一道新题的简解与推广

文[1]第3题(4):已知正数a,b,c满足a+b+c=1.求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)的最小值是27/4. 求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1c(1+a的最小值是27/4.鉴于文[1]所给答案较为繁琐,笔者在此给出此题一种简洁证法,并将该结论做更一般性的推广.     

一类条件不等式的统一证明

贵刊文[1]、文[2]给出了下列一类条件不等式.若a,b,c>0,且a+b+c=1,则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10.(1)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a3)+1/(1+b3)+1/(1+c3)+1/(1+d3)≤256/65.(2)若a,b,c,d>0,且a+b+c+d=1,则1/(1+a2)2+1/(1+b2)2+1/(1+c2)2+1/(1+d2)2≤824/289.(3)笔者认为不等式(3)应改为:     

(一)1/2=-1?

题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非?     

一类优美代数不等式的加强

法国路易·巴斯德大学的Mohammed Aassila教授,在1998年9月的Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem杂志P304上提出了如下代数不等式: 问题1设a,b,c＞0,求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)≥3/1+abc(1) 该不等式曾作为2006年巴尔干数学奥林匹克试题,应用6元均值不等式,有如下简单的证明方法.     

数学问题解答

2013年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2136已知a,b,c是满足abc=1的正数,求证:(λa+1)/(b+c)+(λb+1)/(c+a)+(λc+1)/(a+b)≥3(λ+1)/2(λ≥3) (江西南昌大学附中宋庆330047) 证明 a3+b3+c3+3abc≥a2(b+c) +b2 (c+a)+c2(a+b)(参见本刊1994年10月号问题918的解答)与以下不等式等价.     

一个例题的变式及推广

1　一个例题文 [1 ]中钱亦青老师举到如下例题 :求函数 f(a ,b ,c) =1a3(b +c) + 1b3(c+a)+ 1c3(a +b) 在条件a >0 ,b >0 ,c >0 ,abc =1之下的最小值 .该题变式为 :命题 1　已知a >0 ,b>0 ,c>0且abc=1 ,求证 :1a3(b+c) + 1b3(c+a) + 1c3(a +b) ≥32 ( 1 )现采用文 [2 ]构造函数的方法证明不等式( 1 ) .证　为了书写方便 ,设U =1a3(b +c) +1b3(c+a) + 1c3(a+b) ,V =1a+ 1b+ 1c.构造函数g(x) =xaa(b +c) -a(b+c) 2　 + xbb(c+a) -b(c+a) 2　 + xcc(a +b) -c(a +b)2=x21a3(b +c) + 1b3(c+a)　 + 1c3(a+b)　 - 2x 1a+ 1b+ 1c + [a(b +c)　 +b(c…     

谈一类不等式的证明思路

有一类不等式,其条件都是三个正数乘积为1.该类不等式的证明技巧强,难度较大,因此本文特介绍它的三种证明思路,以供参考.思路1直接运用条件例1已知a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,求证2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.证明设t=a+b+cf(t)=2t+3/t,∵a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,∴t=a+b+c≥3√abc=3,∵f'(t)=2-3/t2=(2t2-3)/t2,∴.当t＞3时,f＇(t)＞0,∴函数f(t)在[3,+∞)上为增函数,∴f(t)≥f(3)=7,故有2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.点评三元均值不等式在例1中起到了沟通已知与未知的桥梁作用,也使得直接运用条件“a＞0,b＞0,c＞0,abc=1”的目的得以达成.     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

两项式ab~n+cd~n 的整除问题

高中数学课本第三册复习题四第14题(P158)要求用数学归纳法证明:3~(n+2)十4~(2n+1)能被13整除。本文对这类问题再提供一种极为简便的证法。定理:若d-b能被a+c整除,则ab~n十cd~n也能被a+c整除(a,b,c∈R,且a+c≠0,n∈N) 证明:ab~n+cd~n=(a+c)b~n+c(d~n-b~n)=(a+c)b~n+c(d-b)(d~(n-1)+d~n-2b+d~n-3 b~2 +…+db~(n-2)+L~(n-1))。因为(a+c)b~n和c(d-b)(d~(n-1)+d~(n-2)b++d~(n-3)b~2+…+d~(n-2)+b~(n-1))都能被a十c整除,故ab~n+cd~n能被a+c整除。例1 求证:3~(n+2)+~(2n+1)能被13整除证明:3~(n+2)+4~(2n+1)=9·3~(n+4)·16~n     

一类条件不等式探源

文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式:若a,b>0且a+b=1则3/2<1/(a~3+1)+1/(b~3+1)≤(16)/9(1)若a,b,c>0且a+b+c=1则1/(1+a~2)+1/(1+b~2)+1/(1+c~2)≤(27)/(10)(2)     

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

对《一类条件不等式探源》一文的商榷

数学通报2008年第8期刊登了《一类条件不等式探源》一文,文中对文[2]给出的条件不等式:若a,b,c＞0且a+b+c=1则1/(1+a2)+1/(1+b2)+1/(1+c2)≤27/10;     

数学问题解答

2012年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2071设a,b,c≥0,a4+b4+c4=3,求证:a2/b3+1+b2/c3+1+c2/a3+1≥32.(广东省工业贸易职业技术学校张宏528237)证明设a2+b2+c2=x,则a2b2+b2c2+c2a2=1/2(a2+b2+c2)2-(a4+b4+c4)=1/2(x2-3).     

一个不等式的证明——Schur不等式一个特例的应用

<数学通讯>2010年9月上(学生刊)中有如下题目征解问题27 设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证:2(a3+b3+c3)+3abc≥9.     

一个不等式的再推广——再探《数学通报》2421题北大核心

1引言《数学通报》2018年5问题2421[1]为:已知a,b, c∈R^(+),且a+b+c=3,求证:2 (a1/4+b1/4+c1/4)+3≥3 (ab+bc+ca).作者在《数学通报》2018年第57卷第6期[2]中给了解答.张千乐在《数学通报》2019年第58卷第1期[3]中分别从项数、项数之和以及指数等3个方面作推广,得出下列结论:1)设a1,a2,a3,…,an(n≥3)是非负实数。     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

巧构图形证三角题一例

已知直角三角形三边a,b,c其中c为斜边,求证:arcctg((c+a)/(c-a))~(1/2)+arcctg((c+b)/(c-b))~(1/2)=π/4。此题在许多参考书中都出现过,证法较多。下面笔者利用构造直角三角形给出一种简     

一组不等式竞赛题目的探究

问题1-1(2003年北京市高一数学竞赛复赛题)设a,b,c为正实数,求证: 设a3/a2+ab+b2+b3/b2+bc+c2+a2+c3/c2+ca+a2≥a+b+c/3如果将分母里的交叉项的加号改变为减号,就得类似的问题.     

一道2015年初中数学联赛试题的换元解法及联想

<正>2015年全国初中数学联合竞赛(初三年级)试题的压轴题为:已知实数a,b,c满足条件a/(b-c)²+b/(c-a)2+b/(c-a)²+c/(a-b)2+c/(a-b)²=0,求代数式a/(b-c)+b/(c-a)+c/(a-b)的值.组委会给出的解答莫名其妙地给出一个等式: