巧用根的判别式解题

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac在解题中有广泛应用.巧妙利用根的判别式可化繁为简,找出解题的捷径.下面介绍两种方法,供同学们参考.一、巧用判别式,确定一元二次方程的解法一元二次方程的解法有多种,对某个方程选择何种解法,需要认真分析方程的特点,选准突破口,往往事半功倍.特别是对一些有理系数的一元二次方程是用公式法解简便还是用因式分解法解简便?很多同学常拿不定主意,浪费解题时间.巧用根的判别式可为我们确定有理系数的一元二次方程的解法.那么如何借助判别式来确定方程的解法呢?本文就教材中用配方法解ax2+b…     

一元二次方程根的判别式应用三例

大家都知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,用符号Δ表示,当Δ>0时,方程有两个不相同的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.反过来也正确.在一些具体问题中如果依条件枃造一元二次方程再运用根的判别式,可以巧妙地解决问题.     

根的判别式教与学的尝试

一元二次方程根的判别式是人教版第十二章第三节的知识内容 ,这些知识比较重要 ,它既可以根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 ,还可以利用这些知识来研究一元二次函数、一元二次不等式 .特别是各年中招考试命题中 ,这些知识占有一定的比重 .因此 ,笔者就此谈一些肤浅的看法 ,以期求教同行 .一、不解方程 ,判断方程的根的情况△ =b2 - 4ac称为一元二次方程ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的判别式 ,根的判别式与根的个数的关系是 :( 1)△ =b2 - 4ac >0 方程有两个不相等的实数根 ;( 2 )△ =b2 - 4ac =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3)△ =b2…     

初高中数学衔接讲座(二) 第三讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

【知识技能要点讲解】一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系,是中学数学中最为重要的基本性质,有着极其广泛的应用.1.根的判别式一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0),其根的判别式为Δ=b2-4ac,则有(1)Δ>0一元二次方程有两个不相等实数根,x1,2=-b2±aΔ;(2)Δ=0一元二次方程有     

“Δ”的作用

一看到符号“△”,我们就会想到一元二次方程根的判别式.判别式都有哪些作用呢?并不是每个同学都能很好地回答这个问题.事实上,判别式除了判断一元二次方程根的情况外,还有很多作用.例如,求最大(小)值;证明等式(或不等式);求特殊方程(组)的解等.下面举出几例予以说明.例1关于x的二次三项式x2-ax+2a-3是完全平方式,求a的值.解设x1、x2是方程x2-ax+2a-3=0     

“有两个相等实根”与“只有一个实数根”

应用一元二次方程根的判别式可以判断一个一元二次方程根的情况 ,即Δ =ｂ2 -4ａｃΔ >0→方程有两个不相等　　　的实数根 (1)Δ =0→方程有两个相等的　　　实数根 (2 )Δ <0→方程没有实数根 (3 )其中 (2 )当Δ =0时 ,可以得到一元二次方程 (ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 )ａ≠ 0有两个相等的实数根 .例如方程ｘ2 -2ｘ + 1=0 ( )的根是ｘ1 =ｘ2 =1,可是有的同学常说此一元二次方程实际只有一个实数根是ｘ =1,并铮铮有词地说“这是依据了一元二次方程根的定义” .我认为这种说法是错误的 !从初中数学中对方程根的定义来看 ,所谓一元二次方程的根是…     

巧用判别式

判别式是初中数学重要的内容之一.熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系,并灵活运用,可巧妙解决有关问题.一判断方程根的情况例1 设a、b、c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

浅谈一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用 1 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的根的判别式为△ =b2 -4ac,它与这个方程的根有着十分紧密的关系 .具体如下 :( 1 )△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3 )△ <0 方程没…     

一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用一 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根的判别式为△ =ｂ2 - 4ａｃ,它与这个方程的根有着十分密切的关系 :( 1)△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 .( 3)△ <0 方程…     

简介一元二次方程有特殊根的条件及证明

<正>在学习一元二次方程时,常遇到求方程有特殊根的条件问题,但是课本没有详细的进行归纳总结.作者认为应该根据根的判别式及根和系数关系(韦达定理),来概括总结一元二次方程的几种常见特殊根的条件及证明如下:以下设所给的一元二次方程为ax²+bx+c=0(a≠0),若有根的话设它的两个根分别为x_1和x_2.下面给出几个结论及证明.     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即     

巧用判别式

根的判别式（△=b^2-4ac）是一元二次方程（ax^2＋bz＋c=0，其中n≠0）的重要内容，它体现了一元二次方程的根与系数a，b，c之间的密切关系．它的应用十分广泛，运用它不仅能进一步研究根的性质，还可以将其他不容易的问题转化为一元二次方程进行讨论．下面就根的判别式在证明中的应用略谈一二．     

二次方程根的判别定理的可逆性

初中代数介绍了一元二次方程实根个数的判定定理: 一元二次方程ax~2+bx+c=0,称△=b~2-4ac为根的判别式,当△>0时,方程有两个不等的实根; △=0时,方程有两个相等的实根; △<0时,方程没有实数根。这个定理是个分断式命题,三个分支中的条件和结论是极为显见的,即由判别式的符号来判定实根的个数,然而教材中的习题却用到由实根的个数来确定判别式的符号。     

谈判别式的应用

<正>1判别式的概念实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．以上结论,反之亦成立．2二次型三者之间的关系     

判别式法解题举例

<正>在解数学题时,常常先构建一元二次方程,用判别式的性质讨论一元二次方程根的情况来解题的方法叫判别式法,它应用十分广泛,现举例说明.一、求分式函数的值域例1求函数y=(x2+1)/(x2-x+1)的值域.解∵x2-x+1=(x-1/2)2+3/4>0恒成立,∴x∈R,原函数变形为(y-1)x2-yx+(y-1)=0.当y≠1时,方程为x的一元二次方程,∵x∈R,∴Δ≥0,即Δ=y2-4(y-1)2≥0,解得2/3≤y≤2.注意到y=1∈[2/3,2],故函数的值域为[2/3,2].     

一元二次方程与二次函数的联系及应用

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c的联系在初三代数教材中很少涉及。笔者认为在课堂教学中适当给学生补充这方面的知识,对开阔学生的眼界,激发学生的学习兴趣不无裨益。归纳起来,一元二次方程与二次函数的联系有以下几个方面:①二次函数y=ax2+bx+c与X轴的交点情况,可以由对应的一元二次方程根的判别式△来确定:△>0 抛物线与X轴有2个交点;△=0 抛物线     

巧用判别式 简解数学题

<正>一元二次方程根的判别式是方程知识的核心内容,是联系3个"二次"(二次函数、二次方程与二次不等式)的重要桥梁.巧用判别式简解数学题,关键在于构造出一元二次方程,然后利用Δ≥0来求解;或构造恒大于等于(或小于等于)0的二次不等式,然后利用Δ≤0来解答.对有些看似与一元二次方程毫无关联的     

用统一思路解一元二次方程实根分布问题

这里一元二次方程的实根分布问题是指实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a>0)(l)在某区间D内有实数根时,它的系数a,b,c应满足什么样的充要条件?对这一问题同学们大都采取观察二次函数的图象,利用有关性质及判别式、韦达定理等来综合考虑.由于这样处理问题头绪较多,常常     

判别式有用须会用

<正>在解一元二次方程的有关问题时,常用到判别式.在具体应用时,必须正确使用,否则,将出现不易觉察的错误.一、应用判别式的前提是二次项系数不为零例1 k为何值时,关于x的二次方程k²x2x²+2(k-1)x+1=0有两个实根?错解∵上述二次方程有两个实数根,