用一个含参数的不等式证明一类分式不等式

由不等式（x-λy）^2≥0易推出不等式：x^2/y≥2λx-x^2y（y〉0）（1） 不等式（1）有着很好的结构，用它可以轻松地证明一些分式不等式，下面举例来说明．     

对一道有趣不等式的深入探究

有这样一道吸引大家眼球的有趣不等式试题：问题1设正实数a,b,c满足abc=1,求证：a2＋1（1/2）＋b2＋1（1/2）＋c2＋1（1/2）≤2（1/2）（a＋b＋c）1本刊文[1]通过构造函数f（x）=x2＋1（1/2）-2（1/2）x-2（1/2）2lnx（x〉0）,借助二阶导数和三元均值不等式给出一个证明.是否有更简单、更初等（即不用导数）的证明呢？笔者经过思考发现,借助平方差公式和二元均值不等式,最终可以获得一个简单、     

利用梯形性质证明不等式

<正>（2ab）/（a+b）≤（ab）^1/2≤（a+b）/2≤（（a²+b²）/2）^1/2（a>0,b>0）是不等式中最著名的不等式,也是最基本最重要的不等式,其中（2ab）/（a+b）=2（（1/a）+（1/b））^-1称为调和平均值,（ab）^1/2称为几何平均值,（a+b）/2称为算术平均数,（（a²+b²）/2）^1/2称为平方平均数,当且仅当a=b时式中等号成立,它的代数证法并不难,笔者发现,通过构造梯形,利用几何的方法亦可通俗易懂地证明这个不等式。     

一个积分不等式的九种证明方法

积分不等式是微积分学中一类常见而又重要的不等式,其证明方法多种多样．分别用定积分的定义、积分变限函数、积分第一、第二中值定理、微分中值定理等九种方法证明积分不等式∫0^1xf（x）dx≥1/2∫0^1f（x）dx（其中f（x）在[0,1]上连续而且单调递增）,借此介绍证明积分不等式的几种常用的方法．     

解法辩析

1．问题 题1已知二次函数f（x）满足条件：（1）f（-1）=0;（2）对一切x∈R,都有x≤f（x）≤1＋x^2/2,求f（x）的解析式． 杨忠老师在《求解不等式命题的另类方法》（见本刊2009,1上期）中给出解答如下：     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上,我们看到了下面两个不等式。已知a>0,b>0, (1)求证:(a/(2b+a))~(1/2)+(b/(2a+b))~(1/2)≤2/3~(1/2); (2)求证:(a/(2a+b))~(1/2)+(b/(2b+a))~(1/2)≤2/3~(1/2).对于这两个不等式,参考书上大多提供的是高等数学的方法,通过思考,我们发现,可以用基本不等式巧妙地证明这两个不等式。     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

平均不等式在数列和式不等式问题中的应用

数列和式不等式问题是高考中的热点难点问题,往往以压轴题的形式出现,学生普遍感觉束手无策,无章可循.笔者经过研究发现,不少数列和式不等式问题若能合理地利用平均不等式,往往能化难为易,突破难点.例1已知数列{an}满足a1=1,a2n-an＋1＋3=0.求证：1/a1＋2＋1/a2＋2＋…＋1/an＋2〈23.证由平均不等式得an＋1=（a2n＋1）＋2≥2an＋2,∴an＋1＋2≥2（an＋2）,     

巧用基本不等式等号成立条件解题

基本不等式：√ab≤a＋b/2（其中a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时等号成立．     

函数y=ax＋b/x（a〉0，b〉0）的图像及性质

函数y=ax＋b/x（a〉0,b〉0）的定义域为（-∞,0）U（0,＋∞）,利用基本不等式或导数知识易知函数的值域为（-∞,-2√ab]U     

关于一个不等式猜想的否定

本刊文[1]对文[2]中的第一个不等式给予推广，对第二个不等式的推广提出一个猜想：设xi〉0（i=1，2，3，…，n），n∑i=1xi=1.则n∏i=1（1/1-xi＋xi）≥（n/n-1＋1/n）^n.     

瓦西列夫不等式的再推广

贵刊文[1]介绍了俄罗斯杂志《中学数学》刊登的一组不等式，其中之一是下面的瓦西列夫不等式： 设a，b，c〉0，且a＋b＋c=1，则 a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2 （1）     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

用贝努利不等式的变式证一类不等式题

若x〉-1,n∈N且,z≥2,则（1＋x）^n≥1＋nx,当且仅当x=0时等号成立． 这是著名的贝努利不等式,也是《普通高中数学课程标准（试验）》不等式选讲系列中的一个重要不等式,若在此不等式中,令t=1＋x,就可得     

“不正、不定”怎么办

基本不等式＂（a＋b）/2≥（ab）（1/2）（a,b≥0）＂是高中所学不等式中的重点,其内涵丰富,应用之广泛.其中求最值是它最典型的应用,也是高考常考内容.在利用基本不等式求最值时,必须要满足＂一正、二定、三相等＂三个条件,缺一不可,才能确保等号的成立.＂一正＂即＂a、b均为正数＂;＂二定＂即＂和为定值时,积有最大值...     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

不等式sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8的一个隔离

在△ABC中，有一个熟知的不等式 sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8. 本文给出它的一个隔离： sinA/2sinB/2sinC/2≤1/512（2sinA/2＋1）^2（2sinB/2＋1）^2（2sinC/2＋1）^2≤1/8.     

对一道国家队培训题的简证及推广

1问题 在非钝角△ABC中，证明不等式 （1-cos2A）（1-cos2B）/1-cos2C＋（1-cos2C）（1-cos2A）/1-cos2B＋（1-cos2B）（1-cos2C）/1-cos2A≥9/4.     

探究二元不等式链的间距问题

利用基本不等式√ab≤(a>0,b>0),容易证明如下二元不等式链:若x,y∈R⁺,则x²+y²/2√xy≥x²+y²/x+y≥√x²+y²/2≥x+y/2≥√xy≥√2xy/x+y≥√2xy/√x²+y².     

例谈多元函数最值的求法

多元函数的最值问题一般都含有两个或两个以上的变元,常与不等式、函数方程、线性规划、三角等知识交汇,知识综合性强,求解技巧性高,学生困惑多,教学难度大.高中数学中有许多问题都与多元函数的最值有着密切联系.本文针对这一常见题型,适当侧重于二元函数z=f（x,y）型的最值问题,试对其主要解法作一概述,旨在对同学有所裨益.1.不等式法基本不等式a＋b/2≥ab（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）是一个重要的不等式,