并且说明了所得条件等价于代数学中已知的结果。     

一个羣論問題(Ⅱ)

<正> §1.引言 在“一个羣諭問題(Ⅰ)”中作者用一个簡单的方法証明了下面的一个定理.令ρ_(j/2)是轉动羣O(3)的一个首权为j/2a,j是整数,a是素根的一个不可约表示.ρ_(j/2)(O(3))U(j+1),其中U(j+1),表j+1維的么模酉羣.任一綫性羣G,以φ表示G的恆等表示,如合于条件     

三棱柱体积的一种变换定理及运用

三棱锥O ABC中,A0 ,B0 ,C0 分别为OA ,OB ,OC上的任一点(可与顶点重合) ,则三棱锥O A0 B0 C0 与三棱锥O ABC的体积比为:Vo A0 B0 C0VO ABC=OA0 ·OB0 ·OC0OA·OB·OC .这个定理在很多报刊杂志上都已介绍过,并得到广泛应用,三棱柱体积变换是否也有类似结论呢?笔者通过推证,也得到了三棱柱体积变换的类似定理.下面列出定理,给予证明,并举例说明其应用.图1　三棱柱定理　在三棱柱ABC A1B1C1中,E ,F ,G分别为AA1,BB1,CC1上任一点(可与顶点重合) ,则多面体ABC EFG与棱柱ABC A1B1C1的体积比为:　VABC EFGVABC A…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

关于亚纯函数的Nevanlinna方向与Borel方向

<正> §1.主要结果 本文给出了一个判定角域内亚纯函数具有Nevanlinna方向的充要条件: 定理 设△(φ)(0≤φ<2π)为原点发出的一条半线,w=w(z)为角域Ω(φ-ε′,φ+ε′)(ε>0)上的亚纯函数,若对任意正数ε<ε′,有     

量子力学中的一个群论问题(Ⅰ)

<正> §1.引言1.严志达在[1],[2]中证明了下列二个定理:定理1.令 ρj 是转动群 O(3)的一个支配权为(1/2)α,j 是整数,α 是 O(3)的素根的一个不可约线性表示 ρj(O(3))(?)U(j+1),其中 U(j+1)表 j+1维的么模酉群.任一线性群 G,以φ表 G 的恒等表示,如合于条件     

互为反函数的函数图象间的关系定理的又一证明

高中数学第一册§1.8揭示了互为反函数的函数图象间的关系,有如下定理: 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f~(-1)(x)的图象关于直线y=x对称. 要证明这个定理,关键是要证明函数y=f(x)上的任一点M(a,b)与函数y=f~(-1)(x)上的点M′(b,a)关于直线y=x对称.对此,课本上给出了一个证明,这里再介绍一个证法.     

关于多重赋值完全域

F.K.Schmidt曾经证明过一条定理:设域K关于二个不等价的特殊赋值都是赋值完全域,则K必然是个代数闭域(见[9],定理1)。后来,I.Kaplansky和O.F.G.Schilling又证明了:如果K关于二个不等价的特殊赋值都是Hensel域,则K必然是个可分代数闭域(见[3],定理2)。在§2和§3中我们将把这两个结果都推广到Krull赋值(即一般赋值)的情形,即当K关于二个独立的Krull赋值都是Hensel域时,K是可分代数闭域(定理1)。如果K对于其中之一是赋值完全域时,则K是个代数闭域(定理2)。这里使用的方法基本上是遵循Schmidt在[9]中所使用的方法。在§4中我们就有限阶赋值的情形     

高階等差級数

1+1+1+…+1=n,1+2+3+…+n=(1/2)n(n+1),1+3+6+…+(1/2)n(n+1)==(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)1+4+10+…+(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)==(1/1·2·3·4)n(n+1)(n+2)(n+3),…………………要証明这些式子是不困难的。例如:因为     

H lder不等式的推广及其应用

§1 引言文[1]叙述Holder不等式如下: 设α,β,¨,λ皆为正,且α+β+…+λ=1。则式中等号当且仅当(a),(b),…,(l)中存在一组与各组皆成比例时适用。 Jensen在上述条件不变的情况下,只将α+β+¨+λ≥1改变。不等式(1)仍然成立。本文类似上述情况,将条件改为0<α+β中…+λ<1时,不等式(1)仍然成立,即定理1 设α_i>0,α_(ij)>0(i=1,2.…,n;j=1,2,…,m),且.则     

柏普斯定理的推廣

本文所述的定理底推广方式及§§12,15,16,18各定理都是北京師範大學故教授湯璪真先生生前所示的。汤故教授对於§§15,18兩定理的證明,乃係利用一種他所稱為(一,二)射影的方法而得,並因此引出§§12,16兩個定理來。但他認為這兩个所引得的定理,係应於初等幾何的范围,应該另给它們独立的证明,因此他便囑筆者為它們設計一種初等的證法。经過一番思考,研究之後,筆者乃获得§12定理底如本文所述的證明方法。雖然這個方法也約略涉及射影幾何的一些知識,但與初等幾何相距尚不過遠。至於§16定理的證明,和證§12定理所需的原理當然是一樣的,為了節省篇幅,留待读者自己去思索。倘讀者有能够纯用初等幾何的方法去證明這兩個定理的,那是更好的事,筆者極願請教。 湯故教授所稱的(一,二)射影究竟是什麼樣的一種方法,可惜得很,筆者沒有間得詳細。只記得他曾告訴筆者:先把平面上的圆形依某中心射影到空間的一个二次曲面(例如球面)上,再用另一個中心射影回平面來,這样平面上一點便會產生兩个對應点,因此仙稱它为(一,二)射影。他說這个方法很新鲜,能够把很多定理推廣為更廣泛的定理;但他想先把這个方法的基本原則、關係、互换公式等建立好了,然後再發表出來和大家研究;因為研究得尚未十分成熟,所以還不到發表的時候。為了這個缘故,對於§§15,18兩定理的證明,他到底是怎樣運用這個(一,二)射影方法而得的,慚愧得很,筆者實在毫無所知。他只会把這兩個定理記在一强小小的硬紙片上交給筆者,這张硬紙片目下已找不着,尚幸笔者當時把它們抄錄下來(經過幾次抄寫,文字已有变更,但內容未變),得以保存。現在只好把它們照樣錄出,料想它們缺乏證明,必然要引起大家的懷疑;究竟它們是定理與否(因此特註上*號,以示區別),让大家去判斷吧。同時他這個(一,二)射影方法,若有人認為有研究的價值,继续去研究,完成他未竟的工作,則更是一件极好的事情了。本文前後共改寫了几次,每次都係遵照湯故教授的指示而修正重寫的。可惜後來的一次,他未及寓目,不料竟舆世称辭,真是萬分遺憾。現在,筆者謹用本文(當然又經過一些補充)來表示哀悼之忱,並留作永久的紀念。本文原係着重在尋求§12定理的證法,但因為叙述的方便,還乘機推論了一些射影幾何的东西。同時在求证的過程中,不意另得巴氏定理等底類似的推广,這可說是意外的收获,也顺便寫在一起。     

求sun from n=1 to ∞ (1/n) K~2与sun from n=1 to ∞ (1/n) K~3的两种简单方法

几何法(l)求艺k: 含.!令k二l,2,3、…,n.对每一个k的位,作如图l所示的边一长为介的正方形4个,如图2所示的边长分别为1,无艺的矩形2个。技图3所示方式,将它们排列成涡形状。于是所有这些小块方形,拼成了一个如图3所示的矩形(利用数学归纳法,读者不难证lljl)。 丫对每一个k的值,所作6个小块方形而积之和为6k2,┌──┐│寿名│└──┘:.所拼矩形的面积二6艺k,11下卜一尸一一一叫已二立二习图2 另一方面,由图3一可知,这个矩形的长为如十卜宽为。’+,二。(。十l),所以又有 所拼矩j卜的面积=n(n+l)(Zn+l)。从而有6艺k艺=,,(“+1)(2,,+1) 山1┌…