圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…     

三角形内外心连线的一个性质

平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一…     

三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

九点圆定理在三维空间的推广

众所周知,关于三角形有如下命题:九点圆定理在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们     

三角形的伴垂心的若干报值特征

如图1,△ABC的三条高分别为AD、BE、CF,垂心为H,点D关于BC边的中点的对称点为D′,点E关于CA边中点的对称点为E′,点F关于AB边中点的对称点为F′,则由Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点,记为H′,称H′为△ABC的伴垂心[3],又叫伪垂心[1][2].     

关于三角形五心的类正弦定理

关于三角形五心的类正弦定理周才凯（湖南省炎陵县五中４１２５００）众所周知，正弦定理是揭示三角形边、角及外接圆半径之间数量关系的一个重要定理，求解三角形中的许多问题无不与之结缘．最近笔者在研究三角形五心（内心、外心、重心、垂心和傍心）的性质时发现了与五...     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

介绍两个“类正弦定理”

设△ABC的外接圆半径为R,则有这是众所周知的正弦定理. 有两个在形式上与正弦定理的结论类似的定理,即所谓“类正弦定理”,叙述如下: 定理1 设△ABC是一个锐角三角形,AD,BE,CF是它的三条高线,H是三条高线的交点(垂心),则有     

费尔巴哈圆圆心到各边距离之和的一个不等式链

文 [1]给出了非钝角三角形内特殊点到各边距离之和的一个不等式链 :D0 ≥ DG≥ D1≥ DH,经过研究 ,本文得到了非钝角三角形的费尔巴哈圆圆心、重心、垂心到各边距离之和的另一个不等式链 .本文约定非钝角△ ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积分别用 R、r、p、S表示 ,有以下定理定理　在非钝角△ ABC中 ,S为三角形的费尔巴哈圆圆心 ,DS表示圆心 S到各边距离之和 ;G为三角形的重心 ,DG表示重心 G到各边距离之和 ;H为三角形的垂心 ,DH 表示垂心 H到各边距离之和 ;则 DG≥ DS≥ DH,当且仅当是正三角…     

关于伪垂心的极值特征

关于伪垂心的极值特征夏中全（重庆市武隆县中学校４０８５００）设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′．则由Ｃａｖｅ定理易知，三直线ＡＤ′，ＢＥ′，...     

朗古莱定理及其推广的解析证法研究

西摩松(R.Simson,1687年-1768年)是英国数学家.以他的名字命名的西摩松定理即:过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线,则三垂足共线.这条直线习惯地称为该三角形的关于外接圆上任意一点的西摩松线.西摩松定理的推广较多,本文仅介绍西摩松定理的一个推广——朗古莱定理及其推广.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

含有60°内角的三角形的性质及应用

含有 90°角的三角形是一类特殊的三角形—直角三角形 .含有 6 0°内角的三角形 ,也是一类特殊的三角形 .例如 ,对含有 6 0°内角的三角形进行割或补 ,很快便可作出正三角形 ,除此之外 ,这类三角形还有如下有趣的性质 :性质 1　三角形的三内角的量度成等差数列的充分必要条件是其含有 6 0°的内角 .性质 2　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 6 0°.证明　当三角形为直角三角形时结论显然成立 .下面设 H为非直角△ ABC的垂心 ,如图 1 .充分性　设∠ A =6 0°,△ ABC的外接圆半径为 R,直线 AH…     

三角形的“旁垂心”及相关性质

<正>文[1]、[2]都给出了三角形的"旁外心"的定义如下:定义过三角形的三个顶点分别作三角形外接圆的切线,其两两相交的三个交点称为三角形的三个旁外心.在直角三角形中,直角所对的旁外心可看作在无穷远处,受此启发,本文再给出三角形的"旁垂心"的定义及相关性质如下:     

西摩松线的一个性质

大家知道 :三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线 ,这条直线称做该点对于三角形的西摩松线 (Simson) .本文将给出关于三角形西摩松线的一个新性质 .定理　三角形的三个外角平分线与其外接圆交点的西摩松线共点 .已知　如图 1,在△ ABC(AB≥ AC)中 ,X、Y、Z分别是△ ABC三个外角∠ DAB、∠ ABE、∠ BCF的平分线 AX、BY、CZ与△ ABC外接圆的交点 ,且点 Xi、Yi、Zi(i =1,2 ,3)分别是点 X、Y、Z在直线 AB、BC、CA上的射影 .求证　直线 X1 X2 X3 、Y1 Y2 Y3 、Z1 Z2 Z3 三线共点 .先给出一个引理 :引理 [1 ]　…     

三角形垂心的一个性质推广

文[1]给出了三角形垂心的一个性质: 定理若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

一个新发现的三角形特殊点

一个新发现的三角形特殊点方廷刚（四川攀枝花十九冶二中６１７０６２）设△ＡＢＣ的三高为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ，垂心为Ｈ，点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ’，Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ＇，Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ＇，有引理三直线ＡＤ’，ＢＥ’，ＣＦ’共点．...     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…