关于指数丢番图方程a2x+(3a2-1)y=(4a2-1)z

设a＞3是一个整数,应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原素除子的深刻理论以及二次数域类数的一些结果,证明了指数丢番图方程a2x＋（3a2-1）y=（4a2-1）z仅有正整数解x=y=1.     

关于丢番图方程X~3±1=1267y~2的整数解

关于丢番图方程x³±1=1267y3±1=1267y²的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x2的初等解法至今仍未解决.主要利用递归序列、同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、Maple小程序,证明了丢番图方程x³-1=1267y3-1=1267y²有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x2有整数解(x,y)=(1,0),(60817,±421356),而丢番图方程x³+1=1267y3+1=1267y²仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

若干xA+yB=zC型方程的非零整数解

1998年 ,美国银行家安德算 .比尔悬赏 5万美元征求方程 x A y B=z C整数解的求法 ,引起轰动 ,本文对一些特殊情形作探讨 .因 A=B=C的情形已完全解决 ,本文考虑 A、B、C不全相等的情形 .1 .方程 x3 y4=z5有整数解x =n( n3 1 ) 8,　 y =( n3 1 ) 6,z =( n3 1 ) 5,　 n∈ N事实上 ,把有关值代入 :x3 y4=n3 ( n3 1 ) 8× 3 ( n3 1 ) 6× 4=( n3 1 ) 2 4( n3 1 )=( n3 1 ) 5× 5=z5.如命 n =3,有 1 1 51 4 0 5990 0 83 481 890 30 4 4 =1 72 1 0 36 85.2 .方程 x4 y3 =z2 有整数解( 1 ) x =n2 ( n 1 ) 24 ,y =n2…     

关于丢番图方程ax2+by2=cz2+dw2的整数解

数论中作为勾股定理的推广曾讨论过方程x2 +y2 =z2 +w2 ( 1 )的整数解 (如文 [1 ]、[2 ]) ,文 [2 ]得到了方程 ( 1 )满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的一组公式 ,但表达式不够简洁。本文将其推广 ,考虑更一般的这类四元二次丢番都方程ax2 +by2 =cz2 +dw2 ( 2 )其中 a,b,c,d均为正整数 ,( a,b,c,d) =1。当知道它的一组不全为零的整数解时 ,来导出它满足 ( x,y,z,w) =1的全部整数解的公式。按所设 ,显然 z,w不会全为 0 ,不妨设 w≠ 0 ,从而方程 ( 2 )可变为a( xw) 2 +b( yw) 2 -c( zw) 2 =d令 X=x/ w,Y=y/ w,Z=z/ w,得a X2 +b Y2 -c Z2 =d …     

关于不定方程（x^m—1）／（x—1）=Y^n的可解性

不定方程(x~m-1)/(x-1)=y~n,m>2,n>1 (1)在历史上曾有过大量的研究工作。例如,1920年Nagell证明了(A)如果4|m,则方程(1)仅有满足|x|>1的整数解m=4,x=7,n=2,y=±20。1943年,Ljunggren证明了(B)如果n=2,则方程(1)仅有满足|x|>1的整数解m=4,x=7,y=±20和m=5,x=3,y=±11;和(C)如果n=3,m≠-1(mod6),则方程(1)仅有整数解m=3,x=18或-19,y=7。1972年,Inkeri为了给出不定方程     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

海仑数组的探求

如果三角形的三边长为整数且面积亦为整数，则称之为海仑三角形．海仑三角形的三边长所构成的数组（a，b，c）称之为海会数组．本文对海会数组进行新的探索．假定D＞0，D不是平方数，c是非0整数．设x=u，y=V是不定方程x~2-Dy~2=c的一个解，那么就称u＋v是它的一个解．其中当u≥0，v≥0时，最小的一个叫做基本解．再设x＋y是Pell方程X~2-Dy~2=1的任意一个解，则容易验证（u十v）（X十y）（=ux＋uyD＋（ux＋ut）也是x~2-Dy~2=c的解．设三角形三边长分别为a，从一a十…，C，其中p为奇数（可正可负）．则其面积为由于这个关于C’的M次方程…     

关于丢番图方程x~p-y~p=z~2

Terjanian在1977年曾经证明不定方程 p是奇素数 (1)如果有整数解,则2p|x或2p|y。 本文证明了以下结果: 1. 设y=2(mod 4),则不定方程 x~p-y~p=z~2,(x,y)=1,p>3是素数 (2)没有整数解。 2. 设y=4(mod 8),则(2)没有整数解。 3. 如果(1)有整数解,p>3,则8p|x或8p|y。这是Terjanian的结果的改进。     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

关于丢番图方程x~2+1=2y~2,x~2-1=2DZ

的解的研究,是一很有意义的问题.当 D=P 是一个奇素数时,Ljunggren 证明了(1)无正整数解(x,y,z).而当 D=2P 时,柯召、孙琦证明了除开 P=3,(x,y,z)-(7,5,2)外无其他的正整数解.作者曾证明,如果方程 u~2-Dv~2=-1有整数解,则(1)无正整数解.本文研究更为一般的 D,顺便给出丢番图方程 x~4-Dy~2=1的几个一般性结果.我们由(1)的第一式可得出     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和x~2+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,a,b,c是满足a~2+b~2=c~r的互素正整数.证明了:当r(?)5(mod8),c>10~(12)r~4且b是奇素数的方幂时,方程x~2+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(a,2,r).     

关于丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z

运用同余及元素阶的性质,证明了对任意的正整数n,丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z仅有正整数解（x,y,Z）=（2,2,2）．     

一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整数解

设k≥2为给定的整数．对任意正整数n,k阶Smarandache ceil函数Sk（n）定义为Sk（n）=min{x：x∈N,n｜x^k}．本文的主要目的是利用初等方法研究函数方程Sk（n）=Ф（n）的可解性,并给出该方程的所有正整数解,其中Ф（n）为Euler函数．     

关于欧拉函数方程？（？（x））=2t的可解性

对任意的正整数 n,函数？（n）为著名的 Euler 函数,即在序列1,2,···, n 中与n 互质的整数的个数。本文利用初等方法研究了方程？（？（x））的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。     

关于丢番图方程 χ^3一У^6=3pz^2的整数解

设p=5（mod 6）为素数．证明了丢番图方程χ^3一У^6=3pz^2。在p=5（mod 12）为素数时均无正整数解;在P=11（mod 12）为素数时均有无穷多组正整数解,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式,同时还给出了该方程的部分整数解．     

指数Diophantine方程(bn)~x+(2n)~y=((b+2)n)~z的例外解

设b是大于3的正奇数.运用初等方法讨论了方程(bn)^x+(2n)x+(2n)^y=((b+2)n)y=((b+2)n)^z适合(x,y,z)≠(1,1,1)的正整数解(x,y,z,n).证明了:i)对于任何给定的正整数N,存在无穷多个b可使该方程有满足min{x,y,z}≥N的正整数解(x,y,z,n);ii)对于任何给定的b,该方程仅有有限多组正整数解(x,y,z,n)满足y>z=x.     

Diophantine方程（a^m-1）（6^n-1）=x^2的一点注记

设a,b是适合min（a,b）〉1,2｜a,2＋b以及v（6—1）是正奇数,其中v（b-1）表示整除b-1的2的最高次数．本文运用初等方法以及同余性质,研究了方程（a^m-1）（b^n-1）=x^2的可解性．对某些特殊素数P,证明了该方程无解．证明了如果存在适合P≡±E3（mod8）的奇素数P,可使a≡-1（modP）...     

关于丢番图方程（143n）^x＋（24n）^y=（145n）^z

设a,b,c为两两互素的正整数,满足a^2＋b^2=c^2．1956年,Jesmanowicz猜想：对任意的正整数n,丢番图方程（an）^x＋（bn）^y=（cn）^x仅有正整数解（x,y,z）=（2,2,2）．本文对（a,b,c）=（143,24,145）的特殊情形,证明了该猜想是正确的．     

Morse指数与含Grushin算子的Liouville型定理

本文研究退化椭圆型方程-Δxu-(α+1)2|x|~(2α)Δyu=|u|~(p-1)u,(x,y)∈Rm×Rk和方程-Δxu-(α+1)2|x|~(2α)Δyu=|u|~(p-1)u,(x,y)∈Π的Liouville型定理,其中-Δx-(α+1)2|x|~(2α)Δy是Grushin算子,Π={(x,y)∈Rm×Rk:x10}或{(x,y)∈Rm×Rk:y10}.本文将证明,当1p(Q+2)/(Q-2)时,上述方程Morse指数有限的有界解只有零解,其中Q=m+(α+1)k为齐次空间的维数,因此,本文将Laplace方程的结果推广到含Grushin算子的方程.     

一类单中心二次可积系统的Abel积分零点个数

讨论了首次积分为H(x,y)=x~k(1/2y~2+Ax~2+Bx+C)的Abel积分的代数构造,并研究了k=2时具有一个中心的平面二次可积系统在n次扰动下的Abel积分零点个数上界问题,得到了较小的上界估计,