空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

构造法简证一类三角不等式

１９９６年,周永良先生在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出如下三角不等式在锐角三角形ＡＢＣ中,有ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｃ－Ａ）ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ≥６（１）ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓＢｃｏｓ（Ｃ－Ａ）＋ｃｏｓ...     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

一个二次型三角不等式的证明及应用

１９９０年，叶军率先在文献［１］中给出了下述涉及两个三角形的三元二次型三角不等式：定理设△ＡＢＣ为锐角三角形，△ＡＢＣ为任意三角形，则对任意实数ｘ，ｙ，ｚ有ｘ２ｔｇＡ＋ｙ２ｔｇＢ＋ｚ２ｔｇＣ≥２（ｙｚｓｉｎＡ＋ｚｘｓｉｎＢ＋ｘｙｓｉｎＣ）...     

三角形三边定理

本文的目的是想在任意三角形中,建立三边之间的关系式即ｆ（ａ,ｂ,ｃ）＝０．１三角形的三角余弦定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ＝１,这里略去它的证明．（见高中代数教材中介绍的证明）或者用行列式表示出...     

两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

一个三角形恒等式在空间的推广

一个三角形恒等式在空间的推广李兴无（广东深圳宝安西乡中学５１８１０２）在《数学通报》１９９６年第４期３月号数学问题１００１题中，叶军、王申怀两位老师给出了一个三角形恒等式已知△ＡＢＣ中，试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·...     

关于（cos（A／2））~n＋（cos（B／2））~n＋（cos（C／2））~n的上下限估计

关于（ｃｏｓ（Ａ／２））~ｎ＋（ｃｏｓ（Ｂ／２））~ｎ＋（ｃｏｓ（Ｃ／２））~ｎ的上下限估计徐宁（湖北省通城县关刀实验中学４３７４００）设Ａ、Ｂ、ｃ为三角形的三个内角，关于＿Ａ＿Ｂ＿Ｃ。。＿。＿＿ＡＣＯＳ”、＋ｃｏｓ”、＋ｃｏｓ”、（以下简记为了ＣＯｓ?..     

cos~n(A/2) cos~n(B/2) cos~n(C/2)的上下确界

ｃｏｓｎＡ２＋ｃｏｓｎＢ２＋ｃｏｓｎＣ２的上下确界杨寅（呼和浩特交通学校０１００２３）设Ａ、Ｂ、Ｃ为三角形的三个内角，题目中的问题久已悬而未决．今用分析方法彻底解决这个问题．定理设Ａ、Ｂ、Ｃ为三角形的三个内角，ｎ２为自然数，则有ｍｉｎ１＋２２２ｎ，...     

一个三角不等式猜想的证明及推广

刘健先生在文［１］中提出如下猜想：在任意△ＡＢＣ中,有ｃｏｓＢｃｏｓＣｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＣｃｏｓＡｓｉｎＢ２＋ｃｏｓＡｃｏｓＢｓｉｎＣ２＜１①笔者通过研究,发现了这个不等式的一个指数形式：定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓＢｃｏｓＣｓｉｎｋＡ２＋ｃｏｓＣｃｏ...     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

数学问题解答 1998年7月号问题解答

１４１已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ＝２Ｂ，ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ，（Ⅰ）试求ｋ的取值范围；（Ⅱ）求ｃｏｓＡ－Ｃ２的值．解不难得知Ｂ＝６０°．（Ⅰ）命Ａ＝６０°－α，Ｃ＝６０°＋α（０°≤α＜６０°），此时ｋ＝１ｃｏｓＡ＋１ｃｏｓＣ...     

注意三角形中的一个隐含条件

在三角形中 ,隐含着一个非常重要的条件 ,而同学们在解题时常常忽略该条件 ,从而造成解题失误 .这个条件就是 :三角形中 ,任意两内角的余弦之和为正 ,即△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 ,ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .证明　∵△ＡＢＣ中 ,0 <Ａ Ｂ <π ,∴ 0 <Ａ <π -Ｂ <π ,又余弦函数在 (0 ,π)上是减函数 ,∴ｃｏｓＡ >ｃｏｓ(π -Ｂ) ,即ｃｏｓＡ >-ｃｏｓＢ ,故ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 .同理可证 :ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .下面举例说明这一条件的应用 .例 1　已知△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１００１已知ΔＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ．试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．证明容易知道在ΔＡＢＣ中成立：（其中ａ，ｂ，ｃ是ΔＡＢＣ的三边长）ａ＝ｂ...     

一个三角不等式的加强及推广

一个三角不等式的加强及推广湖南岳阳县熊市乡中学陈宽宏诸多书刊中有这样一个三角不等式：△ＡＢＣ是锐角三角形，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ（１）证明，见［１，Ｐ６０］或［２］．本文以（１）的等价变形为出发点来加强及推广（１...     

综合题新编选登

题 3 5　 三角形ＡＢＣ中 ,三内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,复数ｚ =52 ｓｉｎＡ +Ｂ2 +ｉｃｏｓ Ａ -Ｂ2 ,|ｚ| =324 .1)求ｔａｎＡ·ｔａｎＢ的值 ;2 )当Ｃ取最大值时 ,存在动点Ｍ使 |ＭＡ| ,|ＡＢ| ,|ＭＢ|成等差数列 .试通过建立适当的坐标系 ,求|ＭＣ||ＡＢ| 的最大值 .解　 1) |ｚ| 2 =52 ｓｉｎ Ａ +Ｂ22 +ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =98,即 10ｓｉｎ2 Ａ +Ｂ2 + 8ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =9,10·1-ｃｏｓ(Ａ +Ｂ)2 + 8·1+ｃｏｓ(Ａ -Ｂ)2 =9,∴ 4ｃｏｓ(Ａ -Ｂ) - 5ｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =0 ,4ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 4ｓｉｎＡｓｉｎＢ -5ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 5ｓｉｎＡ…     

一个错误命题的反例构造

１９６６年第２期《数学通报》上刊有一篇题为《有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形吗？》（以下简称为《四边形》）的文章,作为数学教师当然知道这是个错误命题,但是文章始终未给出反例的作法．图１其实这个问题并不难解决,下面我们从这个命题的条件分析起．如图１,四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ＝∠Ｃ＝α,ＡＤ＝ＢＣ＝ａ,ＡＢ＝ｂ,ＤＣ＝ｃ,ＢＤ＝ｅ,由余弦定理得　　ｅ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓα,　　ｅ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓα．∴　ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓα　＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓα,ｂ２－ｃ…     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…     

广义三角形角的关系及应用

广义三角形角的关系及应用帅泽平（湖南省常德西洞庭一中４１５１３７）从所周知，在△ＡＢＣ中余弦定理表达形式之一为：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ．因这个式子揭示了三角形的边与角之间的内在联系，能否将式子表示为三角函数的形式呢？利用正弦定理ａｓｉｎＡ＝...