韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

二次函数与一元二次方程的关系及运用

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个"二次"问题,两者之间有着怎样的关系呢?下面为同学们一一介绍.一、两者的关系(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值;     

一元二次方程中根与方程的进一步研究

一元二次方程.ax(2)+bx+c=0(a≠0)是数学中的重点和热点,且贯穿于整个中学数学之中,与其相关问题也是各类考试的重点和热点,所以,值得我们引领学生作深入的研究. 关于一元二次方程,有众所周知的这样结论: 命题1 若一元二次方程ax(2)+bx+c=0(a≠0)两根之和与商分别是m和n,则该一元二次方程为x(2)-mx+n=0.     

都是“a≠0”惹的祸

老师在讲二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0时总强调a≠0,我们受思维定势的影响,在做题时碰到ax2+bx+c,总以为a≠0,如果题目中没有说明一定是二次函数或一元二次方程,则a可以为0,这时二次函数就变为一次函数,一元二次方程就变     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

一元二次方程与二次函数的联系及应用

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c的联系在初三代数教材中很少涉及。笔者认为在课堂教学中适当给学生补充这方面的知识,对开阔学生的眼界,激发学生的学习兴趣不无裨益。归纳起来,一元二次方程与二次函数的联系有以下几个方面:①二次函数y=ax2+bx+c与X轴的交点情况,可以由对应的一元二次方程根的判别式△来确定:△>0 抛物线与X轴有2个交点;△=0 抛物线     

用根与系数关系解题

我们知道,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=ca.利用这一关系,可以解答与一元二次方程有关的一些问题.     

方程根的定义在解竞赛题中的妙用

(1)x0是方程ax c=0(a≠0)的根ax0 c=0;(2)x0是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根ax02 bx0 c=0.特别地,若ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0(a≠0),则当x1≠x2时,x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个不等实根;当x1=x2时,x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个相等实根.灵活运用上述结论,求解涉及方程根的有关数学问题,常能化繁为简,化难为易,请看下面数例(所选例子均为各地中考题或数学竞赛题):例1如果方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,则a=.(第十四届“希望杯”初一第二试试题)解:∵方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,∴2003 4a=2004a-3,故a=1.003.例2若α…     

韦达定理的应用例谈

一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.这是著名的韦达定理,它在数学解题中有非常重要的应用.现举例说明.     

利用判别式的一个推论解竞赛题

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1,x2,则△=b2-4ac≥0,这是众所周知的,由它易得……     

数形结合巧解题一例

例方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零 根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2, 求证:方程ax2/2+bx+c=0必有一根介于x1,x2 之间．     

巧用判别式

判别式是初中数学重要的内容之一.熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系,并灵活运用,可巧妙解决有关问题.一判断方程根的情况例1 设a、b、c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a     

一元二次方程根的非对称式的求值方法

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2,利用根与系数的关系,我们能够熟练地求出关于它们的对称式x12+x22,     

判别式的几何应用

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,称式子b2-4ac为一元二次方程根的判别式.利用一元二次方程根的判别式,不仅能判定几何图形中符合某条件的"点"的个数,而且还能求与图形有关的代数式的最值.现举例说明:     

一元二次方程的一个性质及应用

设一元二次方程ax2 bx c=0(a≠O)有两根x1、x2,耶么我们可以得出一个重要性质:若a b c=0,则有一根是1,反之,若一根为1,则a b c=0. 运用上述性质不仅可以求出特殊类型的一元二次方程的根,而且可以解决某些竞赛题.     

对《根的定义用处大》一文的补充

《中学生数学》2010年第9期(初中版)刊登的文章《根的定义用处大》,读后受益匪浅.所举例题只用到"如果t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则at2+bt+c=0;"而"反之,如果at2+bt+c=0,则t是一元     

初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

判别式的常见用法错误举例

“△”是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠ 0)的根的判别式:△=b2-4ac．它的作用是不解方程即知一元二次方程根的情况．在二次三项式ax2 bx c,一元二次不等式ax2 bx c(?) 0,二次函数f(x)=ax2 bx c中,也常见到它的身影．因此△在解题中有广泛的应用,但又常见同学们不能正确地应用它,有时该用不用,有时不该用却用了,有时使用不当．现举几例说明之．     

判别式的应用

一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,不仅可以判定方程实根(实解)情况,还可以用它判别二次三项式ax2 bx c因式分解的方法与范围、求抛物线y