大胆猜测、细心求证——对一道竞赛题的解题过程分析

"实践是检验真题的唯一标准".掌握知识的一个重要方面就是我们能在实践中运用它.在数学教育中,我们提倡培养学生的解决问题的能力,教会学生如何思考.在学习过程中我们如果仅仅是把数学中的公理、定理、概念、定义、理论……等知识介绍给学生,显然是不够的.     

浅談邏輯推理在数学发展中的地位

一、公理方法为数学这門科学带来的特点在数学中,有些命題不加証明,直接用作邏輯推理时的依据,这类命題叫作公理;用巳知概念說明使用概念的意义的命題叫作定义。任何一个数学命題,不管直观看来多么明显,但是只要它不是公理,都要求严格地証明。一个命题,只有当它作为定义、公理的邏輯結果,才算是被証明了的定理。这种用定义、公理作为選輯推理的基础、以建立科学体系的方法叫作公理方法。公理方法是建立数学这门科学体系的重要方法,尤其自20世纪以来,它已成为現在数学各个分支建立科学体系的基本方法。使用这种方法的結果,就为数学带来两个明显的特点。     

数学教学中要处理好三种关系

数学课堂教学过程中应注意处理好三种关系.第一,正确处理好数学知识体系和数学教学体系的关系.数学知识有它的固有体系,如欧几里德几何是建立在严格的公理体系之上,从而构成了一套严密的数学知识体系,这种体系讲究的是严密性和逻辑性,所有问题的解决都必须要有定义、公理、性质作保证.但数学的教学体系不同于数学的知识体系,它的特征是要兼顾学生的认知基础和认知规律,讲究的是快速易懂,即便是给学生所提供的某个问题情景也是被高度抽象化的,具有明显的教学模型的特征.如等差数列前n项和公式这一节的教学,从数学知识体系角度来看,这一知识点…     

关于向量空间定义中运算公理的独立性

对于向量空间定义中的八条运算公理,证明了"加法满足交换律"这一公理的独立性依赖于其它某些运算公理的定义形式,并证明了运算公理"k(lα)=(kl)α"和"k(α+)β=kα+kβ"的独立性与基础数域的选取有关,即当基础数域是有理数域时,这两条运算公理是其它运算公理的逻辑推论.     

中学"边角边"公理教学中的思考

0 引言 近年来,在中学数学课程的不断调整过程中,一个一直有争议的问题是如何处理几何教程中的公理.这个问题也涉及对希尔伯特公理体系的理解,事实上,希尔伯特当初建立一个完整的欧几里德几何公理体系,是为了回答当时很多人对欧几里德几何的严格性的质疑.这个问题是"初等的"几何,但它本身绝不是初等的,恰恰相反,它是很深很困难的,是当时数学的顶尖工作(在今天属于数理逻辑的范围).这项工作说明,欧几里德几何体系完全可以严格化和完备化,并且是不矛盾的.但严格化的方法并不止一种,例如张景中就曾给出与希尔伯特公理体系等价的其他公理休系.     

话说数学概念的定义和分类

一般的数学概念是用定义来表示的.新的概念必须定义它,也就是利用原数学概念,再用“每一个”,“所有”,“存在”“不”“和”“或”“如果……那么……”,“当且仅当”等等来定义它,如定义合数为除1和本身外至少含有一个因数的自然数,这里是用了自然数和因数这两个已知概念来定义的. 定义里不能引用尚未定义的新概念,如用一条直线对另一条直线的斜率量来定义角是     

几何学的发展与公理方法

在数学领域中,围绕着几何学的发展和几何学的公理系统的问题,历来存在着唯物论和唯心论的激烈斗争.资产阶级唯心论者,把欧氏几何公理系统和罗巴切夫斯基几何的诞生,作为鼓吹“头脑制造数学”论的“王牌”,竭力否定几何公理来自社会实践,蛊惑人心地宣扬数学公理是天赋真理,把公理方法推崇到至高无上的地位.这种唯心主义的哲学观点,在刘少奇一类骗子的反革命修正主义路线的扶持下,长期以来也充斥在我国数学领域,成了数学工作者的精神枷锁.在全党深入开展批修整风运动的今天,我们一定要对此进行彻底批判,肃清它的流毒,进一步分清什么是唯物论的反映论,什么是唯心论的先验论,从而使数学研究和数学教学沿着毛主席的革命路线不断深入发展.     

关于公理方法

在目前深入开展对资产阶级学术思想的大批判中,提出了公理方法问题,这的确是一个重要问题.如何评价公理方法在数学中的作用和地位?正确地解决这个问题不仅对数学学科的发展,而且对数学教学的改革具有重要意义.本文的目的是对这个问题提出一些初步的讨论意见.一、公理方法在数学中的作用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学.数学知识是从社会实践中来的.人们在实践中得到的数学知识,开始是一些感性材料.这类感性材料积累多了,就需要整理、加工,把它系统化,形成理论系统.公理方法是从数学经验资料的加工、整理和系统化     

对“几何学中的研究对象”一文的意见

数学通报1958年9月号刊登的张素诚先生写的"几何学中的研究对象"一文,我反复地读了几遍,感觉得这篇文章,作者是以什么观点来写的呢?是值得研究的,下面是我的意见,提出来请大家研究和指正!第一,张先生说:"公理系统往往选择作常识所能够判断的显然成立的一些事实,这样可使我们研究的对象接近生活中客观世界,……"这样提法,不能赞同.因为,用常识判断的显然成立的事实作公理系统,是靠什么作为指导思想用常识就能判断显然成立的公理系统     

立足于教材的研究性学习的几个案例

源于教材,高于教材,是高考试题的真实写照,也是考题“能力立意”的体现之处,它和素质教育的要求更是不谋而合.如果说课堂教学是培养和提高学生能力的主阵地,那么作为数学教材的核心组成部分,定义、公理、定理及公式的推导和证明就是广大师生开展研究性学习的主源地.以此为契机而开展的研究性学习,对提高学生的继承、质疑、批判、创新的能力不无益处.否则,任何脱离于教材的研究性学习将成为一句空谈.本篇将从现行的各类版本的高中数学教材中选取师生们习以为常的定义、公理、定理及公式的推导各一例,并作一些“杞人忧天”式的研究性探讨.希望…     

定义解题新说

定义是用简洁、明确的语言表达概念的内涵.通过下定义,把概念的内涵固定化,从而揭示事物的本质属性和共同特征.数学中的定理、公式、性质、法则等,都由定义和公理推演而得.定义法解题,就是直接利用数学定义解决数学问题的方法. 一、通过深刻理解定义解题 例1讨论函数y=f(x)图像与x=a图像交点个数. 初学函数的学生可能对这道题目无从入手.学生应有这样的意识,当没有思路的时候,要回想题目涉及的定义是什么.     

关于一个公理和一个定义叙述的变化

教科书的语言叙述要认真推敲，力求准确简明．本文介绍新编《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学（必修）第二册（下）》（人民教育出版社中学数学室编著，1998版，以下简称新教材）第9章对一个公理和一个定义在文字叙述上与旧课本的变化，并论述产生变化的原因及对采取新处理方案的一些思考．1关于平面的公理2的叙述在立体几何中有这样一条涉及点、直线、平面的结合公理"如果两个平面有一个公共点，那么它们有一条通过这个点的公共直线"．公理的条件部分对于两个平面是否重合并未加以限制，公理的结论部分只有通过这个点的公共直线的…     

数学的认知与数学的教学

数学的认知　数学 ,特别是现代形态下的数学 ,是一种很抽象的学问 ,它与寻常所了解的以探索现实世界物质运动机理为目的的自然科学 ,有本质的区别 .简言之 ,数学乃是一种无物质内容的符号系统 ,在一定公理规则下的推演技术 ,因而它是十分“空洞”的 ,与人们的直觉经验相距着十万八千里 .数学的这种离开物质内容的特有的“空洞”性 ,加上它那曲折而奥妙的逻辑推演术 ,造成了数学在认知上的特殊难度 .长时期来 ,无论在中学或大学里 ,数学课都给人以极为枯躁的印象 ,感到乏味而难学 .就其重要性而言 ,它排在众课程的最前列 ,然而就其效果而言 ,…     

分析法在证明不等式中的应用

<正>从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到归结为判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正确性、合理性的论证方法,称为分析法.其证题思路是"执果索因",故也称为因果分析、逆推证法或执果索因法,分析法是一种证明不等式很有效的方法,也是解决数学问题的重要方法.     

模糊拓扑空间两组度量公理的等价性及度量化

证明了在Fts中邓自克和胡诚明分别定义的度量公理,在相同的定义域P0上是等价的.由此,按邓自克定义的度量公理,我们获得了模糊拓扑空间可度量化的一个充分条件若(X,δ)是模糊T3且具有δ-Fuzzy,则它是一个可Fuzzy度量化空间.这是对邓自克文献[8]中度量化的结果的改进.     

数学的心脏

引论:数学究竟是由什么组成的?公理(如平行公理)吗?定理(如代数的基本定理)吗?证明(如Gdel的不可判定性的证明)吗?概念(如集与类)?定义(如Menger的维数定义)?理论(如范畴理论)?公式(如Canchy的积分公式)?方法(如逐次逼近法)? 诚然,没有这些组成部分,数学就不存在;这些都是数学的必要组成部分。但是,它们中的任何一个     

初中数学题的巧解妙证举隅

数学题的巧解妙证,是对常规解法而言的,常规解法是基础,是重点,巧解妙证是提高,是难点,解题教学中,在牢固掌握常规解法的基础上.经常注意探求巧解妙证,不但能锻炼学生观察分析问题的能力,使思维敏捷,养成遇到问题善抓本质的习惯,而且还可以沟通不同知识的内在联系,有助于培养学生综合运用知识的能力和提高解题的技能与技巧.从而发展思维的创造性,本文试以初中数学题目为例,对巧解妙证的途径作一点探讨。一、着眼于“源”,立足于“本”“源”指数学定义和公理,“本”指由数学定义和公理导出的定理、公式、性质和法则等。着眼于“源”,立足于“本”,就是指     

也谈把"0"作为一个自然数

《数学通报》2 0 0 1年第 1期王尚志老师“为什么要把‘0’作为一个自然数”一文用浅显明白的语言阐述了把“0”作为自然数的“解释” ,但我们感觉 :若不用公理集合论的语言说明 ,似乎意犹未尽 ,下面谈谈我们对此问题的看法 .在公理集合论中 ,我们有如下公理 :Ⅰ外延公理 : ｘ ｙ( ｚ(ｚ∈ｘ ｚ∈ｙ) →ｘ=ｙ)即集合是由它的元素所唯一决定的 .Ⅱ空集存在公理 : ｙ ｘ(┐ (ｘ∈ｙ) )即存在一个集合 ,它没有元素 .据外延公理 ,这个集合是唯一的 ,我们将它记作 .Ⅲ二元集公理 : ｕ ｖ ｚ ｘ(ｘ∈ｚ ((ｘ=ｕ)∨ (ｘ=ｖ) )即对任意两集合ｕ和…     

关于数学思想方法教学的几点思考

“双基”教学是中国数学教育的特色 ,也是中国数学教育成功的经验之一 .可是国人对这方面的理论研究却非常不够 .文 [1]运用现代心理学成果对此进行剖析 ,是一件很有意义的工作 .可是 ,对于该文中的个别观点 ,似有进一步讨论的必要 .数学思想方法教学是教育改革中的一个重要的问题 ,有些问题曾缠绕心头多年 ,现将思考的成果一并写上 ,以求教于专家和同行 .1　数学思想方法能否归入数学基础知识 ?文 [1]在引述几位名家关于知识分类的定义后写道 :笔者认为 ,将数学基础知识界定为“数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反…     

关于三角范畴的八面体公理

三角范畴是一个带有自同构且满足四条公理的加法范畴,其中的一条重要公理就是八面体公理,该公理形式复杂不易理解难以应用.在本文中,作者讨论了三角范畴定义中八面体公理的几个等价命题,给出了新的八面体公理的等价命题,证明了各个公理间的相互等价关系,同时简化了八面体的表达形式,并且给出了该定理的一个具体应用.