Pedoe不等式的向量证明

设△ABC与△A1B1C1的边分别为a、b、c与a1、b1、c1,面积分别为△与△1,则有a2(b21 c12-a12) b2(c12 a12-b21) c2(a12 b12-c12)≥16△.△1.当且仅当△ABC∽△A1B1C1时取等号.这就是著名的Pedoe不等式.关于它的证明可参见文[1].本文试图给出Pedoe不等式的一个向量证明.图1证明将△ABC与△A1B1C1如图放置.记BC=a,AC=b,AB=cB1C1=a1,A1C1=b1,A1B1=c1则a=b-c,a1=b1-c1,c1=λc(λ>0)且有:△=12|b×c|,△1=21|b1×c1|.b12 c21-a12=b12 c12-a12=b12 c12-(b1-c1)2=2b1.c1.c12 a21-b12=c12 a12-b12=c12 (b1-c1)2-b12=2c12-2b1.c1a12 b12-c…     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

漫谈余弦定理

平面三角形里,我们有如下熟知的余弦定理:如图1,在△ABC中,c2=a2 b2-2abcosC.图1 图2在中学课本里,余弦定理是用坐标法证明的.如图2,建立直角坐标系,则A、B的坐标分别为A(bcosC,bsinC)、B(a,0),于是c2=|AB|2=(a-bcosC)2 (bsinC)2=a2 b2-2abcosC.     

垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理　若△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆分别为⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC,其半径依次为 r A、r B、r C,则有ar A+br B+cr C≥ 12 3.证明　∵　 BE⊥ AC,CF⊥ AB,∴　∠ BEC =∠ CFB =90°.又∵　 E、F在 BC的同侧 ,∴　 B、C、E、F四点共圆 ,∴　∠ AEF =∠ B,∠ AFE =∠ C, 　　　△ AEF∽△ ABC, 　　　 EFBC=AEAB.在 Rt△ ABE中 ,cos A =AEAB,∴　 EFBC=cos A,即 EF =a cos A.同理　 DF =b cos B,DE =c cos C.连结 IAE、IAF,作 IAG⊥ EF…     

新题征展(29)第5题的推广

贵刊新题征展 ( 2 9)第 5题的推广结论是 :图 1如图 1 ,在△ ABC中 ,CD⊥ AB,∠ C =2θ,CE是∠ C的角平分线 ,CD =h,DE =m,则AB =h( h2 m2 ) sin2θh2 cos2 θ - m2 sin2 θ.下面采用与原题解法相异的等面积法证之 .证明　设 BC =a,AC =b,AB =c,S△ ACE S△ BCE =S△ ABC易知 CE =2 abcosθa b.又因为　 CE2 =h2 m2 ,于是有　 h2 m2 =4 ( ab) 2 cos2 θ( a b) 2 ( 1 )由面积关系及余弦定理得ch =absin2θ ( 2 )c2 =( a b) 2 - 2 ab( 1 cos2θ) ( 3)由 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)三式联立消去 a b和 ab后可得　 h2 …     

三角形另一正则点存在性的证明

用构造法 .设△ ABC的边 BC =a,CA =b,AB =c,若仅有一角小于 60°,不妨设为 A,则B - 60° C - 60°=60°- A >0 .任取一点 Z1作射线 Z1C1、Z1A1、Z1B1使∠ A1Z1C1=B - 60°,∠ B1Z1A1=C - 60°,则∠ B1Z1C1=60°- A(如图 3) ,然后截取 图 3Z1A1=1a,Z1B1=1b,Z1C1=1c得△ A1B1C1.应用余弦定理 ,不难算得B1C1=λ′bc,C1A1=λ′ca,A1B1=λ′ab.又△ A1B1C1∽△ ABC (因对应边之比均为 λ′abc) ,又 Z1A1. B1C1=Z1B1. C1A1=Z1C1. A1B1=λ′abc,按《初探》一文引理 2 ,知 Z1是△ A1B1C1正则点 ,由相似三角形性质 ,知 …     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

一类三角形面积不等式的改进与推广

文[1]建立了一类三角形面积不等式,本文改进并推广其结果.引理　设△AiBiCi的三边及面积分别为ai、bi、ci及△i,且λi∈R (i=1,2,…,n),记a0=∑ni=1λiai,b0=∑ni=1λibi,c0=∑ni=1λici,则以a0、b0、c0为三边可作三角形,且其面积　　　△0≥(∑ni=1λi△i)2,(1)仅当△A1B1C1∽△A2B2C2∽…∽△AnBnCn时取等号.证明　由ai bi>ci(i=1,2,…,n)有　a0 b0=∑ni=1λiai ∑ni=1λibi=∑ni=1λi(ai bi)>∑ni=1λici=c0;等等,故以a0、b0、c0为三边可作三角形.记其半周长pi=12(ai bi ci)　(i=0,1,2,…,n),易知p0=∑ni=1λipi及p0-a0=∑ni=1λi(…     

初二几何第二学期期末自测题

A组 8.如图,△A仪二中,乙C=90.,川)平分艺丑屯了.若〔刃“3皿,则点D到川3的距离为一、填空题(每小题4分,共40分) 1.如图.艺1+乙2+乙3+乙4=_度. ,~a bc。,.a+b 乙J兮C户次/人A一BB~一一方-盏C Za+3b一4c,Za一3b+4c (第8题)(第9题) 9.如图,△A庆二中,乙B二30,,匕C=45。,川〕上及了于D,若AB“4,则斑)二_,CD‘_. 3.在△八BC中,已知乙A:匕B二1:2,匕A:乙C=2:3,则△八故了的最小角为_,最大角为_. 4.已知三角形的两边分别为2,9,且第三边长为奇数,则第三边长是_;此三角形是_三角形 5.已知△乃及二的△A,B‘C‘夕址)和A,D了分别是五〔和B…     

Apollonius定理的一个空间形式

设△ A1A2 A3 的三边长分别为 a1,a2 ,a3 ,边 A1A2 上的中线长为 m3 ,则m23 =12 ( a21 a22 ) - 14 a23 . ( 1 )这就是著名的 Apollonius定理 ,由余弦定理 ,易将 ( 1 )变换成m23 =14 ( a21 a22 2 a1a2 cos A3 ) ( 2 )本文将给出关于 ( 2 )的一个十分有趣的空间形式 .定理　在四面体 A1A2 A3 A4 中 ,设 A5是棱 A1A2 的中点 ,S△ A2 A3A4=S1,S△ A1A3A4=S2 ,S△ A3A4A5=M3 4,二面角 A1A3 A4 A2 =3 4,则M23 4=14 ( S21 S22 2 S1S2 cos3 4) ( 3)先介绍两个基本公式 ,其证明参见文 [1] [2 ] .引理 1 [1]　设四面体的底…     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·…     

由三角形的高线派生出的等边三角形

文[1]中笔者研究三角形性质时,发现了一个由三角形中线“生成”正三角形的问题,在文末笔者指出三条高线中能否有这种生成问题.最近,我们得到了如下结论.图1定理如图1,△ABC中,H是△ABC的垂心,H A、H B、H C的延长线上分别有点Z、L、M.若AZBC=BLAC=CMAB=33,则△ZLM是等边三角形.证明∵AZ=33a,BL=33b,CM=33c.(以锐角三角形为例)∵AH=2R cos A,∴H Z=2R cos A 13a,同理HM=2R cos C 13c.∵∠AH C=180-°B.ZM2=(2R cos A a3)2 (2R cos C c32) 2(2R cos C c)(2R cos A a3)cos B=4R2(cos2A cos2C 2cos A cos B cos C) …     

垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

上期课外练习参考解答

初一年级1.∵　a +b =1a+ 1b=a +bab ≠ 0 ,∴　ab =1,　∴　 (ab) 2 0 0 3=1.2 .(1) 1△ 9=1× 9+ 1+ 9=19,(1△ 9)△ 9=19△ 9=199,[(1△ 9)△ 9]△ 9=199△ 9=1999.(2 )猜想 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9n个 9)=199… 9n个 9.3 .观察可知 ,图①中有 5个三角形 ;图②将图①出现了三次 ,又多出 2个三角形 ,故而②中有三角形个数为 5× 3 + 2 =17(个 ) ;图③包含三个图②又多 2个三角形 ,故而图③中三角形个数为 17× 3 + 2 =5 3 (个 ) ;依此类推图④中三角形个数为5 3× 3 + 2 =161(个 ) .初二年级1.由　a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b)　 =-3…     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

内心与旁心的一类向量关系

本文给出关于三角形与四面体内心和旁心的一类优美的向量关系.1与三角形内心和旁心相关的向量关系图1定理1图定理1△ABC的内切圆与BC,CA,AB依次相切于D,E,F,圆心为I,记BC=a,CA=b,AB=c,则(Ⅰ)aID b IE c IF=0(1)(Ⅱ)a DA b EB c FC=0(2)证∵aIA b IB c IC=0[1],∴(aID DA) b(IE     

均值不等式的图解

高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ　如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O…     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.