2011年高考江苏卷第18题的推广与探源

真题再现 如图1,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆x2/4+y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.     

一道高考试题的类比探究与题源探究

1原题呈现试题如图1,过坐标原点的直线交椭圆x2/4+y2/2=1于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.求证:对任意k＞0,均有PA⊥PB(2011年高考江苏卷理科第18题的第三小题).     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

对一道高考试题的探究

一、题目 （2011年江苏高考卷第18题）如图1,在平面直角坐标系．rOy中,M、N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k．     

对一道课外练习题一般性结论的探究

<正>《中学生数学》(初中刊)2014年第8期,《课外练习题及参考答案》栏目刊登的初二年级第3题为:如图1,M为双曲线y=3^(1/2)右支上的一x点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线y=-x+m于点D、C两点,设直线y=-x+m与轴交于点A、与x轴交于点B,求AD·     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…     

一道综合题的解法探讨

<正>题目(2015·宁波)如图1,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的☉P分别交x轴,y轴于点C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连结DE交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3,4).     

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

对一道高考题的思考

题目：（2011年江苏18）如图1,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作-T轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．     

2011年高考江苏卷18题的解法探析与推广

2011年高考江苏卷第18题为：考题如图1，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x^2/4＋y^2/2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作z轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．     

一道2009年高考题（湖北卷）的巧妙推广

下面是2009年湖北卷（理）第20题：过抛物线y2=2px（P〉0）的对称轴上一点a（a,0）（a〉0）的直线与抛物线相交于M、N两点,白M、N向直线l：x=-a作垂线,垂足分别为M1、N1．     

对上海市04年中考数学压轴题的探索

上海市 0 4年中考数学试卷最后一道压轴题如下 :数学课上 ,老师出示图 1和下面框中的条件 .如图 1 ,在直角坐标平面内 ,0为坐标原点 ,A点坐标(1 ,0 ) ,点B在x轴上且在点A的右侧 ,AB =OA ,过点A和B作x轴的垂线 ,分别交二次函数y=x2 的图象于点C和D .直线OC交BD于点M ,直线CD交y轴于点H .记点C、D的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH.图 1同学发现两个结论 :①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3②数值相等关系 :xC·xD=- yH.(1 )请你验证结论①和②成立 ;(2 )请你研究 :如果将上述框中的条件“A点坐标为 (1 ,0 )”改为“A点坐标为 (t,…     

问题转化突破,变式教学探讨——以一道二次函数综合题为例

二次函数是中学数学的重点知识,其问题求解较为复杂,需要重点关注.下面以一道二次函数综合题为例,进行解题思路剖析.一、走进考题,问题呈现问题:设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c,其图像经过点(-1,4),与直线y=-1/2x+1交于点A和B,已知点A位于y轴上,现过点B作x轴的垂线,垂足为点C(-3,0),如图1所示,试回答下列问题.     

通向面积之桥——|k|

一、重要结论反比例函数y=k/x(k≠0)中的比例系数k有以下几何意义：如图1,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|     

一道抛物线问题的思路突破与教学微设——以2021年常州市中考卷抛物线问题为例

<正>1考题呈现,思路突破1.1考题呈现考题（2021年常州市中考卷第28题）如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx (k≠0）和二次函数■的图象都经过点A(4,3）和B,过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上的一点（点D与点A,O,B不重合）,E是射线AC上的一点,且AE=OD,连接DE,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以DE,DF为邻边作平行四边形DEGF.     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

由四面体的棱长求体积的初等证法

已知:BC=x,AC=y,AB=z,MA=a,MB=b,MC=c.求:四面体MABC的体积V.解设∠BMC=α,∠AMC=β,∠AMB=γ.求解过程分为以下几个大的步骤:用α、β、γ表达∠CEF的三角函数过C作CO⊥平面AMB,垂足为O,过C作CE⊥MB,垂足为E,连接EO并延长EO交MA于F,则由三垂线逆定理知:EF⊥MBCE=MCsin∠CME=cs