一类无理分式对称不等式的研讨

<正>1引言加拿大数学杂志《Crux Mathematicorum》2009年第2期问题3419如下:问题3419^[1]设a,b,c是正实数,∑是关于a,b,c的循环和,(a)证明■(b)证明■《Crux Mathematicorum》2010年第2期刊登了问题3419(a)的一个证明,在该证明后编辑指出问题3419提供者已发表了问题3419(b)的一个证明.^[2]     

一个不等式问题的换元法证明

有一道不等式的证明题:对于所有的正实数a,b,证明（a/（a+3b））^1/2+（b/（3a+b））^1/2≥1（*）在《数学通报》2005年第4期由提供人用反证法给出了证明,如果我们另避蹊径,还可得到以下证明方法:解法1由式子的结构通过联想,字母轮换对称,被开方式子都是一次比例式,为求计     

一道竞赛题“新解”的错误及其另解

<正>题目（2004年西部数学奥林匹克竞赛题）求证:对任意正实数a,b,c,都有1< (a/（a²+b²）^1/2)+(b/（b²+c²）^1/2)+(c/（c²+a²）^1/2≤(32^1/2/2) （*）文[1]利用三角代换,在证以上右边含上界的不等式时最后一步有误!现将文[1]证明过程的最后几步摘录如下:     

一个无理不等式的简证及推广

<正>题目已知a,b∈R⁺,且a+b=1,求证:（a²+1）^1/2+（b²+1）^1/2≥5^1/2.《中学数学》《中学数学教学参考》等数学杂志曾用放缩法、几何法、向量法、不等式法等十多种方法对此题作了精彩证明,读后令人折     

《数学通报》问题2562的一个推广

1引言 《数学通报》2020年第9期问题2562提出了一个不等式如下: 问题2562[1]设 a,b,c＞0,且 a+b+c=3,证明: 1-√ab/1+√ab+1-√bc/1+√bc+1-√ca/1+√ca≥0.(1) 《数学通报》2020年第10期刊登了问题提供者给出的一种证明,[2]文[3]给出了(1)式的另一种...     

另解课外练习题两则

<正>题一(《中学生数学》2017年7月下课外练习题初一年级2(2)).证明2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²是一个完全平方数.解由于20162是一个完全平方数.解由于2016²+20172+2017²=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则20162=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²=(2016     

对数架桥 性质铺路

<正>在解决某些数学问题时,若能恰当、巧妙地构出对数,借助其性质解题,常可捕捉到解题的机智,获得新颖、独特、简捷的解法,曲径通幽,回味无穷!现举例说明,供参考.例1(《数学通报》2007年第5期上第1673号问题)已知:(x+(x²+1)2+1)^(1/2))·(y+(y(1/2))·(y+(y²+1)2+1)^(1/2))≥1,求证:x+y≥0.解析已知条件在告诉你"我是对称的",那么就再找更美一点的对称,两边取自然对数     

一道西班牙数学竞赛题的探究

<正>第31届西班牙数学奥林匹克第2题为命题1如果(x+（x²+1）^1/2)(y+（y²+1）^1/2) =1,那么x+y=0.文[1]、[2]给出了命题1的三种证法,文[2]还给出了命题1的类似命题2如果x,y∈[1,+∞),或x,y∈(—∞,—1],且(x+（x²—1）^1/2)(y+（y²—1）^1/2)=1,那么x=y.     

两角和正切公式的几何模型

<正>1引言两角和正切公式通常由两角和的正弦公式与余弦公式经代数推导而得,多部三角学专著和经典教材作如此处理,如陈鸿侠等著《三角学讲义》^[1]91页、《中学数学实验教材》(第四册上)^[2]10页、人教A版教材^[3]218页及苏教版教材^[4]58页.几何是三角函数产生和发展的源泉,正如项武义在[5]中所讲:“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动,密切配合的周期函数”,几何的直观性也符合教学的需要.     

基本不等式的研究性学习

一、背景介绍基本不等式姨（ab）^1/2≤a+b/2（a>0,b>0）（basic inequality）是高中数学中最重要的一个不等式.在现行教材编排的体系中,基本不等式首先出现在《数学5》（必修）[1-3]之后在     

一个最值问题的研讨

文[1]及文[2]另证并推广了《数学通报》2010年第7期第1863问题,题目如下:设x,y∈R+,x+2y=3,求1/x3+2/y3的最小值.经过研究,笔者从赫尔德不等式入手,给出另一解法,并进行推广.引理(赫尔德不等式)设ai,bi∈R+,p>1且     

一个不等式的再推广——再探《数学通报》2421题北大核心

1引言《数学通报》2018年5问题2421[1]为:已知a,b, c∈R^(+),且a+b+c=3,求证:2 (a1/4+b1/4+c1/4)+3≥3 (ab+bc+ca).作者在《数学通报》2018年第57卷第6期[2]中给了解答.张千乐在《数学通报》2019年第58卷第1期[3]中分别从项数、项数之和以及指数等3个方面作推广,得出下列结论:1)设a1,a2,a3,…,an(n≥3)是非负实数。     

通过示性函数融布尔代数之思想于集合运算中——以对称差相关问题的简洁计算为例

<正>1引言2003年教育部制定的《普通高中数学课程标准(实验)》选修系列4的第10个专题是“开关电路与布尔代数”.刘绍学^[1]曾著文为中学师生普及该专题的相关知识.湖南教育出版社、江苏教育出版社等出版社还根据专题要求出版了相应(实验)教科书.布尔代数是英国数学家布尔(George Boole,1815—1864)在其于1847年发表的著作《逻辑的数学分析》及其于1854年出版的著作《思维的规律》^[2]中分别引入、发展的.     

也谈函数的周期性

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》^[1]指出:函数是现代数学中最基本的概念,是贯穿高中数学课程的主线.周期性是函数的基本性质之一.本文介绍周期函数的历史,指出现行教材中存在的问题,并提出相关的教学建议.     

基于“再创造”理论的单元教学实践——以“圆周角定理及其推论”为例

<正>《义务教育数学课程标准(2022年版)》确立了“核心素养导向的课程目标”^[1]2,提出要“注重教学内容的结构化”^[1]85“重视单元整体教学设计”^[1]86.然而在实践层面,一线教师对如何进行单元教学存在诸多问题和困惑^[2].运用弗赖登塔尔“再创造”理论指导教学,有助于推进单元整体教学、帮助学生建立起有意义的知识结构、逐步培养学生的核心素养.     

问题提出的任务设置——ICME-14问题提出与解决专题研究组的总结与展望

<正>相比于问题解决,问题提出是一个年轻的研究领域.自上世纪80年代以来,伴随着席卷全球的数学教育改革运动,问题提出逐渐走向教育研究的中心地带,数学教育领域对其关注也持续升温.^[1]俄罗斯哲学家Lev Shestov(列夫·舍斯托夫)说:灵魂最本质的表现就是提出问题和寻求答案的能力.^[2]而问题对于数学学科的价值,则正如美国学者P.R.Halmos(哈尔莫斯)曾言:问题是数学的心脏.^[3]国内也有学者通过实证研究发现作为一种教学手段,问题提出教学要比问题解决教学给学生提供的学习机会更多.^[4]由此可见问题提出的价值.     

对《一类条件不等式探源》一文的商榷

数学通报2008年第8期刊登了《一类条件不等式探源》一文,文中对文[2]给出的条件不等式:若a,b,c＞0且a+b+c=1则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10;     

融入数学文化 发展核心素养——以“直线与平面垂直的判定”为例

<正>数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动”^[1]．在教学活动中有意识地融入数学文化,“有利于激发学生的数学学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养．”^[1]1研究综述诸多学者对如何在教学中融入数学文化,发展学生数学学科核心素养进行了相关研究．聂晓颖、黄秦安^[2]给出了构建数学课堂文化的四个维度;侯代忠、喻平^[3]就如何在教学中融入数学文化提出了教师在教学设计时应该思考的三个问题,即“(1)为什么要研究这个知识?(2)是怎么研究这个知识的?(3)这个知识有什么价值和意义”;李院德、史嘉^[4]提出了核心素养背景下高中数学文化教育的具体实施策略．本文中综合运用文献[2-4]中的相关策略,以“直线与平面垂直的判定”一节新授课为例,探究如何将数学文化融入数学课堂,提升学生数学学科核心素养的具体过程．     

准确把握分布意义 发展数据分析素养

<正>数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养.数据分析是统计与概率的核心,《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数据分析作为六大数学学科核心素养之一^[1],     

一道三元分式不等式引出的探究

《中等数学》第681号问题为:已知a,b,c为两两不同的实数,证明:(a-b/b-c-3)²+(b-c/c-a-3)²+(c-a/a-b-3)²≥29.命题人通过换元、配方等代数方法证明,具体过程如下:设a-b=x,b-c=y,c-a=-x-y,则原不等式等价于(x/y-3)²+(y/-x-y-3)²+(-x-y/x-3)²≥29■(x/y-3)²+(y/x+y+3)²+(y/x+4)²≥29.令t=x/y,于是只要证(t-3)²+(1/t+1+3)²+(1/t+4)²≥29■(t-3)²(t+1)²t²+(3t+4)²t²+(4t+1)².