三角形内点到各边距离之积的一个不等式链

设△ABC的三条边长分别为a、b、c,内切圆半径、外接圆半径、半周长分别为r、R、s,本文在研究三角形内点到各边距离之积时,得到了一个新不等式.首先给出几个引理.引理1设△ABC外心O到三边的距离之积为DO,则DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2](∏表示循环积,下同).证明由文[1]知,外心O到三边的距离分别是R cosA、R cosB、R cosC,所以外心O到三边的距离之积DO=R3∏cosA=R4[s2-(2R r)2].引理2设△ABC重心G到三边的距离之积为DG,则DG=827R3∏sin2A=2p2r227R(2)证明由文[1]知,重心G到三边的距离分别是23R sinA sinB、23R sinB sinC、…     

一类圆内接六边形及其面积定理

如图1，O为△ABC的外心，AO、BO、CO的延长线分别交对边及O于D；、A。；E。、B；；Fl、c，，本文约定把六边形ACIBAICBI称为“thABC的外心圆内接六边形”，简称“外。O六边形”，若改国外。VO分别为西ABC的垂心H、重心G、内心I，则称类似的六边形分别为垂。v、重心、内心六边形．关于这类国内接六边形的面积笔者得到了如下定理．定理1非钝角三角形的外心六边形面积与其垂心六边形面积相等，且等于该三角形面积的2倍．定理2任意三角形的内心六边形面积和其重心六边形面积都不小于该三角形面积的2倍且内心六边形面积不小于重心…     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

若干几何不等式及相应的代数式

本文将建立涉及三角形平面上一动点 P的一组新的几何不等式 ,并利用三角形的重心坐标给出这些几何不等式的相应代数式 .这里 ,P点到三边和三顶点的距离都是带符号的 ,与 P点的重心坐标符号相一致 .有关三角形重心坐标的定义、定理参见文 [1 ].设△ ABC三内角∠ A,∠ B,∠ C的对边分别为 a,b,c.用 s,R,r,△分别表示△ ABC的半周长 ,外接圆半径 ,内切圆半径和面积 .以 ha,hb,hc,ra,rb,rc分别为相应边上的高和旁切圆半径 .∑ 表示循环求和 ,用 P( x,y,z)表示 P点关于坐标△ ABC的重心坐标 .1　仅含 (PD,PE,PF)的一组不等式众所周知 ,…     

关于三角形垂心的探讨

命题三角形的垂心到各顶点的距离与对应顶点内角的余弦值的绝对值的比都相等,都等于三角形外接圆的直径. 设△ABC的垂心为H,外接圆的半径为R,记A、B、C为△ABC的三个内角,则     

三角形的心径公式及其应用

三角形的五心是指内心I,垂心H、外心O、傍心I_A(在角A内的傍切圆圆心)及重心G。本文先指出五心到△ABC各顶点的距离——心径公式,然后以国内外的赛题为例,给出这     

一个非钝角三角形不等式

一个非钝角三角形不等式３５００１５福州二十四中杨学枝如果△ＡＢＣ的半周长为ｓ，外接圆半径与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ，当△ＡＢＣ为非钝角三角形时，４０年前人们已经知道有以下两个重要不等式：ｓ２≥２Ｒ２＋８Ｒｒ＋３ｒ２ｓ≥２Ｒ＋ｒ最近又有人对非钝角三角形中...     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

三角形的一个几何不等式链

几何不等式是当前初等数学研究的主要课题之一。本文给出三角形内部任一点至三顶点和三边的距离与三角形有关的几何元素之间的一个不等式链。定理设P为△ABC内部任一点,D,E,F,分别为P到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,记BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的半周、面积与内切圆半径分别为s,△,r则     

九点圆定理在三维空间的推广

众所周知,关于三角形有如下命题:九点圆定理在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们     

欧拉不等式的一种简捷证法

丁遵标老师在《数学通报》2 0 0 0年第 6期 ,用三角法给出了欧拉不等式的一种巧妙证法 ,读后深受启发 ,现笔者应用点线距离的性质给出一种更为简捷的证法 .欧拉不等式　若三角形的外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r,则R ≥ 2r.证明　设三角形ABC的三边长分别为a ,b,c,面积为S ,三边上的高分别为ha,hb,hc,外接圆的圆心为O ,且O到三边的距离分别为ra,rb,rc,则根据点线距离的性质易得OA+ra ≥ha,即R+ra ≥ha,不等式的两边同乘以正数a ,得aR +ara ≥aha,即aR +ara ≥ 2S,(1 )同理可得bR+brb ≥ 2S ,(2 )cR+crc ≥ 2S ,(3 )(1 ) +(2 ) +(…     

关于三角形半角三角函数的一个不等式链

我们在文［1］～[4]中，曾给出了三角形中半角三角函数的一些不等式，本文又进一步得到了关于三角形中半角三角函数的一个不等式链，从而得到了用外接圆半径、内切圆半径以及半周长表示的三角形牛角三角函数上、下界的线性不等式的最佳表达式．本文约定：△ABC中，三边长为a、b、c，外接圆半径、内切圆半径及半周长分别为R、r及s；用∑表示循环和．文中省去了诸不等式取等号条件的证明，因为它们是很容易得到验证的．定理在△ABC中，有以上（1）～（5）式的取等号条件为△ABC为正三角形，或一角为0°，另外两角为90°的退化三角形，或一…     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

数学问题1786的简解与拓广

<数学通报>2009年4月号数学问题1786题是一道命题:已知锐角△A1A2A3内接于半径为R的圆O,圆心O到△A1A2A3三边的距离分别为d1,d2,d3.证明:R(d12+d22+d32)+2d1d2d3=R3. 原解答利用凸四边形的托勒密定理和齐次线性方程组理论,证明较为繁杂.本文利用三角形的面积、正弦定理和一个熟知的三角恒等式给出(1)式的一个简证,并将结论拓广至直角三角形和钝角三角形.     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

一个三角形不等式猜想的否定

文[1]中,褚小光先生建立了一个涉及三角形中线和旁切圆半径的不等式:　　　　∑1m2a r2a≤92s2.(1)并且提出了如下猜想:　　　　∑1m2a r2a≥6∑a2.(2)其中a、b、c为△ABC的三边,ma、mb、mc,ra、rb、rc分别为三边上的中线和旁切圆半径,s为半周长.本文否定这一猜想,并得到定理　在非钝角三角形ABC中,有　　　　∑1m2a r2a≤6∑a2.(3)证明　根据三角形中线公式ma=122b2 2c2-a2,旁切圆半径公式ra=△s-a以及海伦公式△=s(s-a)(s-b)(s-c)(△为△ABC的面积),(3)式等价于　　　　∑a2 b2 c2m2a r2a-6≤0　∑(a2 b2 c2)-2(m2a r2a)m2a r2a≤0　…     

三角形垂心的一个性质的三个推论

文 [1]给出了三角形垂心的一个性质 :定理　如图 1,若△ ABC的垂心为 H ,且D、E、F分别为 H在 BC、CA、AB边所在直线上的射影 ,H1 、H2 、H3 分别为△ AEF、△ BDF、△ CDE的垂心 ,则△ DEF≌△ H1 H2 H3 .若以上题设不变 ,则有以下推论 .推论 1　△ H1 EF≌△ DH2 H3 ;△ H2 DF≌△ EH1 H3 ;△ H3 DE≌△ FH1 H2 .证明　如图 1,由定理知 ,EF =H2 H3 ,连结 FH2 、H2 D、DH、H F、H1 E、EH、EH3 、H3 D,由三角形垂心的定义 ,可知四边形FH2 DH、四边形 FH1 EH均为平行四边形 ,∴ H2 D =H1 E.同理 FH1 =DH3…     

欧拉线的一个性质

我们知道 ,在所有非等边三角形中 ,外心、重心、垂心在同一直线——欧拉线上 .本文给出欧拉线的一个性质 .图 1首先 ,设△ ABC为任一个不等边三角形 ,在直角坐标系中 ,将它的任意一边 (比如 AB边 )放置在 x轴上 ,AB边的中垂线与 y轴重合 ,如图 1 ,又设 AB边长为2 a,则有定理　△ ABC的欧拉线平行于 AB边的充要条件是第三个顶点C落在椭圆 x2a2 y23a2 =1上 (除去椭圆长、短轴两端的四个顶点 ) .证明　设△ ABC的 BC边中点为 M,外心为 U,重心为 S.则经过 U、S两点的直线为欧拉线 .如图 1 ,容易求得 M点坐标 ,从而求得U点、S点坐…