与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

一道中考题的演变与拓展

<正>(2011年乐山)如图1,直线y=6-x交x轴、4y轴于A、B两点,P为反比例函数y=x的图像上位于直线下方的一点,过点P作x轴垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F,则AF·BE=.     

一道反比例函数选择题的多种解法

<正>(2016年兰州中考15题)如图1,A,B两点在反比例函数y=k_1/x的图像上,C,D两点在反比例函数y=k_2/x的图像上,AC⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点F,AC=2,BD=3,EF=103,则k_2-k_1=().(A)4(B)143(C)163(D)6本题作为2016年甘肃省兰州市中考卷的第15题,选择题的最后一题.本题考查了反比例函数图像上的点的坐标的特征,笔者给出包括参考答案在内的多种解法.     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

一道课外练习题的简单解法

<正>《中学生数学》2014年第10期《课外练习题》初三年级的第2题为:如图正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=8/x(x>0)的图像上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y=8/x(x>0)的图像上,顶点A2在x轴的正半轴上,且     

两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

巧用基本结论 妙求阴影面积

涉及到反比例函数的图像的面积问题,有一个非常实用的基本结论:如图1,从反比例函数y=k/x(k≠0)的图像上任意一点P(x,y)分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B,连结OP,则S矩形PAOB=OA×OB=|x|×|y|=|xy|=|k|.     

一道反比例函数试题的变式思考

<正>一、试题及解答试题(2016年宁夏)如图1,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3^(1/2).反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.解析(1)如图1,过点C作CM⊥OB,垂足为M.因为点C是OA的中点,∠ABO=90°,所     

反比例函数一个瑰丽性质的简证

文[1]给出了反比例函数一个"极其瑰丽"的几何性质,并提供了三种"妙不可言"的证法.笔者在研读文[1]时,发现了该性质的一种较为简洁的证法,现撰文如下,供读者参考. 性质:任一直线y=ax+b分别与x轴和y轴交于点C、D,与反比例函数y=k/b的图像相交于点A、B. (1)如图1,当A、B两点在反比例函数y =k/b的图像的同一分支上时,AD=BC,AC=BD. (2)如图2,当A、B两点在反比例函数y=k/b的图像的不同分支上时,AD=BC,AC=BD.     

聚焦中考二次函数压轴题的定值“情结”

二次函数中考压轴题由于综合性强,难度大,对很多学生来说往往起到区分的作用,常常望而生畏,尤其是一类定值问题的证明,使得学生望而却步,本文对此作一总结,以期对学生的复习备考有所帮助.一、长度定值例1（2013年湖北荆门卷）如图1,已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图像与关于x的一次函数y=kx+1的图像交于两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）（x₁2）.（1）当k=1,m=0、1时,求AB的长;     

习题的探究

<正>题目过抛物线y²=2px,（p>0）的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y₁,y₂;求证:y₁y₂=-p²,此题是人教社课本高二（上）册P₁₁₉页第7题,本题内涵十分丰富,笔者从以下几方面进行探究与反思.     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

对一个折线距离问题的探讨

广东试题设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A,B）为ρ（A,B）=|x₂—y₂-y₁|.对于平面xOy上给定的不同的两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,（1）若点C（x,y）是平面上的点,试证明ρ（A,C）+ρ（C,B）≥ρ（A,B）;（2）在平面.xOy上是否存在点C（x,y）,同时满足①ρ（A,C）+ρ（C,B）=ρ（A,B）;②ρ（A,C）ρ（C,B）.若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析:（1）由ρ（A,C）=|x-x₁|+|y-y₁|,     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

蕴内涵 重能力 促发展——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

一、试题呈现题目(2014年徐州卷第27题)如图1,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=k x图像的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴、y轴相交于点E、F,已知B(1,3).(1)k=_________;(2)试说明AE=BF;(3)当四边形ABCD的面积为214时,求点P的坐标.二、试题探析纵观近几年徐州市中考试卷不难发现,围绕反比例函数的图像及其性质考查的题目为数不少.如2012年卷第13题"已知交点(1,2),求反比例函数中k的值";压轴     

椭圆准线的六种作图方法

<正>对于椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a> b> 0),右焦点F(c,0),直线l过F交椭圆于A、B两点,下面的定理给出了其准线的六种作法,并能类比应用于双曲线和抛物线的情形.方式1若l与坐标轴不平行,做B关于x轴的对称点B',作直线AB'交x轴于M,过M作x轴垂线m即为椭圆右准线.     

再析反比例函数的图像性质

<正>反比例函数y=k x中,我们印象最深的莫过于其图像上的每一点对x轴、y轴所构成的矩形的面积相等,都为|k|,就是这条重要特性,我们还可以提示出反比例函数图像的另外两个特征.图1我们知道反比例函数图像关于原点中心对称,直线与反比例函数图像交于A,B两点,若直线AB过原点时,则必有OA=OB.如图1.那么,若直线AB不过原点,还会有相等的情况吗?首先,在平面几何中,我们知道如下基本性质.     

反比例函数系数K与图形的面积

<正>同学们都知道,反比例函数系数k的几何意义为:如图1,过反比例函数y=k/x(k≠0)图像上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N,则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,三角形PON(或三角形POM)的面积S=|k|/2.那么它能帮助我们解决哪些常见的问题呢.