问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

应用平均值换元巧解方程

本文通过举例说明平均值换元在解一类方程中的妙用。 例1 解方程 (x~2 2x-2)(x_2 4x 6)=3(x 4)~2 解 设t=1/a[(x~2 2x-2) (x~2 4x 6)]=x~2 3x 2,则原方程化为[(t-(x 4)]·[t (x-4)]-3(x 4)=0 t~2-4(x 4)~2=0,即[t 2(x 4)][t-2(x 4)]=0,     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

判别式和曲线族的包络

“已知圆方程x~2+y~2-2(2m+1)x-2my+4m~2+4m+1=0(m∈R,),求所有圆的公切线方程。” 这是一道并不太难的解析几何题,有一位同学提出如下独特的解法: 解:把方程按m整理,得4m~2-(4x+2y-4)m+(x~2+y~2-2x+1)=0,由△m=(4x+2y-4)~2-4×4×(x~2+y~2-2x+1)=0化简得y(4x-3y-4)=0,     

初中数学总复习(二)——(方程(组)与不等式(组))

一、填空题 1.(江西)若(x 2)~(1/2)=-x,那么x=_______. 2.(山西)已知x~2 y~2 4x-6y 13=0,x,y为实数,则x~y=_______. 3.(山西)若关于x的方程8x~2-(10-|m|)x m-7=0有二根互为相反数,则m=_____ 4.(呼和浩特)二次方程2x(kx-4)-x~2 b=0没     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

过一点切线方程的另一种初等求法

先看一个具体问题:求过椭圆x42 y32=1上一点P(1,23)的切线方程.在中学阶段解决此类问题,一般采用Δ方法,即设切线方程为y-32=k(x-1),代入x24 y32=1,整理得关于x的一元二次方程:(3 4k2)x2 (-8k2 12k)x 4k2-12k-3=0,通过判别式Δ=(-8k2 12k)2-4(3 4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-21,故所求切线方程为x 2y-4=0.这种方法思路直,用到知识少,学生容易掌握,不足之处是运算量偏大,出错率高.那么能否给出一种求解思路简单,而运算量又较小的方法呢?命题:P(x0,y0)为圆锥曲线C:f(x,y)=0上一点,则曲线C上过P点的切线方程为f(x,y)-f(2x0-x,2y0-y)=0(*)证明:因…     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

过一点双曲线有四条切线

众所周知,过一点的双曲线最多只有两条切线。但是,笔者却可以求出四条。题:求通过点p(O,-1)的双曲线x~2-4y~2=1的切线。解:设过点P的切线方程为y=kx-1,下面由切线与双曲线有唯一交点来确定k。把y=kx-1代入x~2-4y~2=1并整理,得 (1-4k~2)x2 8kx-5=0 (＊) 当1-4k~2=0,即k=±1/2时,方程(＊) 有唯一解,从而直线与双曲线有唯一交点。当1-4k≠0时,令△=16k~2 20(1-4k~2)=0得k=±5~(1/2)/4,即k=±5~(1/2)/4也为所     

关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

一类问题的纠错为什么这么难——关于函数f(x)=log_2g(x)的值域为R的教学

问题已知函数f(x)=log_2(x~2+kx+2) (x∈R)的值域为R,求实数k的取值范围。错解要使函数f(x)的值域为R,只需g(x)= x~2+kx+2>0对一切x∈R恒成立,所以有△=k~2-8<0,解得-2 2~(1/2)相似文献   

趣味数学几例

1.今年元旦是星期日,试问今年元旦后的第1984~(1984)天是星期几。解:∵1984~(1984)=(283×7+3)~(1984) =7m+3~(1984),m∈N。而 3~6≡1(mod7),3~(1984)=3~4×3~(6×330) 3~4≡4(mod7),∴1984~(1984)≡4 (mod7)。答:今年元旦后的第1984~(1984)天是丛期四。 2.若f(x+1)=|x-1|,求f(1984)。解:令 x+1=1984,则x-1=1982, ∴ f(1984)=1982。 3.已知 f(x)=3x+1,g(x)=2x-1,h(g〔f(x)〕)=f(x)。求h(1984)。解:∵ f(y)=3y+1, ∴ g〔f(y)〕=2(3y+1)-1=6y+1, 故h(6y+1)=3y+1。令6y+1=1984,     

数学诡辩

解方程1/(x-10)+1/(x-6)=1/(x-7)+1/(x-9)。解:两边分别通分,得2x-16/(x~2-16x+60)=2x-16/(x~2-16x+63)因分子相等,则分母相等:x~2-16x+60=x~2-16x+63。60=63.不可能,所以原方程无解。另一方面,当x=8时,方程左边=1/(x-10)+1/(x-6)=-1/2+1/2=0方程右边=1/(x-7)+1/(x-9)=1-1=0可见x=8是原方程的一个根。那么这个根     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

一道题的错解分析

例题设P(x,y)在椭圆x~2/16+y~2/9=1上,试求f(x,y)=x+y的最值.分析本题是已知变量x和y,求f(x,y)=x+y的范围,于是思考两个变量的范围.错解一由于x~2/16+y~2/9=1,所以x~2/16≤1,y~2/9≤1,则-4≤x≤4,-3≤x≤3,     

用“判别式法”求极值辨析

求二次函数型的极值常可运用“判别式法”(以下简称“△法”)。但运用“△法”求极值可能产生增解或失解,学生在解题时常常忽略这个问题而出现一些错误,下面略举几例说明: 例1 求函数y=2-(4/x)-3x的极值(x>0) 错解函数可变形为3x~2+(y-2)x+4=0 (1) ∵x∈R ∴△=(y-2)~2-4·3·4≥0 解之得 y≤2-(4(3)~(1/2))或y≥2+4(4)3~(1/2)。简析:y极小=2+4(3)~(1/2)了就是用“△法”产生不符合题意的答案,事实上,当y=2+4(3)~(1/2)时,方程(1)化为3x~2+4(3)~(1/2)x+4=0(3~(1/2)x+2)~2x=-(2(3)~(1/2))/3<0。     

浅谈解题中辅助方程的制作

有些练习题所要求解决的问题,表面上看并非属于某类方程。但是,如果在解题过程中,适当地制作辅助方程,可能使问题解决得更为方便一些。例如在实数范围内将二次多项式3x~2-5x-11分解为两个一次因式的乘积。我们引进一个辅助方程3x~2-5x-10=0,应用公式解得 X=5±(157~(1/2)),于是得到 3x~2-5x-11=3(x-(5+157~(1/2))/6 x-(5-(157~(1/2))/6 又如,解方程组x+y=a,xy=b.时,可制作一种方程u~2-au+b=0,求得u_1、u_2,从而方便地得到方程组的二解为x=u_1,y=u_2;及x=u_2,y=u_1。再如求函数y=ax~2+bx+c的极值时,我们     

第三讲 构造法

解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程。而“构造法”则是实现这种转化的重要手段之一。它的策略思想是,对于一个较为复杂(甚至看来无从下手)的问题。先构造一个与之有关的辅助命题,也就是在已知与未知间搭一个桥,借以沟通“条件”和“结论”。例1 解方程 ((3x~2-5x-12)~(1/2))-(2x~2-11x 15)~(1/2)=x-3。解令((3x~2-5x-12)~(1/2))=u;(2x~2-11x 15)~(1/2)=υ;则 u-υ=x-3 ①当u=v时,x=3.代入原方程检验。知x_1=3是它的根。当u≠v时,u v=(u~2-v~2)/(u-v)=(x~2 6x-27)/(x-3)=x-9②由①和②得u=x 3.υ=6     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得: