剖析一道高考题的解答

2004年浙江高考理工类试题第(12)题是这样一道题:若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程x-f[g(x)]=0有实数解,则g[f(x)]不可能是()(A)x2 x-15.(B)x2 x 15.(C)x2-15.(D)x2 15.在复习的过程中,我们发现为数不少的资料给出了这样一种解法:“方程x=f[g(x)]有实数解,即为y=x     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

抛物线内定长弦的一个性质

文[1]对一道高考题的解答作了比较详尽的剖析.原题如下(2004年浙江理第12题):若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程x-f[g(x)]=0有实数解,则g[f(x)]不可能是()(A)x2 x-15.(B)x2 x 15.(C)x2-15.(D)x2 15.文中赵老师在分析了相关资料中的三种错误解法之后,出示了一种“答     

湖北八校2005~2006学年第一次高三联考数学试题(理)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=()(A){0}.(B){0,1}.(C){1,2}.(D){0,2}.2.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1映射f的对应法则原象1 2 3 4象3 4 2 1表2映射g的对应法则原象1 2 3 4象4 3 1 2则与f[g(1)]相同的是()(A)g[f(1)].(B)g[f(2)].(C)g[f(3)].(D)g[f(4)].3.已知f(x)=cfo(sxπ-x 1) (1x≤(0x)>,0),则f(34) f(-43)的值为()(A)-2.(B)-1.(C)1.(D)2.4.已知函数f(x)=3sinπRx的图象上相邻的一…     

辨析函数中易混淆的三对概念

1函数的定义域为A与函数在A上恒有意义两个概念十分相似,易误认为是同一个问题,事实上“函数在A上恒有意义”中的A是f(x)的定义域的一个子集,是不等式恒成立问题;而“函数的定义域为A”中的A是函数的定义域,其解法是已知不等式的解集求参数问题.例1(1)已知函数f(x)=1 2x 3xa的定义域为(-∞,1],求a的值;(2)已知函数f(x)=1 2x 3xa在(-∞,1]上恒有意义,求a的取值范围.解(1)由题意,不等式1 2x 3xa≥0的解集为(-∞,1],即a≥-[(31)x (23)x]的解集为(-∞,1],令g(x)=-[(31)x (32)x],易知g(x)在(-∞, ∞)上是单调增函数,∴g(x)max=g(1),所以不等式…     

三种复合函数与导函数问题的讲解

针对学生在复合函数求导过程中容易混淆df[g(x)]/dx、f′[g(x)]和f′[g′(x)]三种类型求导的问题,通过两道典型例题,帮助学生理解df[g(x)]/dx、f′[g(x)]和f′[g′(x)]的确切含义.     

一类方程的求解方法

问题试解方程:2 2 2x-1-1-1=x22 1.此题若采用常规解法,需解一个16次方程,这显然是不可取的,经过一番思考,我们得到关于此类方程解的一个性质.性质定义f(0)(x)=x,f(1)(x)=f(x),f(n)(x)=f[f(n-1)(x)],n∈N*.若f(x)在其定义域上为增函数,g(x)为f(x)的反函数,则方程f(n)(x)=g(m)(x     

怎样由f[φ(x)]求f(x)

由已知的函数关系式f[φ(x)]求f(x),进而求f〔ψ(x)〕的问题,比较抽象,不少学生感到无从入手。现介绍一些常用解法。一、定义法例1 已知f(x-1)=3x~2-8x+10,求f(x)及f(x+a)。分析 f(x-1)是以(x-1)为自变量的函数,欲求其对应关系,可拆项、添项,将已知表达式配凑成关于(x-1)的多项式。     

例谈nmx[f（x），g（x）]、min[f（x），g（x）]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

例谈max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

为何少了一个值?

题目　已知关于x的函数 f(x) =2ax- 1x2 在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,求a的取值范围 .解法 1　由已知可得 f′(x) =2a + 2x3 .∵f(x)在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,∴有 f′(x) >0在 ( 0 ,1 ]上成立 ,即a >- 1x3 在 ( 0 ,1 ]上成立 .而函数 g(x) =- 1x3 在x∈ ( 0 ,1 ]上是增函数 ,且 [g(x) ]max=g( 1 ) =- 1 ,∴a >- 1 .解法 2　设 0 0恒成立 ,即　 (x2 -x1) 2a+ x1+x2x21x22>0恒成…     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

不等式f(x)·(g(x))~(1/2)≥0的解法

解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0极易出现漏解或增解 ,最常见的错误解法是 ,将 f(x)·g(x) ≥ 0转化为不等式组 f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0 .须知 f(x)·g(x) >0与 f(x) >0 ,g(x) >0同解 ,但是 f(x)· g(x) ≥ 0与f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0并不同解 .那么 ,怎么解此类不等式呢 ?下提供三种基本的解法供参考 .方法 1　将关系符号分解符号“≥”是由“ >”与“ =”复合而成 ,这样解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0可以转化为解不等式 f(x)· g(x) >0与解方程 f(x)·g(x) =0 .例 1　解不等式 (x - 4 ) x2 - 3x - 4 ≥ 0 .解　原不等式可以转化为 (x - 4 )x2 - 3x - 4>0或 (…     

一类不等式的解法与证明

形如a相似文献   

关于抽象函数题的练评课

抽象函数题在高中数学教材中找不到单独章节 ,然而在近年各地模拟试题中却出现许多抽象函数问题 .笔者有意收集这些问题并分类介绍如下 ,供读者在高三练评课时选用 .1　求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的值域等同性 ,如在 f(g1(x) ) ,f(g2 (x) )中 ,g1(x)与 g2 (x)的值域应相同 .1函数 f(1x2 )的定义域为 [1 ,2 ],则f (1 - x)的定义域是 .2已知函数 f(3 - 2 x)的定义域为[- 1 ,2 ],则 f (x)的定义域是 .3函数 f (x)的定义域为 [0 ,1 0 ],求函数f (x2 - x - 2 )的定义域 .　　简答　 1 [0 ,34 ];2 [- 1 ,5];3 [- 3 ,- 1 ]∪ [2 ,4]…     

二元非乘积型Baskakov算子的某些逼近性质

该文利用多元分解技巧及一元的结果得出二元非乘积型算子V\-n的两个逼近性质定理.对f∈C\-0(T\+2),‖V\-n(f)-f‖≤cω\-2(f,[SX(]1[]n[SX)]); 对f∈C\+2(T\+2),lim[DD(X]n→∞[DD)]n(V\-n(f)-f)=[SX(]x(1+x)[]2[SX)]f\-\{11\}+[SX(]y(1+y)[]2[SX)]f\-\{22\}+[SX(]xy[]2[SX)]f\-\{12\}.