一个不等式的几何证法及推广引申

已知a〉1/3，b〉1/3，ab=2/9，求证a＋b〈1，文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明此不等式，文[3]对它进行了推广，文[4]对文[3]的推广进行了改进并提出了一个“孪生”不等式．本文首先给出此不等式的一个几何证法，然后利用这一证法对此不等式进行推广引申．     

一道射影几何名题的思考与探索

<正>文[1]给出了一道几何题的8种初等证法,其中,证法1是文[2]中华罗庚先生给出的简洁证明,证法2是文[3]中利用共边定理给出的更加简洁的证明.下面来探讨一下这个有趣的几何题.例1在四边形ABCD中,设K=AD×BC,L=AB×CD,M=AC×BD.     

对一类分式不等式的概率证法的反思

文[1]利用概率中有关数学期望的一个性质Eξ2≥E2ξ证明了一类分式不等式,将概率知识与不等式证明联系起来,确实给人以启迪.然而,关于这种较为新颖的证明方法,笔者对文[1]中的某些观点却不敢苟同,下面是笔者对于概率证法的几点反思.1概率证法是“创新证法”么文[1]把这种概率证     

能揭示欧拉不等式本质的简证

文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]利用三角形的边变换及均值不等式给出了"更简捷证法".本文运用中学基础知识给出的简证可以揭示欧拉不等式的本质.     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…     

极限lim(lnn~n(1/2)/n=-1)(n→∞)的一些另证

[1 ]文发表后 ,引起读者兴趣 ,纷纷来稿 ,提供了许多证法 ,其中类同于 [1 ]文更正后证法的 ,不再刊登 .其它证法 ,本刊汇总摘编于后 .(以收稿日期先后为序 )证法     

一个不等式的再质疑与另证

文[2]指出了文[1]的错误，并给出了证明，但文[2]的证明仍然是错误的．原因如下：     

康托洛维奇不等式及其推广的更简证法

文[1]给出了康托洛维奇不等式(其等价形式)的一个初等证法.本文提供一个比文[1]更简单的初等证法。     

曲线拐点充分条件证明中的常见错误

文[1]给出了判别曲线拐点的两个充分条件,文[2]给出了一个充分条件,但三个定理的证明都是错误的.同时,文[1]的两个推论也是错误的.本文通过反例分析了其错因,并给出了文[1]中一个拐点充分条件的正确证明.     

极限(limn→∞ln√n/n=-1)的一些另证

编者按:[1]文发表后,引起读者兴趣,纷纷来稿,提供了许多证法,其中类同于[1]文更正后证法的,不再刊登.其它证法,本刊汇总摘编于后.(以收稿日期先后为序) 证法Ⅰ设an={(1+1/n)n},bn={(1+1/n)n+1}.     

三角形重心的一个向量性质的另证及推广

文[1]类比文[2]用高等几何方法(仿射几何法)给出了三角形重心的另一个向量性质(即性质1).本文将给出性质1的初等证法并推广之.     

Euler不等式的简捷证明及其加强

设△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,则有R≥2r,等号成立当且仅当△ABC为正三角形,这就是著名的Euler不等式.文[1]给出了巧妙的三角证法,文[2]给出了几种证法并将其推广到四面体中.本文再给出一种极为简捷的证法及其加强如下: 1.Euler不等式的简证     

命题"若p则q"的实质——也谈"若p则q"的否定是什么?

《中学数学》2007第2期刊出了黄祥宏先生的“集合与简易逻辑中的几个疑点”(以下简称文[1])一文,《中学数学》2007年第10期刊出了孟祥礼、孟祥东先生的“若p则q”的否定是“若p则q吗?”(以下简称文[2])一文.笔者发现,文[1]、文[2]均有严重的概念错误或逻辑错误.为便于说明,现将文[1]的疑点1及其解析和文[2]的主要观点摘录如下:文[1]疑点1命题p:“菱形的对角线相等”的否定是什么,p的真假也令人费解.解如果一个四边形是菱形,那么它的对角线存在相等,或不相等两种情况,所以命题p为假,命题的否定是“菱形的对角线不相等”,所以p也为假.此外,命…     

对“关于《亚正定阵理论(Ⅱ)》一文的错误”一文的注记

本文指出文[2]的错误,拓广了Minkowski不等式,同时修正了文[1],[2]的错误．     

一个组合恒等式的推广及应用

文[1]用两种方法证明了“一个奇妙的组合恒等式”: n∑j=0(-1)j(n -j)nCjn=n!(n∈N+)……(*)j=0 实际上,文[2]与文[3]分别用数学归纳法和概率证法证明了比(*)更强的组合恒等式:     

约束可微多目标最优化的正则性条件

文[1]在纠正了文[2]中的错误后,提出了几个值得进一步研究的问题.本文将在§1中部分回答这些问题.在§2中,指出并纠正文[3]的§3中证明中的错误,并将纠正后的结果推广到多目标规划的情形.     

分析转化出新知

文 [1 ]中提出了一个有趣的几何问题 :如图 1 ,Rt△ ABC中 ,∠ C =90°,CD⊥AB,O1、O2 分别是△ ACD和△ BCD的内心 ,O1O2 交 CD于 K,证明1AC 1BC=1CK ( 1 )本题的条件和结论相距较远 ,初看起来 ,是一个几何“险题”.所以 ,文 [1 ]用的是解析方法证明的 ;文 [2 ]用的是几何与三角综合证法 .文 [3]虽然说是用“纯几何方法”,但是它用了文 [2 ]的中间结果 ,所以并不能说是“纯几何”的 .图 1　　　　　　　　　图 2有没有更简洁、更漂亮的“纯几何”证明呢 ?我们来作如下分析 ,将它不断转化 ,以求用纯几何的方法证明 .1 .将 ( 1 …     

三角形旁切圆的几个几何恒等式

关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题:     

一个不等式证明题的简单推广

题目设a,b,c∈R^＋,且abc＋1,求证：1/1＋2a＋1/1＋2b＋1/1＋2c≥1.文[1]中给出了如下证法：首先我们证明：     

一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的多角度探究与推广

此题是2010年第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题,文[1]已给出其三种证法,本文拟从不同的角度给出六种证法,并进行一般推广．